Pflichtteil

Aufgabe 1

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion f mit $f (x) = - x^{2} + 2 a x$ mit $a > 1$ .

Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat. (2 BE)

$A$	$=$	$\int_{0}^{2 a} f (x) d x$
	$=$	${[F (x)]}_{0}^{2 a}$
	↓	Bestimme eine Stammfunktion F(x). (Hilfe im Spoiler oben)
	$=$	${[- \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2}]}_{0}^{2 a}$
	↓	Setze die Nullstellen ein. In die eckige Klammer wird für x der obere Wert (2a) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$- \frac{1}{3} \cdot {(2 a)}^{3} + a \cdot {(2 a)}^{2}$
	$=$	$- \frac{1}{3} \cdot 8^{} a^{3} + a \cdot 4 a^{2}$
	$=$	$- \frac{8}{3} a^{3} + 4 a^{3^{}}$
	$=$	$- \frac{8}{3} a^{3} + \frac{12}{3} a^{3}$
	$=$	$\frac{4}{3} a^{3}$

Wenn beide Flächeninhalte gleich sind, gilt:
	↓
$A_{Q u a d r a t}$	$=$	$A_{F l \ddot{a} c h e n s t \ddot{u} c k}$
	↓	Einsetzen der Terme für die Flächeninhalte
$a^{4}$	$=$	$\frac{4}{3} a^{3}$	$: (a^{3})$
	↓	Da $a > 1$ gilt, kann durch $a^{3}$ geteilt werden.
$a^{}$	$=$	$\frac{4}{3}$