Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

Finde Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner Null wird.

${\mathrm{x}}^2+\mathrm{a}=0$ $|-\mathrm{a}$

${\mathrm{x}}^2=-\mathrm{a}$

Mache eine Fallunterscheidung für a.

$\mathrm{a}>0$ :  Gleichung nie erfüllt

Bestimme den Definitionsbereich.

$\Rightarrow {\mathrm{D}}_{{\mathrm{f}}_{\mathrm{a}}}=ℝ$

$\mathrm{a}\le 0:$  $\mathrm{x}=\pm \sqrt{-\mathrm{a}}$

Bestimme den Definitionsbereich.

$\Rightarrow {\mathrm{D}}_{{\mathrm{f}}_{\mathrm{a}}}=ℝ\backslash \{\pm \sqrt{-\mathrm{a}}\}$

Nullstellen bestimmen

$-2{\mathrm{x}}^2+50=0|-50$

$-2{\mathrm{x}}^2=-50$ $|:(-2)$

${\mathrm{x}}^2=25$ $|\sqrt{}$

$\mathrm{x}=\pm 5$

Gib die beiden Nullstellen an.

$\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=-5,{\mathrm{x}}_2=5$

Y-Achsenabschnitt bestimmen

Setze $0$ in die Funktion ein

${\mathrm{f}}_{\mathrm{a}}(0)=\frac{-2\cdot {\left(0\right)}^2+50}{{\left(0\right)}^2+\mathrm{a}}=\frac{50}{\mathrm{a}}$

Gib den Schnittpunkt an.

$\Rightarrow {\mathrm{Y}}_{\mathrm{a}}\left(0|\frac{50}{\mathrm{a}}\right)$

Berechne nun den Grenzwert

Bestimme nun den Grenzwert. Je nachdem von welcher Seite man sich $\sqrt{-a}$ nähert, erhält man entweder ein $+$ oder ein $-$ als Vorzeichen:

$\stackrel{}{\to }$

${\mathrm{f}}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=\frac{-2{\mathrm{x}}^2+50}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{a}}$

Setze die geforderten Werte für a ein und bestimme so die 3 Funktionsterme

${\mathrm{f}}_{-25}(\mathrm{x})=\frac{-2{\mathrm{x}}^2+50}{{\mathrm{x}}^2-25}\frac{-2({\mathrm{x}}^2-25)}{({\mathrm{x}}^2-25)}-2$

Beachte hier aber die Definitionslücken beim Einzeichnen!

${\mathrm{f}}_{-16}(\mathrm{x})=\frac{-2{\mathrm{x}}^2+50}{{\mathrm{x}}^2-16}$

${\mathrm{f}}_{25}(\mathrm{x})=\frac{-2{\mathrm{x}}^2+50}{{\mathrm{x}}^2+25}$

Skizze: