Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

Wie gut kennst du dich mit Funktionenscharen aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen gemischten Übungsaufgaben!

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Gegeben sind die Funktionenschar $f_{k}$ mit $f_{k} (x) = 2 kx + 3$ mit dem Parameter $k \in ℝ$ und die Parabel $p$ mit $p (x) = x^{2} - 2 x + 5$ .
Welche der Geraden $f_{k}$ ist parallel zur Tangente an $p$ im Punkt $Q (2 | 5)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente bestimmen
Berechne die Steigung der Tangente, indem du die Steigung der Parabel an dem Punkt berechnest. Bilde dazu die 1. Ableitung der Parabel.
$p ´ (x)$ $=$ $2 x - 2$
↓
Bestimme die Steigung am Punkt $(2 | 5)$
$p ´ (2)$ $=$ $4 - 2$
↓
Was heißt das für die Tangente?
$p ´ (2)$ $=$ $2$
↓
Tangente hat die Steigung 2
Parallele Gerade bestimmen
Damit die Gerade parallel zur Tangente ist, muss sie die gleiche Steigung haben.
Bestimme die Steigung der Geraden. Bilde dazu die 1. Ableitung der Geraden.
$f ´_{k} (x)$ $=$ $2 k$
↓
Diese Steigung soll gleich der der Tangente sein. Setze sie also gleich.
$2 k$ $=$ $2$ $: 2$
$k$ $=$ $1$
↓
Gib die Gerade explizit an.
$\Rightarrow f_{1} (x) = 2 x + 3$ ist die gesuchte Gerade
Graphische Darstellung
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Bewege den Schieberegler, bis die rote Gerade parallel zur (schwarzen) Tangente durch den Punkt $Q$ ist. Lies den Wert für $k$ und die Funktionsgleichung $f$ ab.
Vergleiche mit der rechnerischen Lösung.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = \frac{1}{a^{2}} x^{3} - \frac{3}{a} x^{2} - 9 x + 5 (a + 1)$ mit dem negativen Parameter $a$ .

Untersuche die Lage des Maximums.
Zeige, dass die Maxima aller Scharkurven auf einer Geraden liegen und gib deren Gleichung an.

3
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k}$ mit $f_{k} (x) = \frac{kx - 2}{x^{2}}$ .
Das Schaubild zeigt den Graphen für $k = 3$ .
Bestimme die Lage des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter $k$ .
Überzeuge dich davon, dass sich für $k = 3$ die in der Abbildung gezeigte Lage des Wendepunktes ergibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
$f_{k} (x) = \frac{kx - 2}{x^{2}}$
Bestimme die Ableitung.
$f_{k}^{'} (x)$ $=$ $\frac{x^{2} \cdot k - (kx - 2) \cdot 2 x}{x^{4}}$
↓
Kürze ein x und fasse dann Terme im Zähler zusammen.
$=$ $\frac{xk - 2 (kx - 2)}{x^{3}}$
$=$ $\frac{4 - kx}{x^{3}}$
Bestimme die 2. Ableitung $f_{k}^{''}$ , indem du $f_{k}^{'}$ ableitest.
$f_{k}^{''} (x)$ $=$ $\frac{x^{3} \cdot (- k) - (4 - kx) \cdot 3 x^{2}}{x^{6}}$
↓
Kürze $x^{2}$ , multipliziere aus und fasse Terme zusammen.
$=$ $\frac{2 kx - 12}{x^{4}}$
Setze die 2. Ableitung gleich Null, um Wendepunkte zu finden.
$f_{k}^{''} (x)$ $=$ $0$
$\frac{2 k x - 12}{x^{4}}$ $=$ $0$
$f_{k}^{''}$ ist Null, wenn der Zähler der Funktion Null ist.
$2 k x - 12$ $=$ $0$ $+ 12$
$2 k x$ $=$ $12$ $: 2$
$k x$ $=$ $6$
Nun benötigst du eine Fallunterscheidung, weil du nicht ohne weiteres durch $k$ teilen kannst. $k$ könnte auch Null sein und dann darfst du nicht dadurch teilen.
1. Fall: Für $k = 0$ lautet deine Gleichung am Ende $0 \cdot x = 6$ . Diese Gleichung ist für kein $x \in ℝ$ erfüllt. Also hat $f_{0}$ keine Wendestelle.
2. Fall: Wenn $k \neq 0$ ist, bekommst du nun $x = \frac{6}{k}$ als Ergebnis. $f_{k}$ hat also eine Wendestelle bei $x = \frac{6}{k}$ .
Bestimme, wo die 2. Ableitung größer bzw. kleiner 0 ist, um das Krümmungsverhalten zu ermitteln.
Wenn $k > 0$ ist:
$x < \frac{6}{k} \Rightarrow f_{k}^{^{''}} (x) < 0$
$\Rightarrow f (x)$ rechtsgekrümmt in $] - \infty; \frac{6}{k} [$
$x > \frac{6}{k} \Rightarrow f_{k}^{^{''}} (x) > 0$
$\Rightarrow f (x)$ linksgekrümmt in $] \frac{6}{k}; + \infty [$
Wenn $k < 0$ ist:
$x < \frac{6}{k} \Rightarrow f_{k}^{^{''}} (x) > 0$
$\Rightarrow f (x)$ linksgekrümmt in $] - \infty; \frac{6}{k} [$
$x > \frac{6}{k} \Rightarrow f_{k}^{‘ ‘} (x) < 0$
$\Rightarrow f (x)$ rechtsgekrümmt in $] \frac{6}{k}; + \infty [$
Krümmungsverhalten zusammenfassend
Anzahl der Wendestellen
rechtsgekrümmt in
linksgekrümmt in
k=0
keine
k>0
eine bei $x = \frac{6}{k}$
$] - \infty; \frac{6}{k} [$
$] \frac{6}{k}; + \infty [$
k<0
eine bei $x = \frac{6}{k}$
$] \frac{6}{k}; + \infty [$
$] - \infty; \frac{6}{k} [$
Überprüfung der Lösung für k=3
Überprüfe, ob der Wendepunkt für $k = 3$ übereinstimmt.
$k = 3 \Rightarrow x = \frac{6}{3} = 2$
Bestimme den y-Wert des Wendepunktes, indem du den x-Wert in f(x) einsetzt
$f_{3} (2) = \frac{3 \cdot 2 - 2}{2^{2}} = \frac{4}{4} = 1$
Gib den Wendepunkt an und überprüfe, ob er mit dem auf dem Bild übereinstimmt
Für $k = 3$ ist der Wendepunkt $(2 | 1)$
$\Rightarrow$ Stimmt mit Bild überein

