2016

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Berechne:
$- 2 + 4^{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzrechnung
$- 2 + 4^{4} = - 2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = - 2 + 256 = 254$
Die Lösung der Gleichung lautet $254$ .
2
Setze ein Rechenzeichen ein, so dass eine wahre Aussage entsteht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Addition und Subtraktion von Brüchen
Setze ein Rechenzeichen ein, so dass eine wahre Aussage entsteht.
$\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4})_____(- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{4}$
$- \frac{1}{8} + (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{4}$
$- \frac{2}{8} = - \frac{1}{4}$
Das fehlende Rechenzeichen ist $+$ .
Probe mit $-$
$- \frac{1}{8} - (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{4}$
$0 \neq - \frac{1}{4}$
Probe mit $\cdot$
$- \frac{1}{8} \cdot (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{4}$
$\frac{1}{64} \neq - \frac{1}{4}$
Probe mit $:$
$- (\frac{1}{8})____(- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{4}$
$- \frac{1}{8} : (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{4}$
$1 \neq - \frac{1}{4}$
Um die Aufgabe zu lösen kannst du erstmal $\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4})$ rechnen.
Dann sollte die Rechnung jetzt so aussehen: $- \frac{1}{8}$ _____ $(- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{4}$ .
Da du es jetzt vereinfacht hast siehst du dir die Rechnung genauer an. Jetzt setzt du verschiedene Zeichen ein und prüfst welches der Zeichen angewendet werden muss um auf das Ergebnis zu kommen.
3
Berechne:
$0,2 \cdot \frac{1}{4} + 0,2 \cdot \frac{3}{4} =$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchrechnung
$0,2 \cdot \frac{1}{4} + 0,2 \cdot \frac{3}{4}$ $=$
↓
Klammere den Faktor $0,2$ aus.
$= 0,2 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{3}{4})$ $=$
↓
Fasse in der Klammer zusammen.
$= 0,2 \cdot 1$ $=$ $0,2$
Die Lösung der Gleichnung lautet $0,2$ .
4
Gib eine natürliche Zahl für $x$ an, so dass der Wert des Terms ${(- 2)}^{x}$ positiv ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Ein möglicher Wert für $x$
Du kannst hier gut die Regel "Minus mal Minus ergibt Plus" verwenden. Diese besagt: Wenn du zwei Zahlen mit negativem Vorzeichen miteinander multiplizierst, ist das Ergebnis positiv. Das funktioniert zum Beispiel, wenn du $- 2$ mit $- 2$ multiplizierst:
$(- 2) \cdot (- 2) = (- 2)^{2} = 4$
Jetzt hast du herausgefunden, dass für $x = 2$ der Term $(- 2)^{x}$ einen positiven Wert hat. $x = 2$ ist also eine mögliche Lösung.
Damit ist die Aufgabe bereits gelöst. Aber es gibt noch viel mehr Lösungen als nur $x = 2$ . Welche Lösungen das sind, kannst du hier nachlesen:
Alle möglichen Werte für $x$
Die $2$ ist nicht die einzige natürliche Zahl, die du für $x$ einsetzen kannst. Wenn du $(- 2)^{x}$ berechnest, also $(- 2)$ $x$ -mal mit sich selbst multiplizierst, sieht das so aus:
$(- 2)^{x} = \underset{x - mal}{\underset{⏟}{(- 2) \cdot (- 2) \cdot \dots \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}$
Es ist egal, in welcher Reihenfolge du die Zahlen miteinander Multiplizierst (Assoziativgesetz). Daher kannst du die Faktoren in Paare aufteilen:
$(- 2)^{x} = \underset{+}{\underset{⏟}{(- 2) \cdot (- 2)}} \cdot \underset{+}{\underset{⏟}{(- 2) \cdot (- 2)}} \cdot \dots$
Die beiden Faktoren eines Paares miteinander multipliziert ergeben wieder eine positive Zahl (nämlich $4$ ), denn Minus mal Minus ergibt Plus. Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
$x$ ist gerade. Dann bleibt am Ende keine $- 2$ mehr übrig. Das sieht dann so aus: $(- 2)^{x} = \underset{+}{\underset{⏟}{\underset{+}{\underset{⏟}{(- 2) \cdot (- 2)}} \cdot \underset{+}{\underset{⏟}{(- 2) \cdot (- 2)}} \cdot \dots \cdot \underset{+}{\underset{⏟}{(- 2) \cdot (- 2)}}}} .$ Also stehen in dem Produkt, sobald du die Paare zusammengerechnet hast, keine negativen Vorzeichen mehr. Damit ist der Wert von $(- 2)^{x}$ positiv.
$x$ ist ungerade. Dann bleibt am Ende eine $- 2$ übrig. Das sieht dann so aus: $(- 2)^{x} = \underset{+}{\underset{⏟}{\underset{= + 4}{\underset{⏟}{(- 2) \cdot (- 2)}} \cdot \underset{= + 4}{\underset{⏟}{(- 2) \cdot (- 2)}} \cdot \dots \cdot \underset{= + 4}{\underset{⏟}{(- 2) \cdot (- 2)}}}} \cdot \underline{\underset{⏟}{(- 2)}} .$ Wenn du die Paare zusammengerechnet hast, steht da also eine positive Zahl mal eine negative Zahl. Und aufgrund der Regel "Plus mal Minus ergibt Minus." hat damit $(- 2)^{x}$ einen negativen Wert.
Fassen wir also zusammen: Der Wert von $(- 2)^{x}$ ist positiv, wenn $x$ gerade ist, und negativ, wenn $x$ ungerade ist. Die möglichen Werte für $x$ sind also:
$2, 4, 6, 8, \dots$
5
Ergänze den Exponenten in der Lücke.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$\begin{array}{l} 2^{7} \cdot \end{array}$ $2^{8}$ = $2^{7 + 8}$ = $2^{15}$
Der fehlende Exponent ist die $8$ .
6
Ein 130 m langer Zug fährt durch einen 220 m langen Tunnel. Unter der Durchfahrtzeit des Zuges wird die Zeit zwischen dem Beginn der Einfahrt der Lok in den Tunnel und der vollständigen Ausfahrt des letzten Wagens aus dem Tunnel verstanden.
Wie viele Sekunden benötigt der Zug für die Durchfahrt, wenn er in einer Minute 700 m zurücklegt?

