Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

$${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{{\displaystyle \frac{6}{\mathrm{a}}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{36}{{\mathrm{a}}^2}}-4\cdot {\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{a}}^2}}\cdot (-9)}}{2\cdot {\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{a}}^2}}}$$

$\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=3\mathrm{a},{\mathrm{x}}_2=-\mathrm{a}$

Bestimme die Vorzeichen der 1. Ableitung zwischen den Extremstellen.

Beachte dabei, dass 3a "links" von -a liegt, da a nach Voraussetzung a negativ ist.

Zudem ist die Ableitung eine nach oben geöffnete Parabel und hat somit die Vorzeichenfolge $+-+$ hat.

$${\displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow \underline{{\mathrm{f}}^{\prime }>0{\mathrm{f}}^{\prime }<0{\mathrm{f}}^{\prime }>0}\\ {\mathrm{steigt}}^{3\mathrm{a}}{\mathrm{f}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}}^{-\mathrm{a}}\mathrm{steigt}\end{array}}$$

Es gibt also einen Vorzeichenwechsel bei $x=3a$ von $+\to -$ d. h. bei $x=3a$ liegt die Maximalstelle.

Maximalstelle:

Das Maximum hat die Koordinaten: $\left(3\mathrm{a}|-22\mathrm{a}+5\right)$

2 Gerade bestimmen, auf der alle Maxima liegen

Das Maximum hat die $x$-Koordinate $3a$ und die $y$-Koordinate $-22a+5$. Beide Koordinaten enthalten den Parameter $a$. Für die Ortskurve der Maxima muss der Parameter $a$ aus beiden Koordinaten entfernt werden.

Löse die Gleichung für den $x$-Wert der Maxima nach $a$ auf und setze den erhaltenen Wert in die Gleichung für die $y$-Koordinate ein:

$\Rightarrow$   Die Maxima liegen alle auf einer Geraden

        Sie hat die Gleichung $\mathrm{y}=-\frac{22}{3}\mathrm{x}+5$