Aufgaben zu linearen Funktionen, Nullstellen, Achsenschnittpunkten u.a.

Lerne mit diesen Übungsaufgaben lineare Funktionen zu skizzieren und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu bestimmen!

1
Lies aus dem Graphen den y-Achsenabschnitt ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 0)$ , also $y = 0$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 3)$ , also $y = 3$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | - 4)$ , also $y = - 4$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | - 3)$ , also $y = - 3$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 4)$ , also $y = 4$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 5)$ , also $y = 5$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 2)$ , also $y = 2$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | 3)$ , also $y = 3$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | - 1)$ , also $y = - 1$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S (0 | - 4)$ , also $y = - 4$ .
Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
2
Lies aus dem Graphen die Nullstelle ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N (0 | 0)$ , also $x = 0$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N (1 | 0)$ , also $x = 1$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $(2 | 0)$ , also $x = 2$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N (4 | 0)$ , also $x = 4$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N (3 | 0)$ , also $x = 3$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N (7 | 0)$ , also $x = 7$ .
Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
3
Betrachte die Graphen der Funktionen $a (x)$ und $c (x)$ . Lies den $y$ -Achsenabschnitt und die Steigung der Geraden ab und trage sie in die Felder ein! Kannst du daraus den Funktionsterm aufstellen?
Welchen $y$ -Achsenabschnitt hat $a (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
$y$ -Achsenabschnitt bestimmen
Den $y$ -Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Gerade mit der $y$ -Achse betrachtest.
In diesem Fall:
Der $y$ -Achsenabschnitt ist der $y$ -Wert des Schnittpunkts $(0 / 4)$ , also $4$ .
Achte darauf, wo die Gerade $G_{a}$ die y-Achse schneidet.
Bestimme dann den Schnittpunkt!

Welche Steigung hat $a (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Geraden
Steigung bestimmen
Die Steigung einer Geraden bestimmt man am einfachsten mithilfe eines Steigungsdreiecks.
Im Fall von $G_{a}$ :
Du kannst ablesen, dass du eine Längeneinheit nach unten und eine Längeneinheit nach rechts gehst.
Du erhältst für die Steigung: $m = - 1$
Kreiere dafür ein Steigungsdreieck (siehe unten).
Bestimme dann die Steigung.

Welchen Funktionsterm hat $a (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Funktionsterm aufstellen
Der Funktionsterm einer linearen Funktion hat die Form:
$y = m x + t$
Dabei steht $m$ für die Steigung und $t$ für den $y$ -Achsenabschnitt.
Setzt du die Werte aus den vorigen Teilaufgaben ein erhältst du:
$y = - 1 \cdot x + 4$
Vereinfacht ist das:
$y = - x + 4$
Die Funktionsgleichung von $G_{a}$ ist also:
$a (x) = - x + 4$
.
Schau dir das Grundwissen zu der linearen Funktion an.
Setze deine bisherigen Werte in die Funktion ein (siehe unten für eine ausführlichere Erklärung).

Welchen $y$ -Achsenabschnitt hat $c (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
$y$ -Achsenabschnitt bestimmen
Den $y$ -Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Gerade mit der $y$ -Achse betrachtest.
In diesem Fall:
Der $y$ -Achsenabschnitt von $G_{c}$ ist also $- 3$ .
Achte darauf, wo die Gerade $G_{c}$ die y-Achse schneidet.
Bestimme dann den Schnittpunkt!

Welche Steigung hat $c (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Geraden
Steigung bestimmen
Die Steigung einer Geraden bestimmt man am einfachsten mithilfe eines Steigungsdreiecks.
Im Fall von $G_{c}$ :
Du kannst ablesen, dass du eine Längeneinheit nach rechts und zwei Längeneinheiten nach oben gehst.
Du erhältst für die Steigung: $m = 2$
Kreiere dafür ein Steigungsdreieck (siehe unten).
Bestimme dann die Steigung.