Für diese Aufgabe musst du die Umrechnung von Zeiteinheiten beherrschen.
Der Zug legt bis zur Ausfahrt des letzten Wagens insgesamt eine Strecke von
$130 m + 220 m = 350 m$ zurück.
Der Zug legt in einer Minute $700 m$ zurück.
Der Zug benötigt 30 Sekunden für die Durchfahrt des Tunnels.
7
Der Punkt $P (x | y)$ wurde durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \end{array})$ auf den Punkt $P^{'} (5 | 11)$ abgebildet. Gib die Koordinaten des Punktes $P$ an.
[Trenne die Einträge des Punktes $P$ mit einem kleinen L (l) bei der Eingabe deines Ergebnisses.]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelverschiebung
Die Lösung in der Koordinatenform lautet
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 5 \\ 11 \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \end{array}) \\ 5 = x + 3 \\ x = 2 \\ 11 = y + 7 \\ y = 4 \end{array}$
Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $(2 | 4)$ .
8
Die „Rolling Bridge“ in London kann zu einer Brücke ausgerollt werden (siehe Foto). Der Umfang des Achtecks entspricht der Länge der Brücke. Schätze die Länge der Brücke im ausgerollten Zustand.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang von Vielecken
Dies ist eine Schätzaufgabe, daher gibt es nicht nur eine Lösung, sondern einen Lösungsbereich. Folgende Lösungen wären daher akzeptiert worden:
$U_{B r \ddot{u} c k e} \in [10 m; 16 m]$
Wie kommt man auf diesen Umfang?
1) Zunächst musst du die Länge einer Seite des Achtecks schätzen.
Rechts neben einem "Bodenteil" der Brücke steht ein Mann, der wahrscheinlich etwa 1,70 oder 1,80 m groß ist.
Da das "Bodenteil" der Brücke etwas kürzer erscheint als die Körpergröße des Mannes, schätzt du seine Länge vielleicht auf 1,50 m.
2) Daraufhin kannst du den Umfang der Brücke wie folgt berechnen:
$U_{B r \ddot{u} c k e} = 8 \cdot 1,50 m = 12 m$
9
Berechne das Winkelmaß $β$ , wenn gilt: $A C = C D = D B$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenklige Dreiecke
Die beiden Dreiecke $A D C$ und $D B C$ sind gleichschenklige Dreiecke. In gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich.
Das Winkelmaß für die beiden Winkel $∠ C A D$ und $∠ A D C$ ist
$(180^{\circ} - 20^{\circ}) : 2 = 80^{\circ} .$
Die beiden Winkel $∠ A D C$ und $∠ C D B$ sind Nebenwinkel.
Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^{\circ}$ .
Der Winkel $∠ C D B = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$ .
$β = (180^{\circ} - 100^{\circ}) : 2 = 40^{\circ} .$
Das Winkelmaß ist: $β = 40^{\circ}$
10
Ergänze in der Zeile eine passende Ungleichung $(𝔾 = ℚ)$ :

