Aufgaben zu ggT und kgV

5 und 25

Bestimme das kgV von 5 und 25 als Produkt von 5 und 25 geteilt durch $\mathrm{ggT}(\mathrm{5,25})$.

Nutze dabei, dass der ggT von 25 und 5 gleich 5 ist. Dies gilt, da $25=5^2$ ist.

$\mathrm{kgV}(\mathrm{5,25})=\frac{5\cdot 25}{\mathrm{ggT}(\mathrm{5,25})}=\frac{5\cdot 25}{5}=25$

14, 7, 25

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung

$7$ ist eine Primzahl.

$14=2\cdot 7$

$25=5\cdot 5$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 2 und $7$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{14,7,25})=2\cdot 5^2\cdot 7=350.$

15, 22, 121

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$15=3\cdot 5$

$22=2\cdot 11$

$121={11}^2$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 1, $3$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 1 und $11$ hat Vielfachheit 2.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{15,22,121})=2\cdot 3\cdot 5\cdot {11}^2=3630.$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 3, $3$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 1, $7$ hat Vielfachheit 1, $37$ hat Vielfachheit 1 und $251$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{444,753,280})=2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 37\cdot 251=7801080$.

21, 32, 16, 4, 7

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$21=3\cdot 7$

$32=2^5$

$16=2^4$

$4=2^2$

$7$ ist eine Primzahl.

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 5, $3$ hat Vielfachheit 1 und $7$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{21,32,16,4,7})=2^5\cdot 3\cdot 7=672.$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Primfaktorzerlegung

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$105=3\cdot 5\cdot 7$

$\mathrm{ggT}(\mathrm{105,25})=5$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$13$ ist eine Primzahl.

$169=13\cdot 13$

$2197=13\cdot 13\cdot 13$

$\mathrm{ggT}(\mathrm{13,169,2197})=13$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$984=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 41$

$1002=2\cdot 3\cdot 167$

Bestimme nun den größten Primfaktor bzw. das größte Produkt von Primfaktoren, das in allen drei Zahlen vorkommt.

Dieses ist gerade der größte gemeinsame Teiler.

$\mathrm{ggT}(\mathrm{984,1002,382})=2$

5 und 10

Vielfache von 5:

5,10,15,20,...

Vielfache von 10:

10,20,30,40,...

$kgV(5;10)$ = 10, denn

1.) $10=5\cdot 2$ und $10=10\cdot 1$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 10, die ein Vielfaches von 5 und 10 ist.

4 und 6

Vielfache von 4:

4,8,12,16,...

Vielfache von 6:

6,12,18,24,...

$kgV(4;6)=12$, denn

1.) $12=4\cdot 3$ und $12=6\cdot 2$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 12, die ein Vielfaches von 4 und 6 ist.

9 und 21

Vielfache von 9:

9,18,27,36,45,54,63,...

Vielfache von 21:

21,42,63,84,...

$kgV(9;21)=63$, denn

1.) $63=21\cdot 3$ und $63=9\cdot 7$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 63, die ein Vielfaches von 9 und 21 ist.

10 und 12

Vielfache von 10:

10,20,30,40,50,60,70,...

Vielfache von 12:

12,24,36,48,60,72,...

$kgV(10;12)=60$, denn

1.) $60=10\cdot 6$ und $60=12\cdot 5$

2.) Es gibt keine kleinere Zahl als 60, die ein Vielfaches von 10 und 12 ist.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren

$\begin{array}{rlllll}12& =& 2& \cdot 2& & \cdot 3\\ 24& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 3\\ \text{ggT}(12;24)& =& 2& \cdot 2& & \cdot 3& & =12\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 12.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$\begin{array}{rllllll}32& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 2\\ 88& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& & & \cdot 11\\ \text{ggT}(32;88)& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& & & & =8\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 8.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$\begin{array}{rlllll}28& =& 2& \cdot 2& & \cdot 7\\ 56& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 7\\ \text{ggT}(28;56)& =& 2& \cdot 2& & \cdot 7& & =28\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 28.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$\begin{array}{rllll}125& =& 5& \cdot 5& \cdot 5\\ 115& =& 5& & & \cdot 23\\ \text{ggT}(125;115)& =& 5& & & & =5\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 5.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$203=29\cdot 7$

$174=29\cdot 6$

$\Rightarrow ggT\left(\mathrm{203,174}\right)=29$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 29.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren.