	Anzahl der Wendestellen	rechtsgekrümmt in	linksgekrümmt in
k=0	keine
k>0	eine bei $x = \frac{6}{k}$	$] - \infty; \frac{6}{k} [$	$] \frac{6}{k}; + \infty [$
k<0	eine bei $x = \frac{6}{k}$	$] \frac{6}{k}; + \infty [$	$] - \infty; \frac{6}{k} [$

$f_{a} (x) = - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (x^{2} - ax)$ mit $a \in ℝ \ {0; 8}$

Bestimme den Flächeninhalt $A (a)$ der Fläche zwischen $G_{f_{a}}$ und der x-Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden

Nullstellen berechnen

Bestimme zuerst die Nullstellen der Funktion. Setze also die Funktion gleich 0.

$f_{a} (x)$	$=$	$0$
	↓	Setze $f_{a} (x) = - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (x^{2} - ax)$ ein.
$- \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (x^{2} - ax)$	$=$	$0$	$: (- \frac{4}{a^{2}} (8 - a))$
	↓	Es wird durch alles, dass kein $x$ enthält dividiert , da dies keine Auswirkung auf die Nullstellen hat.
$x^{2} - a x$	$=$	$0$
	↓	$x$ wird ausgeklammert.
$x (x - a)$	$=$	$0$

Diese Gleichung ist dann Null, wenn entweder die Zahl vor der Klammer oder das Innere der Klammer gleich 0 ist.

$x_{1} = 0, x_{2} = a$

Integral aufstellen

Jetzt kannst du ein Integral aufstellen, um die vom Graphen $G_{f a}$ und der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche $A (a)$ zu berechnen. Die Fläche befindet sich zwischen den beiden Nullstellen von $f_{a}$ .

$A (a)$	$=$	$\| \int_{0}^{a} - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (x^{2} - a x) dx \|$
	↓	Der Term $- \frac{4}{a^{2}} (8 - a)$ wird vor das Integral gezogen. Er hängt nicht von $x$ ab.
	$=$	$\| - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) \int_{0}^{a} (x^{2} - a x) dx \|$
	↓	Bestimme eine Stammfunktion von $(x^{2} - a x)$ , um das Integral zu berechnen.
	$=$	$\| - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) {[\frac{1}{3} x^{3} - a \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{a} \|$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die obere Grenze $(a)$ eingesetzt und minus die Klammer mit der unteren Grenze $(0)$ gerechnet.
	$=$	$\| - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) [(\frac{1}{3} a^{3} - a \frac{1}{2} a^{2}) - (\frac{1}{3} 0^{3} - a \frac{1}{2} 0^{2})] \|$
	$=$	$\| - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (\frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{2} a^{3}) \|$
	$=$	$\| - \frac{4}{a^{2}} (8 - a) (- \frac{1}{6} a^{3}) \|$
	$=$	$\| \frac{4}{6 a^{2}} (8 a^{3} - a^{4}) \|$
	$=$	$\| \frac{2}{3} (8 a - a^{2}) \|$
	$=$	$\| \frac{2}{3} (8 a - a^{2}) \|$
	↓	Multipliziere nun die Klammer aus und sortiere nach Potenzen.
	$=$	$\| - \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a \|$

Um die Betragsstriche weglassen zu können und später leichter rechnen zu können, kannst du dir überlegen, wann das Innere $- \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a$ positiv ist und wann negativ.

$- \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a = - \frac{2}{3} (a^{2} - 8 a) = - \frac{2}{3} \cdot a \cdot (a - 8)$

Der Term $- \frac{2}{3} \cdot a \cdot (a - 8)$ wäre Null für $a = 0$ und $a = 8$ . Somit schaust du dir die folgenden Bereiche an:

$a < 0$
$0 < a < 8$ und
$a > 8$

In einer Vorzeichentabelle siehst du, wann $- \frac{2}{3} \cdot a \cdot (a - 8)$ positiv ist und wann negativ:

	$a < 0$	$0 < a < 8$	$a > 8$
$- \frac{2}{3}$	$-$	$-$	$-$
$a$	$-$	$+$	$+$
$a - 8$	$-$	$-$	$+$

$- \frac{2}{3} \cdot a \cdot (8 - a)$	$-$	$+$	$-$

$\Rightarrow - \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} > 0$ für $0 < a < 8$ und sonst ist $- \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} < 0$

Antwort: $A (a) = {\begin{matrix} - \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a & 0 < a < 8 \\ \frac{2}{3} a^{2} - \frac{16}{3} a & sonst \end{matrix}$

Für welche $a$ ist der Inhalt der Fläche $A (a)$ gleich 8?

Bestimme für $0 < a < 8$ den Flächeninhalt $A (a)$ so, dass dieser möglichst groß wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maximum
Der Maximalwert der Fläche ist das gleiche, wie das Maximum der Funktion .
Um dieses zu bestimmen, muss $A_{1} (a)$ ( $A_{1} = - \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a$ ) abgeleitet werden.
$A_{1}^{'} (a) = - \frac{4}{3} a + \frac{16}{3}$
Der Graph von $A_{1} (a)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel, d.h. es gibt nur ein Maximum. Das gesuchte Maximum ist die Nullstelle der Ableitung, demnach wird $\frac{dA}{da}$ gleich $0$ gesetzt.
$0$ $=$ $A_{1}^{'} (a)$
$0$ $=$ $- \frac{4}{3} a + \frac{16}{3}$ $+ \frac{4}{3} a$
$\frac{4}{3} a$ $=$ $\frac{16}{3}$ $: \frac{4}{3}$
$a$ $=$ $4$
Die Bedingung in der Aufgabenstellung $0 < a < 8$ ist für $a = 4$ erfüllt.
Die Stelle, an der $A_{1} (a)$ den größten Wert hat ist bekannt, wie hoch dieser ist wird ermittelt, indem das berechnete $a$ in $A_{1} (a)$ eingesetzt wird.
$A_{1} (4)$ $=$ $- \frac{2}{3} \cdot 4^{2} + \frac{16}{3} \cdot 4$
$=$ $- \frac{2}{3} \cdot 16 + \frac{16}{3} \cdot 4$
$=$ $- \frac{32}{3} + \frac{64}{3}$
$=$ $\frac{32}{3}$
$=$ $10, 6$
Antwort: Der maximale Flächeninhalt beträgt $\frac{32}{3}$ FE.

