Pflichtteil

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Aufgaben zur Abiturprüfung eA 2023, Pflichtteil. Zum Download hier.

Aufgabe 1

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion f mit $f (x) = - x^{2} + 2 a x$ mit $a > 1$ .

Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat. (2 BE)

Der Hochpunkt ( $a | a^{2}$ ) des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats. Zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.
Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Flächeninhalt Quadrat:
Am Hochpunkt mit $x = a$ beträgt der Funktionswert $f (x) = a^{2}$ .
$\to$ Das Quadrat hat eine Seitenlänge von $a^{2}$ .
$A_{Q u a d r a t} = a^{2} \cdot a^{2} = a^{4}$
Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen Graph und x-Achse:
Der Flächeninhalt wurde in a) bestimmt und beträgt
$A_{F l \ddot{a} c h e n s t \ddot{u} c k} = \frac{4}{3} a^{3}$
Gleichsetzen der Flächeninhalte:
Wenn beide Flächeninhalte gleich sind, gilt:
↓
$A_{Q u a d r a t}$ $=$ $A_{F l \ddot{a} c h e n s t \ddot{u} c k}$
↓
Einsetzen der Terme für die Flächeninhalte
$a^{4}$ $=$ $\frac{4}{3} a^{3}$ $: (a^{3})$
↓
Da $a > 1$ gilt, kann durch $a^{3}$ geteilt werden.
$a^{}$ $=$ $\frac{4}{3}$
$\to$ Bei einem Wert von $a = \frac{4}{3}$ sind die Flächeninhalte gleich groß.
Bestimme den Flächeninhalt des beschriebenen Quadrats.
Den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse hast du bereits in Teil a) bestimmt.
Setze beide Terme gleich und bestimme $a$ .

Aufgabe 2

Gegeben ist die auf $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = 2 e^{x} - \frac{4}{e^{x}} = 2 e^{x} - 4 e^{- x}$ .

Berechnen Sie die Nullstelle von $f$ . (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle berechnen
Berechnung der Nullstelle
Der Funktionswert $f (x)$ wird gleich $0$ gesetzt.
↓
$f (x)$ $=$ $0$
$2 e^{x} - \frac{4}{e^{x}}$ $=$ $0$ $\cdot e^{x}$
$2 e^{2 x} - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
$2 e^{2 x}$ $=$ $4$ $: 2$
$e^{2 x}$ $=$ $2$ $\ln ()$
$2 x$ $=$ $\ln (2)$ $: 2$
$x$ $=$ $\frac{1}{2} \ln (2)$
$\to$ Die Nullstelle von $f (x)$ liegt bei $x = \frac{1}{2} \ln (2)$ .
An der Nullstelle beträgt der Funktionswert $f (x) = 0$ .
Setze den Funktionsterm $2 e^{x} - \frac{4}{e^{x}} = 0$ .
Bestimme x.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. (3 BE)

3
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 3
Die Abbildung zeigt den Punkt $P$ und den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ . Der Graph von $f$ hat die einzigen Extrempunkte $(- 1 | 1)$ und $(0 | 0)$ .
Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g (x) = - f (x - 3)$ .
Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $g$ an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
Koordinaten des Punktes
Der Graph der Funktion erfährt zwei Abbildungen:
Spiegelung an der x-Achse. Der Hochpunkt wird zu einem Tiefpunkt $(- 1 | - 1)$
Verschiebung nach rechts. Der Punkt ist $(2 | - 1)$
Skizze (Graph ist nur qualitativ gleich wie in der Aufgabe)
Der Hochpunkt des Graphen wird der gesuchte Tiefpunkt.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $(1 | 1)$ , wenn der Graph durch die Vorschrift $g (x) = - f (x)$ an der x-Achse gespiegelt wird.
Bestimme die Koordinaten, wenn nun zusätzlich eine Verschiebung um 3 LE nach rechts stattfindet.

Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch $P$ .
Skizzieren Sie diesen Graphen in der Abbildung. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
Anfertigen der Skizze
Es ist zu beachten, dass
der Hochpunkt von $f$ zu einem Wendepunkt von $F$ wird
der Tiefpunkt (und gleichzeitig Nullstelle) von $f$ zu einem Sattelpunkt von $F$ wird
$F$ durch $(3 | 1)$ verläuft und stets oberhalb der x-Achse bleibt
Skizze der Stammfunktion
Die Stammfunktion hat die Eigenschaft, dass ihre Steigung durch $f$ gegeben ist.
Bestimme die Lage möglicher Extrempunkte der Stammfunktion.
Bestimme die Lage möglicher Wendepunkte der Stammfunktion.
Skizziere einen Graphen der durch diese Punkte und $P$ verläuft.

Aufgabe 4

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die Zahl $a$ mit $a \neq 2$ . Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ berechnet werden kann. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Baumdiagramm als Hilfe
Das Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment.
Die Wahrscheinlichkeiten sind damit
$P (a) = \frac{2}{5}$
$P (2) = \frac{3}{5}$
Baumdiagramm
Ereignis
Das gesuchte Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ ist:
"Es wird eine $2$ und ein $a$ gezogen."
oder
"Auf beiden Kugeln stehen unterschiedliche Zahlen."
Da zwei Pfade zu dieser Beschreibung passen, gibt es den Vorfaktor $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ .
Skizziere zur Hilfe ein Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten $\frac{3}{5}$ und $\frac{2}{5}$ zuordnen zu können.
Bestimme ein Ereignis, welches genau zwei Pfade mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ beinhaltet.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Summe der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist 8.

Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Wahrscheinlichkeiten $P (X = k)$

Die Zufallsvariable $X$ kann folgende Werte annehmen:

$4$ falls zweimal die $2$ gezogen wird
$a + 2$ falls unterschiedliche Zahlen gezogen werden
$2 a$ falls zweimal die andere Zahl $a$ gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich mithilfe des Baumdiagramms (siehe Lösung a):

$X = k$	$4$	$2 + a$	$2 a$
$P (X = k)$	$\frac{9}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{4}{25}$

Aufstellen des Erwartungswertes

Erwartungswert ist die Summe der Werte, die $X$ annehmen kann, mal deren Wahrscheinlichkeit
	↓
$E [X]$	$=$	$4 \cdot \frac{9}{25} + (2 + a) \cdot \frac{12}{25} + 2 a \cdot \frac{4}{25}$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{36}{25} + \frac{24}{25} + a \cdot \frac{12}{25} + a \cdot \frac{8}{25}$
	$=$	$\frac{60}{25} + a \cdot \frac{20}{25}$
	↓	Erwartungswert ist laut Aufgabe gleich $8$ .
$8$	$=$	$\frac{60}{25} + a \cdot \frac{20}{25}$	$- \frac{60}{25}$
$\frac{28}{5}$	$=$	$a \cdot \frac{4}{5}$	$\cdot 5$
$28$	$=$	$4 a$	$: 4$
$7$	$=$	$a$

$a$ hat den Wert $7$ .

5
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 5
Gegeben ist die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ mit $s \in ℝ$ .
Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Gerade in Ebenengleichung einsetzen
Die Geradengleichung ist:
$(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
$Zeilenweise liest man die Koordinaten aus \Rightarrow \begin{array}{l} x = s \\ y = 1 \\ z = 1 - s \end{array}$
$2$ $=$ $x + y + z$
↓
Setze die Gerade koordinatenweise in die Ebenengleichung ein
$2$ $=$ $s + 1 + (1 - s)$
↓
Vereinfache
$=$ $2$
Da die Gleichung erfüllt ist, liegt die Gerade $g$ in der Ebene $E$ .
Man schreibt auch $g \subset E$ .
Setze $g$ koordinatenweise in die Ebenengleichung ein.
Überprüfe, ob die Gleichung erfüllt ist.