Welchen Funktionsterm hat $c (x)$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Funktionsterm aufstellen
Der Funktionsterm einer linearen Funktion hat die Form:
$y = m x + t$
Dabei steht $m$ für die Steigung und $t$ für den $y$ -Achsenabschnitt.
Setzt du die Werte aus den vorigen Teilaufgaben ein erhältst du:
$y = 2 \cdot x - 3$
Die Funktionsgleichung von $G_{c}$ ist also:
$c (x) = 2 x - 3$
Schau dir das Grundwissen zur linearen Funktion an.
Setze deine bisherigen Werte in die Funktion ein (siehe unten für eine ausführlichere Erklärung).
4
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreieck. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.
$f (x) = 2 x - 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = 2 x - 5$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 5)$
$\Rightarrow m_{f} = 2$
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$2 x - 5$ $=$ $0$ $+ 5$
$2 x$ $=$ $5$ $: 2$
$x_{0}$ $=$ $2,5$
$\Rightarrow P_{x} (2,5 | 0)$

$f (x) = - x - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - x - 3$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 3)$
$\Rightarrow m_{f} = - 1$
$- x - 3$ $=$ $0$ $+ x$
$- 3$ $=$ $x_{0}$
$\Rightarrow P_{x} (- 3 | 0)$

$f (x) = \frac{1}{2} x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{1}{2} x + 1$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | 1)$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{1}{2}$
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{1}{2} x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$\frac{1}{2} x$ $=$ $- 1$ $\cdot 2$
$x_{0}$ $=$ $- 2$
$\Rightarrow P_{x} (- 2 | 0)$

$f (x) = - \frac{1}{2} x - 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - \frac{1}{2} x - 2$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 2)$
$\Rightarrow m_{f} = - \frac{1}{2}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- \frac{1}{2} x - 2$ $=$ $0$ $+ 2$
$- \frac{1}{2} x$ $=$ $2$ $\cdot (- 2)$
$x_{0}$ $=$ $- 4$
$\Rightarrow P_{x} (- 4 | 0)$

$f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - \frac{1}{2})$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{1}{3}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$ $=$ $0$ $+ \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot 3$
$x_{0}$ $=$ $\frac{3}{2}$
$\Rightarrow P_{x} (\frac{3}{2} | 0)$

$f (x) = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | \frac{3}{2})$
$\Rightarrow m_{f} = - \frac{1}{4}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$ $=$ $0$ $- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{4} x$ $=$ $- \frac{3}{2}$ $\cdot (- 4)$
$x_{0}$ $=$ $6$
$\Rightarrow P_{x} (6 | 0)$

$f (x) = \frac{2}{3} x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{2}{3} x + 2$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | 2)$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{2}{3}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{2}{3} x + 2$ $=$ $0$ $- 2$
$\frac{2}{3} x$ $=$ $- 2$ $: \frac{2}{3}$
$x_{0}$ $=$ $- 3$
$\Rightarrow P_{x} (- 3 | 0)$

$f (x) = - \frac{3}{4} x - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - \frac{3}{4} x - 1$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 1)$
$\Rightarrow m_{f} = - \frac{3}{4}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- \frac{3}{4} x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$- \frac{3}{4} x$ $=$ $1$ $: (- \frac{3}{4})$
$x_{0}$ $=$ $- \frac{4}{3}$
$\Rightarrow P_{x} (- \frac{4}{3} | 0)$

$f (x) = - 3 x + \frac{5}{10}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = - 3 x + \frac{5}{10}$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | \frac{5}{10})$
$\Rightarrow m_{f} = - 3$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$- 3 x + \frac{5}{10}$ $=$ $0$ $- \frac{5}{10}$
$- 3 x$ $=$ $- \frac{1}{2}$ $: (- 3)$
$x_{0}$ $=$ $\frac{1}{6}$
$\Rightarrow P_{x} (\frac{1}{6} | 0)$

$f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{12}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$f (x) = \frac{5}{7} x - \frac{12}{4} = \frac{5}{7} x - 3$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow P_{y} (0 | - 3)$
$\Rightarrow m_{f} = \frac{5}{7}$
Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\frac{5}{7} x - 3$ $=$ $0$ $+ 3$
$\frac{5}{7} x$ $=$ $3$ $: \frac{5}{7}$
$x_{0}$ $=$ $\frac{21}{5}$
$\Rightarrow P_{x} (\frac{21}{5} | 0)$

Zeichne die Geraden $y = 3 x - 2$ und $y = - \frac{3}{4} x + 1$ in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt der Geraden.

6
Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
$y = - 2 x + 3,5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & - 2 x + 3,5 & | + 2 x \\ 2 x & = & 3,5 & | : 2 \\ x & = & 1,75 \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (1,75 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = - 2 \cdot 0 + 3,5$
$y = 3,5$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 3,5)$ .

$y = 5 x - 7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & 5 x - 7 & | + 7 \\ 5 x & = & 7 & | : 5 \\ x & = & \frac{7}{5} = 1,4 \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (1,4 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = 5 \cdot 0 - 7$
$y = - 7$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - 7)$ .