$F_{4} (x) = \int_{4}^{x} f_{4} (t) dt$ Bestimme den Term $F_{4} (x)$ und alle Nullstellen von $F_{4}$

Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von $G_{F_{4}}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Leite $F_{4} (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{32}{3}$ zweimal ab.
$F_{4}^{'} (x) = - x^{2} + 4 x$
$F_{4}^{''} (x) = - 2 x + 4$
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema von $F_{4} (x)$ .
$F_{4}^{'} {(x)}_{}$ $=$ $0$
↓
Setze $F_{4}^{'} (x) = - x^{2} + 4 x$ ein.
$- x^{2} + 4 x$ $=$ $0$
↓
Klammere $- x$ aus.
$- x (x - 4)$ $=$ $0$
Die Gleichung ist gleich 0, wenn ein Element der Multiplikation ( $- x \cdot (x - 4)$ ) Null ist.
$- x = 0$ für $x = 0$
$x - 4 = 0$ für $x = 4$
$x_{1} = 0, x_{2} = 4$
Extremum für $x = 0$
Setze die gefundene Nullstelle $x = 0$ der Ableitung von $F_{4} (x)$ in $F_{4} (x)$ ein.
$F_{4} (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{32}{3}$
$F_{4} (0) = - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} - \frac{32}{3} = - \frac{32}{3}$
Setze jetzt $x = 0$ in $F_{4}^{''} (x) = - 2 x + 4$ ein.
$F_{4}^{''} (0) = - 2 \cdot 0 + 4 = 4$
Da $F_{4}^{''} (0) > 0$ ist, hat $F_{4} (x)$ an der Stelle $x_{1} = 0$ einen Tiefpunkt $TP (0 | - \frac{32}{3})$ .
Extremum für $x = 4$
Setze die gefundene Nullstelle $x = 4$ der Ableitung von $F_{4} (x)$ in $F_{4} (x)$ ein.
$F_{4} (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{32}{3}$
$F_{4} (4) = - \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 2 \cdot 4^{2} - \frac{32}{3} = 0$
Setze jetzt $x = 4$ in $F_{4}^{''} (x) = - 2 x + 4$ ein.
$F_{4}^{''} (4) = - 2 \cdot 4 + 4 = - 4$
Da $F_{4}^{''} (4) < 0$ ist, hat $F_{4} (x)$ an der Stelle $x_{2} = 4$ einen Hochpunkt $HP (4 | 0)$
Wendepunkt bestimmen
Bestimme nun den Wendepunkt.
Setze dafür die zweite Ableitung $F_{4}^{''} (x) = - 2 x + 4$ gleich $0$ .
$0$ $=$ $F_{4}^{''} (x)$
$0$ $=$ $- 2 x + 4$ $+ 2 x$
$2 x$ $=$ $4$ $: 2$
$x$ $=$ $2$
Setze $x = 2$ in $F_{4} (x)$ ein.
$F_{4} (2) = - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - \frac{32}{3} = - \frac{16}{3}$
Damit ergeben sich die Koordinaten des Wendepunktes $W P (2 | - \frac{16}{3})$ .
Skizziere $G_{f_{4}}$ und $G_{F_{4}}$ im selben Koordinatensystem.

5
Gegeben ist die Funktionenschar mit dem Parameter $a \in ℝ$ durch $f_{a} (x) = \frac{- 2 x^{2} + 50}{x^{2} + a}$
Untersuche $f_{a}$ auf Definitionsbereich und Nullstellen. Gib den Schnittpunkt $Y_{a}$ mit der y-Achse an

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Finde Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner Null wird.
$x^{2} + a = 0$ $| - a$
$x^{2} = - a$
Mache eine Fallunterscheidung für a.
$a > 0$ : Gleichung nie erfüllt
Bestimme den Definitionsbereich.
$\Rightarrow D_{f_{a}} = ℝ$
$a \leq 0 :$ $x = \pm \sqrt{- a}$
Bestimme den Definitionsbereich.
$\Rightarrow D_{f_{a}} = ℝ \ {\pm \sqrt{- a}}$
Nullstellen bestimmen
$- 2 x^{2} + 50 = 0 | - 50$
$- 2 x^{2} = - 50$ $| : (- 2)$
$x^{2} = 25$ $| \sqrt{}$
$x = \pm 5$
Gib die beiden Nullstellen an.
$\Rightarrow x_{1} = - 5, x_{2} = 5$
Y-Achsenabschnitt bestimmen
Setze $0$ in die Funktion ein
$f_{a} (0) = \frac{- 2 \cdot {(0)}^{2} + 50}{{(0)}^{2} + a} = \frac{50}{a}$
Gib den Schnittpunkt an.
$\Rightarrow Y_{a} (0 | \frac{50}{a})$

Berechne $\lim_{x \to \sqrt{- a} \pm 0} f (x)$ , sofern $a \leq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert berechnen
$f_{a} (x)$ $=$ $\frac{- 2 x^{2} + 50}{x^{2} + a}$
↓
Faktorisiere die Funktion für $a \leq 0$
$=$ $\frac{- 2 (x + 5) (x - 5)}{(x + \sqrt{- a}) (x - \sqrt{- a})}$
Berechne nun den Grenzwert
$\lim_{x \to \sqrt{- a} \pm 0} f_{a} (x)$ $=$ $\lim_{x \to \sqrt{- a} \pm 0} \frac{- 2 (x + 5) (x - 5)}{(x + \sqrt{- a}) (x - \sqrt{- a})}$
↓
Setze die Grenze ein.
$=$ $\frac{- 2 (\sqrt{- a} + 5) (\sqrt{- a} - 5)}{(\sqrt{- a} + \sqrt{- a}) \underset{_{- 0 \Rightarrow 0}}{\underset{⏟}{(\sqrt{- a} - \sqrt{- a})}}}$
Bestimme nun den Grenzwert. Je nachdem von welcher Seite man sich $\sqrt{- a}$ nähert, erhält man entweder ein $+$ oder ein $-$ als Vorzeichen:
$\overset{}{\to}$

Fertige eine Skizze der Funktionsgraphen für $a = - 25, a = - 16$ und $a = 25$ an.