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_{a} : \vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$ mit $t \in ℝ$ und $a \in ℝ$ .
Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Untersuchen der Richtungsvektoren
Die Richtungsvektoren sind $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ und $(\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$ .
Es gibt keine Zahl $k \in ℝ$ , sodass sie gleich sind: $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \neq k \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$
Die Vektoren sind linear unabhängig, die Geraden müssen entweder windschief sein oder sich schneiden.
Gleichsetzen der Geradengleichungen
Gleichsetzen
↓
$(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ $=$ $(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$
↓
Bringe alle Stützvektoren nach links und alle Richtungsvektoren nach rechts.
$(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ $=$ $t \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
Dieses LGS besitzt keine Lösung.
Es gibt verschiedene Methoden, die Lösung zu bestimmen. Betrachtet man die Zeilen etwas genauer, zeigt sich:
$3. Zeile: 0 = t \cdot 0 + s \Rightarrow s = 0$
Wenn $s = 0$ folgt aus der $1.$ Gleichung:
$0 = t + \underset{= s}{\underset{⏟}{0}} \cdot (- 1) \Rightarrow t = 0$
Für $t = 0$ und $s = 0$ folgt aber aus der 2. Gleichung: $1 \neq 0 \cdot a$
Für keinen Wert von $a$ besitzt das LGS eine Lösung. Die Geraden haben keinen Schnittpunkt und sind damit windschief.
Windschiefe Geraden sind nicht parallel oder identisch.
Überprüfe, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, um die Fälle parallel und/oder identisch auszuschließen.
Windschiefe Geraden schneiden sich nicht.
Setze die Geradengleichungen gleich und löse das LGS, um zu überprüfen, ob es einen Schnittpunkt gibt.
6
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 6
Betrachtet wird ein Dreieck $A B C$ mit $A (0 | 0 | 0)$ und $B (3 | 5 | - 4)$ . Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:
Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.
$A B$ ist eine Kathete des Dreiecks.
Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der $x z$ -Ebene.
Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts, der für $C$ infrage kommt. (5 BE)

1. Gleichung - rechtwinklige Katheten
Die Katheten $\vec{A C}, \vec{A B}$ stehen senkrecht aufeinander. Es gilt:
$0$ $=$ $(\begin{array}{c} x \\ 0 \\ z \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ - 4 \end{array})$
↓
Skalarprodukt ausrechnen
$0$ $=$ $3 x - 4 z$
Aus dieser Gleichung lässt sich $x = \frac{4}{3} z$ bestimmen. Das wird später gebraucht.
2. Gleichung - Länge der Katheten
Die Katheten $\vec{A C}, \vec{A B}$ sind gleich lang laut der Aufgabenstellung, denn sie bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Damit gilt:
$| \vec{A C} |$ $=$ $| \vec{A B} |$
$\sqrt{x^{2} + z^{2}}$ $=$ $\sqrt{3^{2} + 5^{2} + (- 4)^{2}}$
$\sqrt{x^{2} + z^{2}}$ $=$ $\sqrt{50}$ $()^{2}$
$x^{2} + z^{2}$ $=$ $50$
↓
Setze $x = \frac{4}{3} z$ ein.
$\frac{16}{9} z^{2} + z^{2}$ $=$ $50$
↓
Vereinfache
$\frac{25}{9} z^{2}$ $=$ $50$ $\cdot \frac{9}{25}$
$z^{2}$ $=$ $18$ $\sqrt{}$
$z$ $=$ $\pm \sqrt{18}$
Eine mögliche Lösung ist also $z = \pm \sqrt{18} = \pm 3 \sqrt{2}$ .
Bestimme den Punkt $C$
Mit der Gleichung $x = \frac{4}{3} z$ gilt für $x$ : $x = \pm \frac{4}{3} \sqrt{18} = \pm \frac{4}{3} 3 \sqrt{2} = \pm 4 \sqrt{2}$
Damit ist $C (\frac{4}{3} \sqrt{18} | 0 | \sqrt{18}) = C (4 \sqrt{2} | 0 | 3 \sqrt{2})$ oder $C (- \frac{4}{3} \sqrt{18} | 0 | - \sqrt{18}) = C (- 4 \sqrt{2} | 0 | - 3 \sqrt{2})$ .
Hinweis: Die Aufgabenstellung erfordert nur einen Punkt $C$ , hier wurden beide Möglichkeiten angegeben.
VorsichtAndere Darstellungen der Lösung
Je nachdem in welcher Reihenfolge $x$ und $z$ bestimmt werden, kann $C$ anders dargestellt sein. Ebenso korrekt wäre:
$C (\sqrt{32} | 0 | \frac{3}{4} \sqrt{32})$ bzw. $C (- \sqrt{32} | 0 | - \frac{3}{4} \sqrt{32})$ .
Verwende $\vec{A C} = (\begin{array}{c} x \\ 0 \\ z \end{array})$ als allgemeine Darstellung für die Kathete von $A$ nach $C$ , da die Kathete in der $x z$ -Ebene liegt.
Stelle 2 Gleichungen auf, um x und z zu bestimmen:
1. Gleichung: Stelle eine Gleichung auf, die das Skalarprodukt $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ enthält. (Die Katheten bilden einen rechten Winkel.)
2. Gleichung: Stelle eine weitere Gleichung auf, indem die Längen gleichgesetzt werden: $| \vec{A C} | = | \vec{A B} |$ . (Die Katheten sind gleich lang.)
Bestimme $x$ und $z$ aus den beiden Gleichungen. Stelle $C$ vollständig dar.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Bestimmung der Ableitung $f^{'} (x)$
	↓
$f^{'} (x)$	$=$	${(2 e^{x} - 4 e^{- x})}^{'}$
	↓	Summenrege l
	$=$	${(2 e^{x})}^{'} + {(- 4 e^{- x})}^{'}$
	↓	Die Ableitung von Vielfachen der e-Funktion $f (x) = a \cdot e^{x}$ ist $f^{'} (x) = a \cdot e^{x}$
	$=$	$2 e^{x} + {(- 4 e^{- x})}^{'}$
	↓	Kettenregel
	$=$	$2 e^{x} + {(- x)}^{'} \cdot (- 4 e^{- x})$
	$=$	$2 e^{x} + (- 1) \cdot (- 4 e^{- x})$
	$=$	$2 e^{x} + 4 e^{- x}$