$y = \frac{3}{2} x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & \frac{3}{2} x + 2 & | - 2 \\ \frac{3}{2} x & = & - 2 & | \cdot \frac{2}{3} \\ x & = & - \frac{4}{3} \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (- \frac{4}{3} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = \frac{3}{2} \cdot 0 + 2$
$y = 2$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 2)$ .

$y = - \frac{2}{5} x + \frac{5}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & - \frac{2}{5} x + \frac{5}{2} & | + \frac{2}{5} x \\ \frac{2}{5} x & = & \frac{5}{2} & | \cdot \frac{5}{2} \\ x & = & \frac{25}{4} = 6,25 \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} (6,25 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = - \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{5}{2}$
$y = \frac{5}{2} = 2,5$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | 2,5)$ .

$y = 2 (x - \frac{2}{3})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Klammer auflösen
Um eine allgemeine Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ zu erhalten, multipliziere die Klammer aus.
$y = 2 (x - \frac{2}{3})$
$y = 2 x - \frac{4}{3}$
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & 2 x - \frac{4}{3} & | + \frac{4}{3} \\ 2 x & = & \frac{4}{3} & | : 2 \\ x & = & \frac{2}{3} \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} ( \frac{2}{3} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein und löse nach $x$ auf.
$y = 2 \cdot 0 - \frac{4}{3}$
$y = - \frac{4}{3}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - \frac{4}{3})$ .

$y = - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Gleichung umstellen
Um eine allgemeine Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
$y = - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x$
$= - \frac{1}{2} x - \frac{4}{3}$
Schnittpunkt mit der x-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} 0 & = & - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x & | + \frac{1}{2} x \\ \frac{1}{2} x & = & - \frac{4}{3} & | \cdot 2 \\ x & = & - \frac{8}{3} = - 2 \frac{2}{3} \end{array}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_{x} ( - \frac{8}{3} | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x = 0$ ein.
$y = - \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{4}{3}$
$y = - \frac{4}{3}$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_{y} (0 | - \frac{4}{3})$ .
7
Stelle die Funktionsgleichung für die Gerade durch die Punkte P(-25|30) und Q(55|-30) auf und berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung ermitteln
P(-25|30); Q(55|-30)
Ermittle die Steigung m der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten .
$m = \frac{30 - (- 30)}{- 25 - 55} = \frac{60}{- 80} = - \frac{3}{4}$
Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(-25|30) in die allgemeine Geradengleichung ein.
$30 = \frac{- 3}{4} (- 25) + t$
Vereinfache: $\frac{- 3}{4} (- 25) = \frac{- 3 (- 25)}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4} = \frac{75}{4}$
$30$ $=$ $\frac{75}{4} + t$ $- \frac{75}{4}$
↓
Löse nach t auf.
$t$ $=$ $30 - \frac{75}{4}$
$t$ $=$ $\frac{45}{4}$
↓
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.
$\Rightarrow y = - \frac{3}{4} x + \frac{45}{4}$
Schnittpunkt mit der x-Achse
An der Schnittstelle mit der x-Achse ist der y-Wert 0.
$0 = \frac{- 3}{4} x + \frac{45}{4}$
Nach x auflösen. Stelle dafür das x alleine durch: $| \cdot \frac{- 4}{3}$
Beachte, dass bei beide Summanden multipliziert werden müssen.
$0 = \frac{(- 3) (- 4)}{4 \cdot 3} x + \frac{45 (- 4)}{4 \cdot 3}$
$\frac{(- 3) (- 4)}{4 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 4}{12} = \frac{12}{12} = 1$
$0 = x + \frac{- 180}{12}$
$0 = x - 15$
Addiere 15
$x = 15$
$\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei S(15|0).

Forme die Gleichung so um, dass sie die Form $y = ax + b$ hat.