$f_{a} (x) = \frac{- 2 x^{2} + 50}{x^{2} + a}$
Setze die geforderten Werte für a ein und bestimme so die 3 Funktionsterme
$f_{- 25} (x) = \frac{- 2 x^{2} + 50}{x^{2} - 25} \frac{- 2 (x^{2} - 25)}{(x^{2} - 25)} - 2$
Beachte hier aber die Definitionslücken beim Einzeichnen!
$f_{- 16} (x) = \frac{- 2 x^{2} + 50}{x^{2} - 16}$
$f_{25} (x) = \frac{- 2 x^{2} + 50}{x^{2} + 25}$
Skizze:
6
Für jedes $a \in ℝ \ {0}$ ist die Funktionenschar gegeben durch $f_{a} (x) = x \cdot e^{a x} + \frac{3}{a}$ .
Der Graph der Funktion ist $K_{a}$ .
Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter $a$ an.
Wo schneiden die Scharkurven die $y$ -Achse?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Die $y$ -Achse wird für $x = 0$ geschnitten.
Setze $x = 0$ in die Funktionsgleichung ein:
$f_{a} (0) = 0 \cdot e^{a \cdot 0} + \frac{3}{a} = 0 \cdot 1 + \frac{3}{a} = \frac{3}{a}$
Antwort: Der Schnittpunkt der Scharkurven mit der $y$ -Achse hat die Koordinaten $S_{y} (0 | \frac{3}{a})$ .

Untersuche $K_{a}$ auf Hoch- und Tiefpunkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet: $f_{a}^{'} (x) = 0$
Berechne die 1. Ableitung, beachte dabei die Produktregel und die Kettenregel:
$f_{a}^{'} (x) = 1 \cdot e^{a x} + x \cdot e^{a x} \cdot a = (1 + a \cdot x) \cdot e^{a x}$
Setze $f_{a}^{'} (x) = 0$
$\Rightarrow 0 = \underset{= 0}{\underset{⏟}{(1 + a \cdot x)}} \cdot \underset{immer > 0}{\underset{⏟}{e^{a \cdot x}}}$
Nur die Klammer kann null werden:
$0 = 1 + a \cdot x \Rightarrow x = - \frac{1}{a}$
Die Feststellung, ob sich an der Stelle $x = - \frac{1}{a}$ ein Extremum befindet, kann mit einer Monotonietabelle oder der 2. Ableitung erfolgen. Hier erfolgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung:
Ist $f_{a}^{''} (x) > 0$ , dann hat die Scharkurve $K_{a}$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
Ist $f_{a}^{''} (x) < 0$ , dann hat die Scharkurve $K_{a}$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
Berechne die 2. Ableitung, beachte dabei wieder die Produktregel und die Kettenregel:
$f_{a}^{'} (x) = (1 + a \cdot x) \cdot e^{a x}$
$f_{a}^{''} (x) = a \cdot e^{a x} + (1 + a \cdot x) \cdot e^{a x} \cdot a = (a^{2} \cdot x + 2 a) \cdot e^{a x}$
Setze $x = - \frac{1}{a}$ in $f_{a}^{''} (x) = (a^{2} \cdot x + 2 a) \cdot e^{a x}$ ein:
$f_{a}^{''} (- \frac{1}{a}) = (a^{2} \cdot (- \frac{1}{a}) + 2 a) \cdot e^{a \cdot (- \frac{1}{a})} = (- a + 2 a) \cdot e^{- 1} = a \cdot e^{- 1}$
Das Ergebnis ist vom Scharparameter $a$ abhängig, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $a$ erforderlich.
Fallunterscheidung
Fall 1: $a > 0$
$f_{a}^{''} (- \frac{1}{a}) = a \cdot e^{- 1} > 0 \Rightarrow TP$
Fall 2: $a < 0$
$f_{a}^{''} (- \frac{1}{a}) = a \cdot e^{- 1} < 0 \Rightarrow HP$
Setze $x = - \frac{1}{a}$ in $f_{a} (x)$ ein, um die $y$ -Koordinate der Extrema zu berechnen.
$f_{a} (- \frac{1}{a}) = (- \frac{1}{a}) \cdot e^{a \cdot (- \frac{1}{a})} + \frac{3}{a} = \frac{3}{a} - \frac{1}{a} \cdot e^{- 1} = \frac{1}{a} \cdot (3 - e^{- 1})$
Antwort: Für $a > 0$ hat der Tiefpunkt die Koordinaten $T P (- \frac{1}{a} | \frac{1}{a} \cdot (3 - e^{- 1}))$ und für $a < 0$ hat der Hochpunkt die Koordinaten $H P (- \frac{1}{a} | \frac{1}{a} \cdot (3 - e^{- 1}))$ .

