Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

Gegeben ist im $ℝ^{3}$ die Ebene $E : 2 \cdot x_{1} - x_{3} - 3 = 0$ .

Gib eine Gerade $g$ an, die ganz in $E$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen einer Gerade und einer Ebene
Die allgemeine Geradengleichung lautet $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} d \\ e \\ f \end{array})$
Wenn $g$ in $E$ liegen soll, muss der Stützvektor der Geraden die Ebenengleichung erfüllen
Also: $2 a - c = 3$ $\Rightarrow$ $c = 2 a - 3$
Diese vorläufige Geradengleichung kann nun in $E$ eingesetzt werden:
$2 (a + d \cdot r) - (c + f \cdot r) = 3$
$ \Leftrightarrow 2 a + 2 d \cdot r - c - f \cdot r = 3$
Da bekannt ist, dass $2 a - c = 3$ :
$3 + 2 d \cdot r - f \cdot r = 3$
Demnach muss $2 d \cdot r - f \cdot r = 0$ sein, also $2 d \cdot r = f \cdot r = > 2 d = f$ , denn es muss ja für alle $r$ gelten.
Da $b$ und $e$ keinen Bedingungen unterliegen, sind diese beiden frei aus $ℝ$ wählbar.
Alle Geraden $g,$ die in $E$ liegen, haben also die Form $\vec{x} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ 2 \cdot a - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} d \\ e \\ 2 \cdot d \end{array})$ mit a;b;d;e; aus $ℝ$ , $d$ und $e$ nicht beide Null.
Eine Lösung ist zum Beispiel $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + r (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$ .
Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen $F_{1}$ und $F_{2}$ zu bestimmen.
Gib zwei von E verschiedene Ebenen $F_{1}$ und $F_{2}$ an, die ebenfalls g enthalten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen einer Gerade und einer Ebene
Werden in der Gleichung der Geraden $b = e = 0$ gewählt, erhältst du mögliche Ebenen $F_{1}$ und $F_{2}$ aus
$2 x_{1} + n x_{2} - x_{3} = 3$ mit $n$ aus $ℝ ∖ {0}$ , da sich $x_{2}$ aus jeglichen Gleichungen herauskürzt.
Zum Beispiel sind $F_{1} : 2 x_{1} + x_{2} - x_{3} = 3$ und $F_{2} : 2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 3$ Lösungen.
Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen $F_{1}$ und $F_{2}$ zu bestimmen.
Gib eine Gerade $k$ so an, dass $k$ in $F_{1}$ liegt und $E$ nicht schneidet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen einer Gerade und einer Ebene
In diesem Teil der Aufgabe gehen wir wieder von einer allgemeinen Ebene $F_{1} : 2 x_{1} + n x_{2} - x_{3} = 0$ mit $n \neq 0$ aus.
Damit $k$ und $E$ keinen Schnittpunkt haben, müssen sie parallel sein, also muss der Richtungsvektor $\vec{k}$ der Geraden $k$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E$ stehen, der sich einfach aus der Ebenengleichung ablesen lässt.
Für $k$ wählen wir wieder die Darstellung $k : \vec{x} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} d \\ e \\ f \end{array})$ .
Mit $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ und $\vec{k} = (\begin{array}{c} d \\ e \\ f \end{array})$ ist
$\vec{k} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot d - 1 \cdot f = 0 \Rightarrow f = 2 d$ .
Damit $k$ nun in $F_{1}$ liegt, kann die vorläufige Geradengleichung hier eingesetzt werden:
$2 (a + d \cdot r) + n (b + e \cdot r) - (c + f \cdot r) = 3$
Mit $f = 2 d$ gilt:
$2 a + 2 d r + n b + n e r - c - 2 d r = 3 \to$
$2 a + n b + n e r - c = 3$ .
Da $k$ in $F_{1}$ liegen soll, muss $r$ aus der Gleichung eliminiert werden, demnach muss $e = 0$ sein.
Also gilt $2 a + n b - 3 = c$ , dabei sind $a$ und $b$ frei wählbar aus $ℝ$
Für $k$ , die in $F_{1}$ liegt und dabei $E$ nicht schneidet, gilt demnach:
Wähle eine möglichst allgemeine Darstellung der Geraden und bestimme die Parameter. Benutze dann die Koordinatenform, um Ebenen $F_{1}$ und $F_{2}$ zu bestimmen.

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