$2 x - y = 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung umformen
$2 x - y$ $=$ $6$ $- 2 x$
$- y$ $=$ $6 - 2 x$ $\cdot (- 1)$
$y$ $=$ $2 x - 6$
$x = \frac{1}{2} (y + 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung umformen
$x$ $=$ $\frac{1}{2} (y + 1)$ $\cdot 2$
↓
Der Bruch auf der rechten Seite fällt weg da $\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ .
$2 x$ $=$ $y + 1$ $- 1$
↓
Linke und rechte Seite vertauschen.
$y$ $=$ $2 x - 1$

$\frac{2}{5} y = 2 x - 1$

$y = 3 (2 x - 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung umformen
$y$ $=$ $3 (2 x - 1)$
↓
Die Klammer ausmultiplizieren.
$y$ $=$ $6 x - 3$

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zwei Geraden $f (x)$ und $g (x)$ schneiden sich auf der x-Achse in x=4.
Bestimmen Sie mögliche Funktionsterme.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Für diese Aufgabe gibt es keine eindeutige Lösung. Gesucht sind zwei verschiedenen lineare Funktionen, die beide durch den Punkt (4|0) laufen.
Ein sehr einfaches Beispiel wäre $f (x) = 0$ , also die x-Achse und $g (x) = x - 4$ . $f (x)$ läuft offensichtlich durch (4|0). Für g(x) lässt sich das auch sehr einfach überprüfen: $g (4) = 4 - 4 = 0$ .
Andere mögliche Funktionen sind: $y = - x + 4$ , $y = 2 x - 8$ (allgemein $y = a x - 4 a$ für beliebige a)
Überlege durch welchen Punkt beide Geraden gehen müssen.
Bestimme zwei verschiedene Funktionen, die durch diesen Punkt gehen.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Gegeben ist die lineare Funktion $f (x) = 3 - \frac{12}{7} x$ .
Zeichne den Graphen und markiere den Funktionswert $f (- 1)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion zeichnen
Zeichne den Graphen der Funktion und kennzeichne $f (- 1)$ .

Liegt der Punkt $P (\sqrt{7} | - 1,54)$ auf dem Graphen von $f (x)$ ?
Ja der Punkt $P$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Nein der Punkt $P$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraph interpretieren
Prüfe, ob der Punkt $P (\sqrt{7} | - 1,54)$ auf dem Graphen der Funktion liegt.
Setze dazu den $x$ -Wert $\sqrt{7}$ in die Funktionsgleichung $y (x) = 3 - \frac{12}{7} x$ ein.
$3 - \frac{12}{7} \cdot \sqrt{7}$ $\approx$ $3 - \frac{12}{7} \cdot 2,65$
↓
Multipliziere.
$\approx$ $3 - 4,543$
↓
Subtrahiere.
$\approx$ $- 1,543$
Ergebnis
Der Punkt $P (\sqrt{7} | - 1,54)$ liegt nicht auf dem Graphen, da der Funktionswert von $\sqrt{7}$ ein nicht endender Dezimalbruch ist und nicht der endliche Dezimalbruch $- 1,54$ . Solltest du mit gerundeten Werten gerechnet haben, kannst du zum Schluss kommen, dass der Punkt im Graphen enthalten sei. Dies ist nicht der Fall.
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Gegeben sind die Geraden $g : y = 2 x - 3$ und $h : y = - 0,5 x + 3$ .
Überprüfe, ob die Punkte $A (1 | - 1)$ , $B (0,5 | 1,5)$ , $C (- 6 | 5)$ , $D (- 102 | 55)$ und $E (45 | 87)$ auf einer der Geraden liegen.
$A$ liegt auf einer der Geraden.
$B$ liegt auf keiner der Geraden.
$C$ liegt auf keiner der Geraden.
$D$ liegt auf einer der Geraden.
$E$ liegt auf einer der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Überprüfung mit Skizze
Wähle jeweils einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. die y-Achsenabschnitte $(0 | - 3)$ und $(0 | 3)$ . Gehe von dort $1$ nach rechts und entsprechen der Steigungen $m_{g} = 2$ nach oben und $m_{h} = - 0,5$ nach unten. Verbinde jeweils die beiden Punkte zu einer Geraden.
Wenn du den Verlauf der Geraden betrachtest und beispielsweise die Lage des Punktes $A$ , so siehst du, dass dieser kaum auf der Geraden h, wahrscheinlich aber auf $g$ liegen wird. Ähnlich kannst du bei anderen Punkten entscheiden, ob sich eine rechnerische Überprüfung lohnt: Punkt $D (- 102 / 55)$ kann z. B. nur auf $h$ liegen.
Rechnerische Überprüfung
$A (1 | - 1)$ in $g$ einsetzen:
Setze die Koordinaten der Punkte in die fragliche Gleichung ein. Also setze $y = - 1$ und $x = 1$ ein.
$- 1 = 2 \cdot 1 - 3$
Das ist eine wahre Aussage.
⇒ $A$ liegt auf $g$ .
$B$ liegt auf keiner der Geraden. Das kann eindeutig der Skizze entnommen werden.
$C$ in $h$ einsetzen:
$5 = - 0,5 \cdot (- 6) + 3$
⇒ $5 = 3 + 3$
Diese Aussage ist falsch, also liegt $C$ nicht auf $h .$
$D$ in $h$ einsetzen:
$55 = - 0,5 \cdot (- 102) + 3$
⇒ $55 = 51 + 3$
Diese Aussage ist falsch, also liegt $D$ nicht auf $h$ .
$E$ in $g$ einsetzen:
$87 = 2 \cdot 45 - 3$
Diese Aussage ist richtig, also liegt $E$ auf $g$ .