Bestimme das Verhalten der Funktion $f_{a} (x)$ für $x \to - \infty$ und für $x \to \infty$ und gib gegebenenfalls die Asymptote an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Betrachte zunächst $\lim_{x \to + \infty} (x \cdot e^{a x} + \frac{3}{a})$ . Wie verhält sich der Ausdruck $x \cdot e^{a x}$ , wenn $x$ sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters $a$ ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $a$ erforderlich.
Fallunterscheidung
Fall 1: $a > 0$
$\lim_{x \to + \infty} (x \cdot e^{a x} + \frac{3}{a}) = \lim_{x \to + \infty} \underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{x \cdot e^{a x}}} + \frac{3}{a} = + \infty$
Für $a > 0$ wächst $e^{a x}$ für $x \to + \infty$ stärker als jede Potenz von $x$ . Der Ausdruck $x \cdot e^{a x}$ geht somit gegen $+ \infty$ .
$\lim_{x \to - \infty} (x \cdot e^{a x} + \frac{3}{a}) = \lim_{x \to - \infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{x \cdot e^{a x}}} + \frac{3}{a} = \frac{3}{a}$
Für $a > 0$ geht $e^{a x}$ für $x \to - \infty$ stärker gegen $0$ als $x \to - \infty$ . Der Ausdruck $x \cdot e^{a x}$ geht somit gegen $0$ .
Fall 2: $a < 0$
$\lim_{x \to + \infty} (x \cdot e^{a x} + \frac{3}{a}) = \lim_{x \to + \infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{x \cdot e^{a x}}} + \frac{3}{a} = \frac{3}{a}$
Für $a < 0$ geht $e^{a x}$ für $x \to + \infty$ stärker gegen $0$ als $x \to + \infty$ . Der Ausdruck $x \cdot e^{a x}$ geht somit gegen $0$ .
$\lim_{x \to - \infty} (x \cdot e^{a x} + \frac{3}{a}) = \lim_{x \to - \infty} \underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{x \cdot e^{a x}}} + \frac{3}{a} = - \infty$
Für $a < 0$ wächst $e^{a x}$ für $x \to - \infty$ stärker als jede Potenz von $x$ . Der Ausdruck $x \cdot e^{a x}$ geht somit gegen $- \infty$ .
Alle Scharkurven haben eine waagrechte Asymptote $y_{A} = \frac{3}{a}$ .

Skizziere für $a = - 3$ und $a = 1$ die Graphen von $K_{- 3}$ und von $K_{1}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Für $a = - 3$ lautet $f_{- 3} (x) = x \cdot e^{- 3 x} - 1$ und für $a = 1$ ist $f_{1} = x \cdot e^{x} + 3$ . Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse $S_{y} (0 | \frac{3}{a})$ , der Extrempunkt $E (- \frac{1}{a} | \frac{1}{a} \cdot (3 - e^{- 1}))$ und die waagrechte Asymptote $y_{A} = \frac{3}{a}$ . Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.
Tabelle für $f_{- 3} (x) = x \cdot e^{- 3 x} - 1$ :
x
$f_{- 3} (x)$
besonderer Punkt
-0,5
-3,24
0
-1
$S_{y}$
0,33
-0,88
HP
1
-0,95
3
-1
Die Funktion $f_{- 3} (x) = x \cdot e^{- 3 x} - 1$ hat die waagrechte Asymptote $y_{A} = - 1$ .
Tabelle für $f_{1} = x \cdot e^{x} + 3$ :
x
$f_{1} (x)$
besonderer Punkt
-3
2,85
-2
2,73
-1
2,63
TP
0
3
$S_{y}$
0,5
3,82
1
5,72
Die Funktion $f_{1} (x) = x \cdot e^{x} + 3$ hat die waagrechte Asymptote $y_{A} = 3$ .
Die Graphen von $K_{- 3}$ und von $K_{1}$ .

Welche Scharkurve hat für $x = \frac{1}{2}$ ein Extremum?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Ein Extremum liegt vor, wenn $f_{a}^{'} (x) = 0$ ist.
Im Aufgabenteil b) wurde $f_{a}^{'} (x)$ berechnet: $f_{a}^{'} (x) = (1 + a \cdot x) \cdot e^{a x}$
Setze den Wert $x = \frac{1}{2}$ in die $1.$ Ableitung ein:
$f_{a}^{'} (\frac{1}{2}) = e^{a \cdot \frac{1}{2}} \cdot (1 + a \cdot \frac{1}{2})$
Setze $f_{a}^{'} (\frac{1}{2}) = 0$
$\Rightarrow 0 = \underset{immer > 0}{\underset{⏟}{e^{a \cdot \frac{1}{2}}}} \cdot \underset{= 0}{\underset{⏟}{(1 + a \cdot \frac{1}{2})}}$
Nur die Klammer kann null werden:
$0 = 1 + a \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow a = - 2$
Antwort: Für $a = - 2$ hat die Scharfunktion $f_{- 2} (x) = x \cdot e^{- 2 x} - \frac{3}{2}$ an der Stelle $x = \frac{1}{2}$ ein Extremum.

Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ortskurve
Für die Ortskurve der Extrema benötigst du die Extrempunktkoordinaten.
Das Extremum hat die Koordinaten $E (- \frac{1}{a} | \frac{1}{a} \cdot (3 - e^{- 1}))$ .
Für die Berechnung der Ortskurve setzt du $x = - \frac{1}{a}$ und $y = \frac{1}{a} \cdot (3 - e^{- 1})$ .
Löse dann $x = - \frac{1}{a}$ nach $a$ auf $\Rightarrow a = - \frac{1}{x}$ .
Setze $a = - \frac{1}{x}$ in $y = \frac{1}{a} \cdot (3 - e^{- 1})$ ein:
$y = \frac{1}{- \frac{1}{x}} \cdot (3 - e^{- 1}) = - x \cdot (3 - e^{- 1}) = (e^{- 1} - 3) \cdot x$
Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet $y = (e^{- 1} - 3) \cdot x$ . Der Graph der Ortskurve ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung $m = e^{- 1} - 3 \approx - 2,63$ .
Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Extrema dargestellt.
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x	$f_{- 3} (x)$	besonderer Punkt
-0,5	-3,24
0	-1	$S_{y}$
0,33	-0,88	HP
1	-0,95
3	-1

x	$f_{1} (x)$	besonderer Punkt
-3	2,85
-2	2,73
-1	2,63	TP
0	3	$S_{y}$
0,5	3,82
1	5,72

Für jedes $a \in ℝ \ {0}$ ist die Funktionenschar gegeben durch $f_{a} (x) = x + a \cdot e^{- x} + \frac{1}{a}$ .

Der Graph der Funktion ist $K_{a}$ .

Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter $a$ an.

Wo schneiden die Scharkurven die $y$ -Achse?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Die $y$ -Achse wird für $x = 0$ geschnitten.
Setze $x = 0$ in die Funktionsgleichung ein:
$f_{a} (0) = 0 + a \cdot e^{- 0} + \frac{1}{a} = a \cdot 1 + \frac{1}{a}$
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $S_{y} (0 | a + \frac{1}{a})$ geschnitten.