Einsetzen von $x = 0$
	↓
$f^{'} (0)$	$=$	$2 e^{0} + 4 e^{- 0}$
	↓	$e^{0} = 1$
	$=$	$6$

Pflichtteil

Aufgabe 1

Flächenstück berechnen

Flächeninhalt Quadrat:

Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen Graph und x-Achse:

Gleichsetzen der Flächeninhalte:

Aufgabe 2

Berechnung der Nullstelle

Lösungsvorschlag

Steigung der Tangente:

y-Achsenabschnitt der Tangente

Geradengleichung der Tangente

Aufgabe 3

Koordinaten des Punktes

Anfertigen der Skizze

Aufgabe 4

Baumdiagramm als Hilfe

Ereignis

Wahrscheinlichkeiten $P (X = k)$

Aufstellen des Erwartungswertes

Aufgabe 5

Gerade in Ebenengleichung einsetzen

Untersuchen der Richtungsvektoren

Gleichsetzen der Geradengleichungen

Aufgabe 6

1. Gleichung - rechtwinklige Katheten

2. Gleichung - Länge der Katheten

Bestimme den Punkt $C$

$A$	$=$	$\int_{0}^{2 a} f (x) d x$
	$=$	${[F (x)]}_{0}^{2 a}$
	↓	Bestimme eine Stammfunktion F(x). (Hilfe im Spoiler oben)
	$=$	${[- \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2}]}_{0}^{2 a}$
	↓	Setze die Nullstellen ein. In die eckige Klammer wird für x der obere Wert (2a) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$- \frac{1}{3} \cdot {(2 a)}^{3} + a \cdot {(2 a)}^{2}$
	$=$	$- \frac{1}{3} \cdot 8^{} a^{3} + a \cdot 4 a^{2}$
	$=$	$- \frac{8}{3} a^{3} + 4 a^{3^{}}$
	$=$	$- \frac{8}{3} a^{3} + \frac{12}{3} a^{3}$
	$=$	$\frac{4}{3} a^{3}$