Ergänze die Koordinaten so, dass die Punkte auf h liegen: P(5 | ?) , Q(-3,5 | ?) , R(? | 12) , S(? | -7,5).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Koordinaten ergänzen
$h : y = - 0,5 x + 3$ ; P(5|?)
Die gegebene Koordinate des Punktes (die x-Koordinate) wird in die Funktionsgleichung eingesetzt und daraus die fehlende y-Koordinate berechnet.
$y = - 0,5 \cdot 5 + 3 = - 2,5 + 3 = 0,5$
⇒ P(5|0,5)
Q: $y = - 0,5 \cdot (- 3,5) + 3 = 1,75 + 3 = 4,75$ $\Rightarrow$ Q(-3,5|4,75)
R: $12 = - 0,5 x + 3 \Rightarrow 0,5 x = - 9 \Rightarrow x = - 18$ $\Rightarrow$ R(-18|12)
S: $- 7,5 = - 0,5 x + 3 \Rightarrow 0,5 x = 10,5 \Rightarrow x = 21$ $\Rightarrow$ S(2 1|-7,5).

Zeige, dass T(2,4|1,8) auf beiden Geraden liegt. Was bedeutet dies?
$T$ liegt auf beiden Geraden. Das hat nichts zu bedeuten.
$T$ liegt gar nicht auf beiden Geraden.
$T$ liegt auf beiden Geraden. Damit muss $T$ ein Schnittpunkt sein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Beweis für T
T(2,4|1,8)
Die Koordinaten von T in beide Geradengleichungen einsetzen. Wenn die Aussagen wahr sind, liegt T auf den Geraden.
in g:
$1,8$ $=$ $2 \cdot 2,4 - 3$
$1,8$ $=$ $4,8 - 3$
$1,8$ $=$ $1,8$
in h:
$1,8$ $=$ $- 0,5 \cdot 2,4 + 3$
$1,8$ $=$ $- 1,2 + 3$
$1,8$ $=$ $1,8$
$\Rightarrow$ Beide Gleichungen ergeben richtige Aussagen, also liegt der Punkt T auf beiden Geraden.
$\Rightarrow$ T Ist der Schnittpunkt der Geraden
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Wo ist der y-Achsenabschnitt? Klicke drauf!
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Hier geht es um: Nullstellen im Koordinatensystem erkennen!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, muss man die x-Werte finden, für die f(x)=0 ist, das heißt, die Stellen, an denen sich die Funktion mit der x-Achse schneidet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Wähle die Stellen aus, an denen sich die Funktion f mit der x-Achse schneidet!

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$3 x - 2$	$=$	$- \frac{3}{4} x + 1$	$+ \frac{3}{4} x + 2$
$3 x + \frac{3}{4} x$	$=$	$1 + 2$
$3,75 x$	$=$	$3$	$: 3,75$
$x$	$=$	$\frac{3}{3,75}$
$x_{S}$	$=$	$0,8$
	↓	Setze $x_{S}$ in eine der beiden Funktionen ein.
$y$	$=$	$3 \cdot 0,8 - 2$
$y$	$=$	$2,4 - 2$
$y_{S}$	$=$	$0,4$

Aufgaben zu linearen Funktionen, Nullstellen, Achsenschnittpunkten u.a.