Welche Scharkurve schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_{y} (0 | 5,2)$ ?

Untersuche $K_{a}$ auf Hoch- und Tiefpunkte.

Welche Scharkurve hat für $x = 0$ die Steigung $\frac{1}{3}$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Die Steigung für $x = 0$ soll $\frac{1}{3}$ sein.
Setze $x = 0$ in $f_{a}^{'} (x) = 1 - a \cdot e^{- x}$ ein:
$f_{a}^{'} (0) = 1 - a \cdot e^{- 0} = 1 - a$
Setze $f_{a}^{'} (0) = \frac{1}{3} \Rightarrow$ $1 - a = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{2}{3}$
Antwort: Die Scharkurve $K_{\frac{2}{3}}$ hat bei $x = 0$ die Steigung $\frac{1}{3}$ .
Bestimme das Verhalten der Funktion $f_{a} (x)$ für $x \to - \infty$ und für $x \to \infty$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Betrachte zunächst $\lim_{x \to + \infty} (x + a \cdot e^{- x} + \frac{1}{a})$ . Wie verhält sich der Ausdruck $a \cdot e^{- x}$ , wenn $x$ sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters $a$ ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $a$ erforderlich.
Fallunterscheidung
Fall 1: $a > 0$
$\lim_{x \to + \infty} (x + a \cdot e^{- x} + \frac{1}{a}) = \lim_{x \to + \infty} (x + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{a \cdot e^{- x}}} + \frac{1}{a}) = \lim_{x \to + \infty} (x + \frac{1}{a})$
$\Rightarrow y_{A s y m p t o t e} = x + \frac{1}{a}$ ist eine schiefe Asymptote (im Weiteren abgekürzt mit $y_{A}$ )
$\lim_{x \to - \infty} (x + a \cdot e^{- x} + \frac{1}{a}) = \lim_{x \to - \infty} (x + \underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{a \cdot e^{- x}}} + \frac{1}{a}) = + \infty$
Fall 2: $a < 0$
$\lim_{x \to + \infty} (x + a \cdot e^{- x} + \frac{1}{a}) = \lim_{x \to + \infty} (x + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{a \cdot e^{- x}}} + \frac{1}{a}) = \lim_{x \to + \infty} (x + \frac{1}{a})$
$\Rightarrow y_{A} = x + \frac{1}{a}$ ist eine schiefe Asymptote.
$\lim_{x \to - \infty} (x + a \cdot e^{- x} + \frac{1}{a}) = \lim_{x \to - \infty} (x + \underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{a \cdot e^{- x}}} + \frac{1}{a}) = - \infty$
Alle Scharkurven haben bei $+ \infty$ eine schiefe Asymptote $y_{A} = x + \frac{1}{a}$ .
Skizziere für $a = - 1$ und $a = 1$ die Graphen von $K_{- 1}$ und von $K_{1}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Für $a = - 1$ lautet $f_{- 1} (x) = x - e^{- x} - 1$ und für $a = 1$ ist $f_{1} = x + e^{- x} + 1$ .
Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse $S_{y} (0 | a + \frac{1}{a})$ , der Tiefpunkt $T P (\ln (a) | \ln (a) + 1 + \frac{1}{a})$ und die schiefe Asymptote $y_{A} = x + \frac{1}{a}$ .
Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.
Tabelle für $f_{- 1} (x) = x - e^{- x} - 1$
x
$f_{- 1} (x)$
besonderer Punkt
-1
-4,72
-0,5
-3,15
0
-2
$S_{y}$
0,5
-1,11
1
-0,37
2
0,86
3
1,95
4
2,98
Die Funktion $f_{- 1} (x) = x - e^{- x} - 1$ hat die schiefe Asymptote $y_{A} = x - 1$ .
Tabelle für $f_{1} = x + e^{- x} + 1$
x
$f_{1} (x)$
besonderer Punkt
-2
6,39
-1
2,72
0
2
$S_{y}$ und TP
0,5
2,11
1
2,37
2
3,14
3
4,04
4
5,02
Die Funktion $f_{1} = x + e^{- x} + 1$ hat die schiefe Asymptote $y_{A} = x + 1$ .
Graphen von $K_{- 1}$ und von $K_{1}$ .
Auf welcher Ortskurve $g (x)$ liegen die Extrema?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ortskurve
Für die Ortskurve der Tiefpunkte benötigst du die Tiefpunktkoordinaten:
$T P (\ln (a) | \ln (a) + 1 + \frac{1}{a})$ .
Für die Berechnung der Ortskurve setzt du $x = \ln (a)$ und $y = \ln (a) + 1 + \frac{1}{a}$ .
Löse dann $x = \ln (a)$ nach $a$ auf $\Rightarrow a = e^{x}$ .
Setze $a = e^{x}$ in $y = \ln (a) + 1 + \frac{1}{a}$ ein:
$y = \ln (e^{x}) + 1 + \frac{1}{e^{x}} = x + 1 + e^{- x}$
Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet $g (x) = x + 1 + e^{- x}$ .
Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Tiefpunkte dargestellt.
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Anmerkung: Die Scharkurve $K_{1}$ und die Ortskurve sind identisch.

x	$f_{- 1} (x)$	besonderer Punkt
-1	-4,72
-0,5	-3,15
0	-2	$S_{y}$
0,5	-1,11
1	-0,37
2	0,86
3	1,95
4	2,98

x	$f_{1} (x)$	besonderer Punkt
-2	6,39
-1	2,72
0	2	$S_{y}$ und TP
0,5	2,11
1	2,37
2	3,14
3	4,04
4	5,02

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$8$	$=$	$A (a)$
	↓	Setze $A_{1} = - \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a$ ein.
$8$	$=$	$- \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a$	$- 8$
$0$	$=$	$- \frac{2}{3} a^{2} + \frac{16}{3} a - 8$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$a_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{16}{3} \pm \sqrt{{(\frac{16}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) (- 8)}}{2 (- \frac{2}{3})}$
	↓	Multipliziere unter der Wurzel aus.
$a_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{16}{3} \pm \sqrt{\frac{256}{9} - \frac{64}{3}}}{2 (- \frac{2}{3})}$
	↓	Fasse zusammen.
$a_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{16}{3} \pm \sqrt{\frac{64}{9}}}{- \frac{4}{3}}$
$a_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{16}{3} \pm \frac{8}{3}}{- \frac{4}{3}}$
$a_{1,2}$	$=$	$- \frac{3}{4} (- \frac{16}{3} \pm \frac{8}{3})$
$a_{1,2}$	$=$	$4 \mp 2$