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen
11
Ein Glücksrad wird 100-mal gedreht. Dabei tritt 60-mal eine Niete und 30-mal ein Trostpreis auf. Der Hauptgewinn wird 10-mal erzielt.
Welche der folgenden Aussagen treffen auf die 100 Drehungen des Glückrads zu?
A. Die relative Häufigkeit für den Trostpreis liegt bei 0,3.
B. Es werden doppelt so viele Trostpreise wie Hauptgewinne erzielt.
C. Bei den nächsten hundert Drehungen sind sicher 10 Hauptpreisedabei.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit
Gegeben:
Ein Glücksrad wird 100-mal gedreht.
60-mal eine Niete
30-mal ein Trostpreis
10-mal ein Hauptgewinn
Berechne die relative Häufigkeit eines Trostpreises.
$h = \frac{30}{100} = \frac{3}{10} = 0,3$
Die Aussage A, die relative Häufigkeit für den Trostpreis liegt bei 0,3 ist richtig.
Die Aussage B, es werden doppelt so viele Trostpreise wie Hauptgewinne erzielt, ist falsch, da $2 \cdot 10 < 30$ .
Die Aussage C, bei den nächsten 100 Drehungen sind $s i c h e r$ 10 Hauptgewinne dabei, ist falsch. Es ist lediglich wahrscheinlich, dass 10 Hauptgewinne dabei sind.
12
Ein Trinkglas kann bis zum oberen Rand mit 200 ml gefüllt werden kann. Welches der folgenden Bilder zeigt den Füllstand des Glases an, wenn sich genau 100 ml in dem Glas befinden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen
Das Trinkglas hat insgesamt 200 ml Volumen oder "möglichen Inhalt".
Nun sollst du das Glas wählen, das mit genau 100 ml Flüssigkeit gefüllt ist, also genau mit der Hälfte des möglichen Volumens.
Da das Glas im oberen Bereich einen größeren Durchmesser (und damit ein größeres Volumen) aufweist als im unteren Bereich, wäre es bei einer Füllung bis zur Hälfte der Höhe oder darunter nicht mit 100 ml gefüllt. Daher fallen schon einmal die Lösungen 2 und 4 weg.
Das Glas bei der Lösung 3 ist weit über die Hälfte gefüllt, das wäre zu viel.
Daher kann nur Lösung 1 richtig sein.
13
Der FC Hollywood hat am Ende der Saison nach 34 Spieltagen 78 Punkte erzielt und dabei nur viermal verloren. Für einen Sieg gibt es 3 Punkte, für ein Unentschieden 1 Punkt und bei einer Niederlage 0 Punkte.
Ergänze in der Tabelle jeweils die Anzahl für die Siege und Unentschieden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
Der FC Hollywood hat von seinen insgesamt $34$ Spielen $4$ Spiele verloren. Da für ein verlorenes Spiel keine Punkte vergeben werden, hat dies auf den Punktestand keinen Einfluss.
Es müssen also nur noch $34 - 4 = 30$ Spiele betrachtet werden, für die Punkte vergeben wurden.
Wenn wir mit $n$ die Zahl der gewonnenen Spiele bezeichnen, dann bezeichnet $(30 - n)$ die Zahl der unentschiedenen Spiele.
Insgesamt wurden $78$ Punkte vergeben. Damit kannst du folgende Gleichung aufstellen:
$3 Punkte \cdot Zahl gewonnener Spiele + 1 Punkt \cdot Zahl unentschiedener Spiele = 78$
In eine Gleichung eingesetzt, ergibt dies:
$3 \cdot n + 1 \cdot (30 - n)$ $=$ $78$
$3 n + 30 - n$ $=$ $78$ $- 30$
$3 n - n$ $=$ $48$
$2 n$ $=$ $48$ $: 2$
$n$ $=$ $24$
Es wurden $n = 24$ Spiele gewonnen. $(30 - 24) = 6$ Spiele endeten mit einem Unentschieden
Die Tabelle damit folgendermaßen aus.
Ermittle, wie viele Spiele betrachtet werden müssen.
Beschreibe die Zahl gewonnener und unentschiedener Spiele mithilfe einer Variablen
