Pflichtteil

Aufgabe 4

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die Zahl $a$ mit $a \neq 2$ . Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ berechnet werden kann. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Baumdiagramm als Hilfe
Das Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment.
Die Wahrscheinlichkeiten sind damit
$P (a) = \frac{2}{5}$
$P (2) = \frac{3}{5}$
Baumdiagramm
Ereignis
Das gesuchte Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ ist:
"Es wird eine $2$ und ein $a$ gezogen."
oder
"Auf beiden Kugeln stehen unterschiedliche Zahlen."
Da zwei Pfade zu dieser Beschreibung passen, gibt es den Vorfaktor $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ .
Skizziere zur Hilfe ein Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten $\frac{3}{5}$ und $\frac{2}{5}$ zuordnen zu können.
Bestimme ein Ereignis, welches genau zwei Pfade mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ beinhaltet.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Summe der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist 8.

Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Wahrscheinlichkeiten $P (X = k)$

Die Zufallsvariable $X$ kann folgende Werte annehmen:

$4$ falls zweimal die $2$ gezogen wird
$a + 2$ falls unterschiedliche Zahlen gezogen werden
$2 a$ falls zweimal die andere Zahl $a$ gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich mithilfe des Baumdiagramms (siehe Lösung a):

$X = k$	$4$	$2 + a$	$2 a$
$P (X = k)$	$\frac{9}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{4}{25}$

Aufstellen des Erwartungswertes

Erwartungswert ist die Summe der Werte, die $X$ annehmen kann, mal deren Wahrscheinlichkeit
	↓
$E [X]$	$=$	$4 \cdot \frac{9}{25} + (2 + a) \cdot \frac{12}{25} + 2 a \cdot \frac{4}{25}$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{36}{25} + \frac{24}{25} + a \cdot \frac{12}{25} + a \cdot \frac{8}{25}$
	$=$	$\frac{60}{25} + a \cdot \frac{20}{25}$
	↓	Erwartungswert ist laut Aufgabe gleich $8$ .
$8$	$=$	$\frac{60}{25} + a \cdot \frac{20}{25}$	$- \frac{60}{25}$
$\frac{28}{5}$	$=$	$a \cdot \frac{4}{5}$	$\cdot 5$
$28$	$=$	$4 a$	$: 4$
$7$	$=$	$a$

$a$ hat den Wert $7$ .

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

Pflichtteil

Aufgabe 4

Baumdiagramm als Hilfe

Ereignis

Wahrscheinlichkeiten P(X=k)

Aufstellen des Erwartungswertes

Wahrscheinlichkeiten $P (X = k)$