$y$ -Achsenabschnitt bestimmen

Steigung bestimmen

Funktionsterm aufstellen

$y$ -Achsenabschnitt bestimmen

Steigung bestimmen

Funktionsterm aufstellen

Zeichne die Graphen

Bestimmung der Nullstellen

Bestimmung des Schnittpunkts

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Klammer auflösen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Gleichung umstellen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Ergebnis

Überprüfung mit Skizze

Rechnerische Überprüfung

Koordinaten ergänzen

Beweis für T

$\frac{1}{2} x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$- 1$	$\cdot 2$
$x_{0}$	$=$	$- 2$

$- \frac{1}{2} x - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
$- \frac{1}{2} x$	$=$	$2$	$\cdot (- 2)$
$x_{0}$	$=$	$- 4$

$\frac{1}{3} x - \frac{1}{2}$	$=$	$0$	$+ \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3} x$	$=$	$\frac{1}{2}$	$\cdot 3$
$x_{0}$	$=$	$\frac{3}{2}$

$- \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$	$=$	$0$	$- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{4} x$	$=$	$- \frac{3}{2}$	$\cdot (- 4)$
$x_{0}$	$=$	$6$

$\frac{2}{3} x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$\frac{2}{3} x$	$=$	$- 2$	$: \frac{2}{3}$
$x_{0}$	$=$	$- 3$

$- \frac{3}{4} x - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$- \frac{3}{4} x$	$=$	$1$	$: (- \frac{3}{4})$
$x_{0}$	$=$	$- \frac{4}{3}$

$- 3 x + \frac{5}{10}$	$=$	$0$	$- \frac{5}{10}$
$- 3 x$	$=$	$- \frac{1}{2}$	$: (- 3)$
$x_{0}$	$=$	$\frac{1}{6}$

$\frac{5}{7} x - 3$	$=$	$0$	$+ 3$
$\frac{5}{7} x$	$=$	$3$	$: \frac{5}{7}$
$x_{0}$	$=$	$\frac{21}{5}$

$3 x - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
$3 x$	$=$	$2$	$: 3$
$x_{N1}$	$=$	$\frac{2}{3}$
	↓	Die erste Gerade hat bei $x_{N} = \frac{2}{3}$ eine Nullstelle.

$y$	$=$	$- \frac{3}{4} x + 1$
	↓	Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.
$- \frac{3}{4} x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
$- \frac{3}{4} x$	$=$	$- 1$	$: (- \frac{3}{4})$
$x$	$=$	$\frac{1}{\frac{3}{4}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert
$x_{N2}$	$=$	$\frac{4}{3}$
	↓	Die zweite Gerade hat bei $x_{N} = \frac{4}{3}$ eine Nullstelle.

$30$	$=$	$\frac{75}{4} + t$	$- \frac{75}{4}$
	↓	Löse nach t auf.
$t$	$=$	$30 - \frac{75}{4}$
$t$	$=$	$\frac{45}{4}$
	↓	Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

$3 - \frac{12}{7} \cdot \sqrt{7}$	$\approx$	$3 - \frac{12}{7} \cdot 2,65$
	↓	Multipliziere.
	$\approx$	$3 - 4,543$
	↓	Subtrahiere.
	$\approx$	$- 1,543$

$1,8$	$=$	$2 \cdot 2,4 - 3$
$1,8$	$=$	$4,8 - 3$
$1,8$	$=$	$1,8$

$1,8$	$=$	$- 0,5 \cdot 2,4 + 3$
$1,8$	$=$	$- 1,2 + 3$
$1,8$	$=$	$1,8$

$2 x - y$	$=$	$6$	$- 2 x$
$- y$	$=$	$6 - 2 x$	$\cdot (- 1)$
$y$	$=$	$2 x - 6$

$x$	$=$	$\frac{1}{2} (y + 1)$	$\cdot 2$
	↓	Der Bruch auf der rechten Seite fällt weg da $\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ .
$2 x$	$=$	$y + 1$	$- 1$
	↓	Linke und rechte Seite vertauschen.
$y$	$=$	$2 x - 1$

$y$	$=$	$3 (2 x - 1)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$y$	$=$	$6 x - 3$

Aufgaben zu linearen Funktionen, Nullstellen, Achsenschnittpunkten u.a.

y-Achsenabschnitt bestimmen

Steigung bestimmen

Funktionsterm aufstellen

y-Achsenabschnitt bestimmen

Steigung bestimmen

Funktionsterm aufstellen

Zeichne die Graphen

Bestimmung der Nullstellen

Bestimmung des Schnittpunkts

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Klammer auflösen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Gleichung umstellen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Ergebnis

Überprüfung mit Skizze

Rechnerische Überprüfung

Koordinaten ergänzen

Beweis für T

$y$ -Achsenabschnitt bestimmen

$y$ -Achsenabschnitt bestimmen