Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

Die $y$-Achse wird für $x=0$ geschnitten.

Setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein:

$f_a(0)=0\cdot e^{a\cdot 0}+\frac{3}{a}=0\cdot 1+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}$

Antwort: Der Schnittpunkt der Scharkurven mit der $y$-Achse hat die Koordinaten $S_y\left(0\right|\frac{3}{a})$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet: $f_a^{\prime }(x)=0$

Berechne die 1. Ableitung, beachte dabei die Produktregel und die Kettenregel:

$f_a^{\prime }(x)=1\cdot e^{ax}+x\cdot e^{ax}\cdot a=(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}$

Setze $f_a^{\prime }(x)=0$

$\Rightarrow 0=\underset{=0}{\underbrace{(1+a\cdot x)}}\cdot \underset{\text{immer}>0}{\underbrace{e^{a\cdot x}}}$

Nur die Klammer kann null werden:

$0=1+a\cdot x\Rightarrow x=-\frac{1}{a}$

Die Feststellung, ob sich an der Stelle $x=-\frac{1}{a}$ ein Extremum befindet, kann mit einer Monotonietabelle oder der 2. Ableitung erfolgen. Hier erfolgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung:

Ist $f_a^{\prime \prime }(x)>0$, dann hat die Scharkurve $K_a$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.

Ist $f_a^{\prime \prime }(x)<0$, dann hat die Scharkurve $K_a$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.

Berechne die 2. Ableitung, beachte dabei wieder die Produktregel und die Kettenregel:

$f_a^{\prime }(x)=(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}$

$f_a^{\prime \prime }(x)=a\cdot e^{ax}+(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}\cdot a=(a^2\cdot x+2a)\cdot e^{ax}$

Setze $x=-\frac{1}{a}$ in $f_a^{\prime \prime }(x)=(a^2\cdot x+2a)\cdot e^{ax}$ ein:

$f_a^{\prime \prime }(-\frac{1}{a})=(a^2\cdot (-\frac{1}{a})+2a)\cdot e^{a\cdot (-\frac{1}{a})}=(-a+2a)\cdot e^{-1}=a\cdot e^{-1}$

Das Ergebnis ist vom Scharparameter $a$ abhängig, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $a$ erforderlich.

Fallunterscheidung

Fall 1: $a>0$

$f_a^{\prime \prime }(-\frac{1}{a})=a\cdot e^{-1}>0\Rightarrow \text{TP}$

Fall 2: $a<0$

$f_a^{\prime \prime }(-\frac{1}{a})=a\cdot e^{-1}<0\Rightarrow \text{HP}$

Setze $x=-\frac{1}{a}$ in $f_a(x)$ ein, um die $y$-Koordinate der Extrema zu berechnen.

$f_a(-\frac{1}{a})=(-\frac{1}{a})\cdot e^{a\cdot (-\frac{1}{a})}+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}-\frac{1}{a}\cdot e^{-1}=\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1})$

Antwort: Für $a>0$ hat der Tiefpunkt die Koordinaten $TP(-\frac{1}{a}|\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1}))$ und für $a<0$ hat der Hochpunkt die Koordinaten $HP(-\frac{1}{a}|\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1}))$.

Betrachte zunächst $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a})}$$. Wie verhält sich der Ausdruck $x\cdot e^{ax}$, wenn $x$ sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters $a$ ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $a$ erforderlich.

Fallunterscheidung

Fall 1: $a>0$

$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a})=\underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{x\cdot e^{ax}}}+\frac{3}{a}=+\infty }$$

Für $a>0$ wächst $e^{ax}$ für $x\to +\infty$ stärker als jede Potenz von $x$. Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}$ geht somit gegen $+\infty$.

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a})=\underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to 0}{\underbrace{x\cdot e^{ax}}}+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}}$$

Für $a>0$ geht $e^{ax}$ für $x\to -\infty$ stärker gegen $0$ als $x\to -\infty$. Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}$ geht somit gegen $0$.

Fall 2: $a<0$

$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a})=\underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to 0}{\underbrace{x\cdot e^{ax}}}+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}}$$

Für $a<0$ geht $e^{ax}$ für $x\to +\infty$ stärker gegen $0$ als $x\to +\infty$. Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}$ geht somit gegen $0$.

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a})=\underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{x\cdot e^{ax}}}+\frac{3}{a}=-\infty }$$

Für $a<0$ wächst $e^{ax}$ für $x\to -\infty$ stärker als jede Potenz von $x$. Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}$ geht somit gegen $-\infty$.

Alle Scharkurven haben eine waagrechte Asymptote $y_A=\frac{3}{a}$.

Für $a=-3$ lautet $f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1$ und für $a=1$ ist $f_1=x\cdot e^x+3$. Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y\left(0\right|\frac{3}{a})$, der Extrempunkt $E(-\frac{1}{a}|\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1}))$ und die waagrechte Asymptote $y_A=\frac{3}{a}$. Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.

Tabelle für $f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1$:

Die Funktion $f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1$ hat die waagrechte Asymptote $y_A=-1$.

Tabelle für $f_1=x\cdot e^x+3$:

Die Funktion $f_1(x)=x\cdot e^x+3$ hat die waagrechte Asymptote $y_A=3$.

Die Graphen von $K_{-3}$ und von $K_1$.

Ein Extremum liegt vor, wenn $f_a^{\prime }(x)=0$ ist.

Im Aufgabenteil b) wurde $f_a^{\prime }(x)$ berechnet: $f_a^{\prime }(x)=(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}$

Setze den Wert $x=\frac{1}{2}$ in die $1.$ Ableitung ein:

$f_a^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=e^{a\cdot \frac{1}{2}}\cdot (1+a\cdot \frac{1}{2})$

Setze $f_a^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0$

$\Rightarrow 0=\underset{\text{immer}>0}{\underbrace{e^{a\cdot \frac{1}{2}}}}\cdot \underset{=0}{\underbrace{(1+a\cdot \frac{1}{2})}}$

Nur die Klammer kann null werden:

$0=1+a\cdot \frac{1}{2}\Rightarrow a=-2$

Antwort: Für $a=-2$ hat die Scharfunktion $f_{-2}(x)=x\cdot e^{-2x}-\frac{3}{2}$ an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ ein Extremum.

Für die Ortskurve der Extrema benötigst du die Extrempunktkoordinaten.

Das Extremum hat die Koordinaten $E(-\frac{1}{a}|\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1}))$.

Für die Berechnung der Ortskurve setzt du $x=-\frac{1}{a}$ und $y=\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1})$.

Löse dann $x=-\frac{1}{a}$ nach $a$ auf $\Rightarrow a=-\frac{1}{x}$.

Setze $a=-\frac{1}{x}$ in $y=\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1})$ ein:

$y={\displaystyle \frac{1}{-\frac{1}{x}}}\cdot (3-e^{-1})=-x\cdot (3-e^{-1})=(e^{-1}-3)\cdot x$

Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet $y=(e^{-1}-3)\cdot x$. Der Graph der Ortskurve ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung $m=e^{-1}-3\approx -\mathrm{2,63}$.

Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Extrema dargestellt.