$85=17\cdot 5$

$255=17\cdot 15$

$\Rightarrow ggT\left(\mathrm{85,255}\right)=17$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist 17.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{rll}11& =& 11\\ 121& =& 11& \cdot 11& \\ 1331& =& 11& \cdot 11& \cdot 11\\ \text{ggT}(11;121;1331)& =& 11\end{array}$

$\Rightarrow$Der größte gemeinsame Teiler ist $11$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{rllllll}63& =& & & 3& \cdot 3& \cdot 7\\ 156& =& 2& \cdot 2& \cdot 3& & & \cdot 13\\ 234& =& 2& & \cdot 3& \cdot 3& & \cdot 13\\ \text{ggT}(63;156;234)& =& & & 3& & \end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $3$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{rllllll}39& =& 3& & & & \cdot 13\\ 245& =& & 5& \cdot 7& \cdot 7& \\ 399& =& 3& & \cdot 7& & & \cdot 19\\ \text{ggT}(39;245;399)& & & & & & & & =1\end{array}$

$\Rightarrow$ Die Zahlen haben keinen gemeinsamen Primfaktor.

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $1$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{rllllll}108& =& 2& \cdot 2& \cdot 3& \cdot 3& \cdot 3\\ 369& =& & & 3& \cdot 3& & & \cdot 41\\ 612& =& 2& \cdot 2& \cdot 3& \cdot 3& \cdot 3& \cdot 17\\ \text{ggT}(108;369;612)& =& & & 3& \cdot 3& & & & =9\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $9$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{rlllll}99& =& & 3& \cdot 3& \cdot 11\\ 438& =& 2& \cdot 3& & & \cdot 73\\ 562& =& 2& & & & & \cdot 281\\ \text{ggT}(99;438;562)& & & & & & & & =1\end{array}$

$\Rightarrow$ Die Zahlen haben keinen gemeinsamen Primfaktor.

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $1$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{rlllllll}90& =& 2& & \cdot 3& \cdot 3& & \cdot 5\\ 108& =& 2& \cdot 2& \cdot 3& \cdot 3& \cdot 3& \\ 204& =& 2& \cdot 2& \cdot 3& & & & \cdot 17\\ 276& =& 2& \cdot 2& \cdot 3& & & & & \cdot 23\\ \text{ggT}(90;108;204;276)& =& 2& & \cdot 3& & & & & & =6\end{array}$

$\Rightarrow$Der größte gemeinsame Teiler ist $6$.

Hier kannst du die Primfaktorzerlegung benutzen.

Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{rllllll}120& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 3& \cdot 5\\ 145& =& & & & & 5& & & & \cdot 29\\ 275& =& & & & & 5& \cdot 5& \cdot 11\\ 345& =& & & & 3& \cdot 5& & & \cdot 23\\ \text{ggT}(120;145;275;345)& =& & & & & 5& & & & & =5\end{array}$

$\Rightarrow$ Der größte gemeinsame Teiler ist $5$.

4,13,20

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung

13 ist eine Primzahl.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{cllll}4& =& 2& \cdot 2& \\ 13& =& & & & 13\\ 20& =& 2& \cdot 2& \cdot 5\\ \text{kgV}(4;13;20)& =& 2& \cdot 2& \cdot 5& \cdot 13& & =260\end{array}$

16,30,144

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{clllll}16& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 2\\ 30& =& 2& & & & \cdot 3& & \cdot 5\\ 144& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 3& \cdot 3\\ \text{kgV}(16;30;144)& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 3& \cdot 3& \cdot 5& =720\end{array}$

19,69,33,56

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{cllllllll}19& =& & & & & & & 19\\ 69& =& & & & 3& & & & \cdot 23\\ 33& =& & & & 3& & \cdot 11& \\ 56& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& & \cdot 7& & \\ \text{kgV}(19;69;33;56)& =& 2& \cdot 2& \cdot 2& \cdot 3& \cdot 7& \cdot 11& \cdot 19& \cdot 23& & =807576\end{array}$

45,150,89,156

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

$\begin{array}{cllllll}45& =& & & 3& \cdot 3& \cdot 5\\ 150& =& 2& & \cdot 3& & \cdot 5& \cdot 5\\ 89& =& & & & & & & & 89\\ 156& =& 2& \cdot 2& \cdot 3& & & & \cdot 13\\ \text{kgV}(45;150;89;156)& =& 2& \cdot 2& \cdot 3& \cdot 3& \cdot 5& \cdot 5& \cdot 13& \cdot 89& =1041300\end{array}$