Wenn beide Flächeninhalte gleich sind, gilt:
	↓
$A_{Q u a d r a t}$	$=$	$A_{F l \ddot{a} c h e n s t \ddot{u} c k}$
	↓	Einsetzen der Terme für die Flächeninhalte
$a^{4}$	$=$	$\frac{4}{3} a^{3}$	$: (a^{3})$
	↓	Da $a > 1$ gilt, kann durch $a^{3}$ geteilt werden.
$a^{}$	$=$	$\frac{4}{3}$

Der Funktionswert $f (x)$ wird gleich $0$ gesetzt.
	↓
$f (x)$	$=$	$0$
$2 e^{x} - \frac{4}{e^{x}}$	$=$	$0$	$\cdot e^{x}$
$2 e^{2 x} - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$2 e^{2 x}$	$=$	$4$	$: 2$
$e^{2 x}$	$=$	$2$	$\ln ()$
$2 x$	$=$	$\ln (2)$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{1}{2} \ln (2)$

$f (x)$	$=$	$2 e^{x} - \frac{4}{e^{x}}$
	↓	im y-Achsenabschnitt gilt $x = 0$
$f (0)$	$=$	$2 e^{0} - \frac{4}{e^{0}}$
	↓	$e^{0} = 1$
	$=$	$- 2$

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf und setze die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Tangente ein.
	↓
$y$	$=$	$m x + b$
	↓	m ist die Steigung b ist der y-Achsenabschnitt
	$=$	$6 x - 2$

$2$	$=$	$x + y + z$
	↓	Setze die Gerade koordinatenweise in die Ebenengleichung ein
$2$	$=$	$s + 1 + (1 - s)$
	↓	Vereinfache
	$=$	$2$

Gleichsetzen
	↓
$(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array})$
	↓	Bringe alle Stützvektoren nach links und alle Richtungsvektoren nach rechts.
$(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$t \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ a \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

$0$	$=$	$(\begin{array}{c} x \\ 0 \\ z \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ - 4 \end{array})$
	↓	Skalarprodukt ausrechnen
$0$	$=$	$3 x - 4 z$

$\| \vec{A C} \|$	$=$	$\| \vec{A B} \|$
$\sqrt{x^{2} + z^{2}}$	$=$	$\sqrt{3^{2} + 5^{2} + (- 4)^{2}}$
$\sqrt{x^{2} + z^{2}}$	$=$	$\sqrt{50}$	$()^{2}$
$x^{2} + z^{2}$	$=$	$50$
	↓	Setze $x = \frac{4}{3} z$ ein.
$\frac{16}{9} z^{2} + z^{2}$	$=$	$50$
	↓	Vereinfache
$\frac{25}{9} z^{2}$	$=$	$50$	$\cdot \frac{9}{25}$
$z^{2}$	$=$	$18$	$\sqrt{}$
$z$	$=$	$\pm \sqrt{18}$

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Aufgabe 1

Flächenstück berechnen

Flächeninhalt Quadrat:

Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen Graph und x-Achse:

Gleichsetzen der Flächeninhalte:

Aufgabe 2

Berechnung der Nullstelle

Lösungsvorschlag

Steigung der Tangente:

y-Achsenabschnitt der Tangente

Geradengleichung der Tangente

Aufgabe 3

Koordinaten des Punktes

Anfertigen der Skizze

Aufgabe 4

Baumdiagramm als Hilfe

Ereignis

Wahrscheinlichkeiten P(X=k)

Aufstellen des Erwartungswertes

Aufgabe 5

Gerade in Ebenengleichung einsetzen

Untersuchen der Richtungsvektoren

Gleichsetzen der Geradengleichungen

Aufgabe 6

1. Gleichung - rechtwinklige Katheten

2. Gleichung - Länge der Katheten

Bestimme den Punkt C

Wahrscheinlichkeiten $P (X = k)$

Bestimme den Punkt $C$