$8$	$=$	$A (a)$
	↓	Setze $A_{2} = \frac{2}{3} a^{2} - \frac{16}{3} a$ ein.
$8$	$=$	$\frac{2}{3} a^{2} - \frac{16}{3} a$	$- 8$
$0$	$=$	$\frac{2}{3} a^{2} - \frac{16}{3} a - 8$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$a_{3,4}$	$=$	$\frac{\frac{16}{3} \pm \sqrt{{(\frac{16}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) (- 8)}}{2 (\frac{2}{3})}$
	↓	Multipliziere unter der Wurzel aus.
$a_{3,4}$	$=$	$\frac{\frac{16}{3} \pm \sqrt{\frac{256}{9} + \frac{64}{3}}}{2 (\frac{2}{3})}$
	↓	Fasse zusammen.
$a_{3,4}$	$=$	$\frac{\frac{16}{3} \pm \sqrt{\frac{448}{9}}}{\frac{4}{3}}$
$a_{3,4}$	$=$	$\frac{3}{4} (\frac{16}{3} \pm \frac{8 \sqrt{7}}{3})$
$a_{3,4}$	$=$	$4 \pm 2 \sqrt{7}$

$f_{4} (t)$	$=$	$\int_{4}^{x} f_{4} (t) dt$
	$=$	$\int_{4}^{x} (- t^{2} + 4 t) dt$
	↓	Integriere.
	$=$	${[- \frac{1}{3} t^{3} + \frac{4}{2} t^{2}]}_{4}^{x}$
	↓	In die Klammer wird für $t$ die obere Grenze $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit der unteren Grenze $(4)$ gerechnet.
	$=$	$[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2}] - [- \frac{1}{3} 4^{3} + \frac{4}{2} 4^{2}]$
	$=$	$- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + \frac{64}{3} - 32$
	$=$	$- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{32}{3}$

$0$	$=$	$x^{2} - 8 x + 16$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{8 \pm \sqrt{{(8)}^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (16)}}{2 \cdot (1)}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{8 \pm \sqrt{(64 - 64)}}{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{8}{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$4$

$5,2$	$=$	$a + \frac{1}{a}$	$\cdot a$
$5,2 a$	$=$	$a^{2} + 1$	$- 5,2 a$
$0$	$=$	$a^{2} - 5,2 a + 1$
	↓	Löse mit der pq-Formel.
$a_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 5,2$ und $q = 1$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 5,2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 5,2}{2})}^{2} - 1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$2,6 \pm \sqrt{{2,6}^{2} - 1}$
	$=$	$2,6 \pm \sqrt{5,76}$
	$=$	$2,6 \pm 2,4$
$a_{1}$	$=$	$5$
$a_{2}$	$=$	$0,2$

Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

Graphische Darstellung

2 Gerade bestimmen, auf der alle Maxima liegen

Krümmungsverhalten zusammenfassend

Überprüfung der Lösung für k=3

Nullstellen berechnen

Integral aufstellen

Alternativer Rechenweg für die Nullstelle

Extrema bestimmen

Extremum für $x = 0$

Extremum für $x = 4$

Wendepunkt bestimmen

Nullstellen bestimmen

Y-Achsenabschnitt bestimmen

Skizze:

Fallunterscheidung

Fallunterscheidung

$\lim_{x \to - \infty} (x \cdot e^{a x} + \frac{3}{a}) = \lim_{x \to - \infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{x \cdot e^{a x}}} + \frac{3}{a} = \frac{3}{a}$

Tabelle für $f_{- 3} (x) = x \cdot e^{- 3 x} - 1$ :

Tabelle für $f_{1} = x \cdot e^{x} + 3$ :

Die Graphen von $K_{- 3}$ und von $K_{1}$ .

Fallunterscheidung

Tabelle für $f_{- 1} (x) = x - e^{- x} - 1$

Tabelle für $f_{1} = x + e^{- x} + 1$

Graphen von $K_{- 1}$ und von $K_{1}$ .

$p ´ (x)$	$=$	$2 x - 2$
	↓	Bestimme die Steigung am Punkt $(2 \| 5)$
$p ´ (2)$	$=$	$4 - 2$
	↓	Was heißt das für die Tangente?
$p ´ (2)$	$=$	$2$
	↓	Tangente hat die Steigung 2

$f ´_{k} (x)$	$=$	$2 k$
	↓	Diese Steigung soll gleich der der Tangente sein. Setze sie also gleich.
$2 k$	$=$	$2$	$: 2$
$k$	$=$	$1$
	↓	Gib die Gerade explizit an.

$f ´_{a} (x)$	$=$	$\frac{1}{a^{2}} \cdot 3 x^{2} - \frac{3}{a} \cdot 2 x - 9$
	$=$	$\frac{3}{a^{2}} x^{2} - \frac{6}{a} x - 9$
	↓	Setze die 1.Ableitung gleich Null, um Extremstellen zu bestimmen.
$\frac{3}{a^{2}} x^{2} - \frac{6}{a} x - 9$	$=$	$0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
	$=$

	$=$	$(\frac{6}{a} \pm \frac{12}{a}) \cdot \frac{a^{2}}{6}$
	↓	Berechne die beiden Lösungen.

$x$	$=$	$3 a$
	↓	Berechne den y-Wert zu diesem x-Wert, indem du $x = 3 a$ in $f_{a}$ einsetzt.
$f_{a} (3 a)$	$=$	$\frac{1}{a^{2}} \cdot {(3 a)}^{3} - \frac{3}{a} \cdot {(3 a)}^{2} - 9 \cdot 3 a + 5 (a + 1)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$27 a - 27 a - 27 a + 5 a + 5$
	↓	Fasse die Terme mit a zusammen.
	$=$	$- 22 a + 5$
	↓	Gib das Maximum explizit an.