Stelle eine passende Gleichung auf zur Berechnung der Variablen.
14
An einer Realschule findet ein Wintersporttag statt. Dafür haben sich alle Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 in eine Liste für eine der angebotenen Sportarten einge- tragen.
Welche der Aussagen sind zutreffend?
50% der Achtklässler wählten Skifahren.
$\begin{array}{l} \frac{2}{5} \end{array}$ der Achtklässler wählten Snowboarden oder Schlittschuhlaufen
Jeder 5. Achtklässler wählte Schlittschuhlaufen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
In der Realschule befinden sich in der Jahrgangsstufe 8 $100$ Schüler. Dies ergibt sich aus der Summe der Rückmeldungen für die einzelnen Sportarten.
Aussage 1:
Jeder 5. Achtklässler hat sich zum Schlittschuhlaufen eingetragen.
$100 : 5 = 20$
Die Aussage 1, dass sich jeder 5. Schüler für das Schlittschulaufen eingetragen hat ist falsch, da sich nur 15 Schüler zum Schlittschuhlaufen eingetragen haben.
Aussage 2:
$\frac{2}{5}$ der Achtklässler haben Snowboarden oder Schlittschuhlaufen gewählt.
Berechne $\frac{2}{5}$ von $100$ Schülern.
$(100 : 5) \cdot 2 = 40$
Laut der Rückmeldung haben $40$ Schüler Snowboarden oder Schlittschuhlaufen gewählt.
Die Aussage 2, dass sich $\frac{2}{5}$ der Achtklässler Snowboarden oder Schlittschuhlaufen gewählt haben, ist richtig.
Aussage 3:
$50$ von $100$ Schülern haben sich für das Skifahren eingetragen.
$100$ $\hat{=}$ $100 %$
=> $50$ $\hat{=}$ $50 %$
Die Aussage, dass sich $50 %$ der Schüler für das Skifahren eingetragen haben, ist richtig.
15
Begründe ohne zu messen, dass für das Maß des Winkels $β$ gilt: $β = 90^{\circ}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Thaleskreis
Der Punkt B liegt auf dem Thaleskreis über der Strecke [AC], somit gilt: $β = 90^{\circ}$
16
Gegeben ist das nebenstehende rechtwinklige Dreieck. Wie viele dieser Dreiecke sind notwendig, um eine quadratische Fläche vollständig auszulegen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrate
Z. B.: 12 Dreiecke
Alle Seiten müssen gleich lang sein. Wenn wir also 12 Dreiecke benutzten, können wir die Dreiecke so auslegen, dass ein Quadrat entsteht.
Eine Möglichkeit zur Anordnung der Dreiecke zu einem Quadrat :
17
Beim Geburtstagsfest von Oma Ilse hat jeder der Anwesenden acht Minikrapfen gegessen. Wären auch noch Tante Gerda und Onkel Wolfgang gekommen, dann hätte jeder nur sechs Minikrapfen bekommen. Es wäre in beiden Fällen nichts übrig geblieben. Gib an, wie viele Personen bei Oma Ilses Geburtstagsfest anwesend waren.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Bezeichnung:
x Anzahl der anwesenden Personen:
Aufgabe:
x Personen haben jeweils 8 Krapfen bekommen. Wenn 2 Personen mehr anwesend gewesen wären, hätte jede Person nur 6 Krapfen bekommen. Wieviel Personen waren anwesend?
Berechne $x$
$\begin{array}{l} x \cdot 8 = (x + 2) \cdot 6 \\ x \cdot 8 = x \cdot 6 + 12 \\ x \cdot 2 = 12 \\ x = 6 \end{array}$
Es waren $6$ Personen anwesend.
18
Welcher Satz passt zu den folgendem Term: $x + (x + 2) + (x + 4)$ mit $x \in ℕ$ ?
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden geraden oder drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen.
Die Summe aller Vielfachen von 2.
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen
Die Summe von einer Zahl, ihrem Doppelten und ihrem Vierfachen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: natürliche Zahlen
Gegeben ist folgender Term
$x + (x + 2) + (x + 4)$ mit $x \in ℕ$
Setze für $x$ eine ungerade Zahl ein, z.B. die $1$ . Du erhältst dann den folgenden Term:
$1 + (1 + 2) + (1 + 4) = 1 + 3 + 5$
Setze für $x$ eine gerade Zahl ein, z.B. die $2$ . Du erhältst dann den folgenden Term:
$2 + (2 + 2) + (2 + 4) = 2 + 4 + 6$
Die Aussage der Term stellt die Summe von 3 aufeinanderfolgenden geraden oder 3 aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen dar, ist richtig.
19
Gegeben sind die Punkte $A$ , $B$ und $C$ . Konstruiere den Punkt $M$ , der von $A$ , $B$ und $C$ gleich weit entfernt ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mittelsenkrechte
Konstruiere zunächst die Mittelsenkrechte zu den beiden Punkten $A$ und $B$ . Konstruiere dann die Mittesenkrechte zu den Punkten $A$ und $C$ . (Alternativ kannst du auch die Mittelsenkrechte zwischen den Punkten $B$ und $C$ zeichnen).
Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der gesuchte Punkt $M$ . $M$ ist von den Punkten $A$ , $B$ und $C$ gleich weit entfernt.
20
Einem Kreis ist ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von 1 cm einbeschrieben (siehe Skizze). Berechne, um wie viel Zentimeter der Umfang des Kreises länger ist als der des Sechsecks.
cm ist der Umfang des Kreises länger.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang eines Kreises
$U_{Kreis} = 2 \cdot 1 cm \cdot 3,14$
$U_{Kreis} = 6,28 cm$
$U_{Sechseck} = 6 cm$
Der Umfang des Kreises ist um $0,28 cm$ länger als der des Sechsecks.
21
Folgendes Weg-Zeit-Diagramm beschreibt Fynns (F) und Lars' (L) Weg von der Schule nach Hause. Fynn fährt mit dem Fahrrad und Lars mit seinem Longboard.
Welche Aussagen passen zum folgendem Diagramm?
Fynn ist mit dem Fahrrad schneller als Lars.
Fynn und Lars haben kurz nach13:10 Uhr jeweils ca. 1200 m zurückgelegt.
Lars hat einen längeren Wegnach Hause als Fynn.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme
Das Weg-Zeit-Diagramm beschreibt Fynns (F) und Lars' (L) Weg von der Schule nach Hause. Fynn fährt mit dem Fahrrad und Lars mit seinem Longboard.
Fynn und Lars haben kurz nach 13:10 Uhr jeweils 1200m zurückgelegt.
Lars hat einen längeren Weg nach Hause als Fynn.
Fynn ist mit dem Fahrrad schneller als Lars.
Fynn und Lars haben kurz nach 13:10 jeweils 1200m zurückgelegt, wie Du an dem Schnittpunkt der beiden Geraden F und L ablesen kannst.
Der Heimweg von Lars und Fynn ist mit 2400m gleich lang.
Fynn benötigt für den Heimweg etwas mehr als $10$ Minuten, Lars etwas mehr als $15$ Minuten. Somit ist Fynn schneller als Lars.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$0,2 \cdot \frac{1}{4} + 0,2 \cdot \frac{3}{4}$	$=$
	↓	Klammere den Faktor $0,2$ aus.
$= 0,2 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{3}{4})$	$=$
	↓	Fasse in der Klammer zusammen.
$= 0,2 \cdot 1$	$=$	$0,2$

$3 \cdot n + 1 \cdot (30 - n)$	$=$	$78$
$3 n + 30 - n$	$=$	$78$	$- 30$
$3 n - n$	$=$	$48$
$2 n$	$=$	$48$	$: 2$
$n$	$=$	$24$

2016

Probe mit −

Probe mit ⋅

Probe mit :

Ein möglicher Wert für x

Alle möglichen Werte für x

Wie kommt man auf diesen Umfang?

Probe mit $-$

Probe mit $\cdot$

Probe mit $:$

Ein möglicher Wert für $x$

Alle möglichen Werte für $x$