$x$	$=$	$3 a$	$: 3$
$a$	$=$	$\frac{x}{3}$
$y$	$=$	$- 22 \cdot a + 5$
	↓	Setze $\frac{x}{3}$ für $a$ ein.
	$=$	$- 22 \cdot \frac{x}{3} + 5$
	↓	Vereinfache den Term.
	$=$	$- \frac{22}{3} x + 5$

$f_{k}^{'} (x)$	$=$	$\frac{x^{2} \cdot k - (kx - 2) \cdot 2 x}{x^{4}}$
	↓	Kürze ein x und fasse dann Terme im Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{xk - 2 (kx - 2)}{x^{3}}$
	$=$	$\frac{4 - kx}{x^{3}}$

$f_{k}^{''} (x)$	$=$	$\frac{x^{3} \cdot (- k) - (4 - kx) \cdot 3 x^{2}}{x^{6}}$
	↓	Kürze $x^{2}$ , multipliziere aus und fasse Terme zusammen.
	$=$	$\frac{2 kx - 12}{x^{4}}$

$0$	$=$	$A_{1}^{'} (a)$
$0$	$=$	$- \frac{4}{3} a + \frac{16}{3}$	$+ \frac{4}{3} a$
$\frac{4}{3} a$	$=$	$\frac{16}{3}$	$: \frac{4}{3}$
$a$	$=$	$4$

$A_{1} (4)$	$=$	$- \frac{2}{3} \cdot 4^{2} + \frac{16}{3} \cdot 4$
	$=$	$- \frac{2}{3} \cdot 16 + \frac{16}{3} \cdot 4$
	$=$	$- \frac{32}{3} + \frac{64}{3}$
	$=$	$\frac{32}{3}$
	$=$	$10, 6$

$2 k x - 12$	$=$	$0$	$+ 12$
$2 k x$	$=$	$12$	$: 2$
$k x$	$=$	$6$

$\lim_{x \to \sqrt{- a} \pm 0} f_{a} (x)$	$=$	$\lim_{x \to \sqrt{- a} \pm 0} \frac{- 2 (x + 5) (x - 5)}{(x + \sqrt{- a}) (x - \sqrt{- a})}$
	↓	Setze die Grenze ein.
	$=$	$\frac{- 2 (\sqrt{- a} + 5) (\sqrt{- a} - 5)}{(\sqrt{- a} + \sqrt{- a}) \underset{_{- 0 \Rightarrow 0}}{\underset{⏟}{(\sqrt{- a} - \sqrt{- a})}}}$

$0$	$=$	$F_{4} (x) .$
$0$	$=$	$- \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{32}{3}$	$\cdot (- 3)$
$0$	$=$	$x^{3} - 6 x^{2} + 32$

$0$	$=$	$x^{2} - 8 x + 16$
	↓	Es handelt sich um eine zweite binomische Formel.
$0$	$=$	${(x - 4)}^{2}$	$\sqrt{}$
$0$	$=$		$+ 4$
$0$	$=$	$x - 4$
$4$	$=$	$x$
$x_{2,3}$	$=$	$4$

$F_{4}^{'} {(x)}_{}$	$=$	$0$
	↓	Setze $F_{4}^{'} (x) = - x^{2} + 4 x$ ein.
$- x^{2} + 4 x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $- x$ aus.
$- x (x - 4)$	$=$	$0$

$0$	$=$	$F_{4}^{''} (x)$
$0$	$=$	$- 2 x + 4$	$+ 2 x$
$2 x$	$=$	$4$	$: 2$
$x$	$=$	$2$

$f_{a} (x)$	$=$	$\frac{- 2 x^{2} + 50}{x^{2} + a}$
	↓	Faktorisiere die Funktion für $a \leq 0$
	$=$	$\frac{- 2 (x + 5) (x - 5)}{(x + \sqrt{- a}) (x - \sqrt{- a})}$

$0$	$=$	$1 - a \cdot e^{- x}$	$+ a \cdot e^{- x}$
$a \cdot e^{- x}$	$=$	$1$	$: a$
$e^{- x}$	$=$	$\frac{1}{a}$	$\ln$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\ln (e^{- x})$	$=$	$\ln (\frac{1}{a})$
$- x$	$=$	$\ln (\frac{1}{a})$	$\cdot (- 1)$
$x$	$=$	$- \ln (\frac{1}{a})$
	↓	Wende ein Logarithmusgesetz an.
$x$	$=$	$- (\ln (1) - \ln (a))$
	↓	$ \ln (1) = 0$ .
$x$	$=$	$\ln (a)$

Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

Graphische Darstellung

2 Gerade bestimmen, auf der alle Maxima liegen

Krümmungsverhalten zusammenfassend

Überprüfung der Lösung für k=3

Nullstellen berechnen

Integral aufstellen

Alternativer Rechenweg für die Nullstelle

Extrema bestimmen

Extremum für x=0

Extremum für x=4

Wendepunkt bestimmen

Nullstellen bestimmen

Y-Achsenabschnitt bestimmen

Skizze:

Fallunterscheidung

Fallunterscheidung

limx→−∞⁡(x⋅eax+3a)=limx→−∞⁡x⋅eax⏟→0+3a=3a

Tabelle für f−3(x)=x⋅e−3x−1:

Tabelle für f1=x⋅ex+3:

Die Graphen von K−3 und von K1.

Fallunterscheidung

Tabelle für f−1(x)=x−e−x−1

Tabelle für f1=x+e−x+1

Graphen von K−1 und von K1.

Extremum für $x = 0$

Extremum für $x = 4$

$\lim_{x \to - \infty} (x \cdot e^{a x} + \frac{3}{a}) = \lim_{x \to - \infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{x \cdot e^{a x}}} + \frac{3}{a} = \frac{3}{a}$

Tabelle für $f_{- 3} (x) = x \cdot e^{- 3 x} - 1$ :

Tabelle für $f_{1} = x \cdot e^{x} + 3$ :

Die Graphen von $K_{- 3}$ und von $K_{1}$ .

Tabelle für $f_{- 1} (x) = x - e^{- x} - 1$

Tabelle für $f_{1} = x + e^{- x} + 1$

Graphen von $K_{- 1}$ und von $K_{1}$ .