2016

Ein möglicher Wert für $x$

Du kannst hier gut die Regel "Minus mal Minus ergibt Plus" verwenden. Diese besagt: Wenn du zwei Zahlen mit negativem Vorzeichen miteinander multiplizierst, ist das Ergebnis positiv. Das funktioniert zum Beispiel, wenn du $-2$ mit $-2$ multiplizierst:

Jetzt hast du herausgefunden, dass für $x=2$ der Term $(-2{)}^x$ einen positiven Wert hat. $x=2$ ist also eine mögliche Lösung.

Damit ist die Aufgabe bereits gelöst. Aber es gibt noch viel mehr Lösungen als nur $x=2$. Welche Lösungen das sind, kannst du hier nachlesen:

Alle möglichen Werte für $x$

Die $2$ ist nicht die einzige natürliche Zahl, die du für $x$ einsetzen kannst. Wenn du $(-2{)}^x$ berechnest, also $(-2)$ $x$-mal mit sich selbst multiplizierst, sieht das so aus:

Es ist egal, in welcher Reihenfolge du die Zahlen miteinander Multiplizierst (Assoziativgesetz). Daher kannst du die Faktoren in Paare aufteilen:

Die beiden Faktoren eines Paares miteinander multipliziert ergeben wieder eine positive Zahl (nämlich $4$), denn Minus mal Minus ergibt Plus. Nun gibt es zwei Möglichkeiten:

1. $x$ ist gerade. Dann bleibt am Ende keine $-2$ mehr übrig. Das sieht dann so aus: $(-2{)}^x=\underset{+}{\underbrace{\underset{+}{\underbrace{(-2)\cdot (-2)}}\cdot \underset{+}{\underbrace{(-2)\cdot (-2)}}\cdot \dots \cdot \underset{+}{\underbrace{(-2)\cdot (-2)}}}}.$ Also stehen in dem Produkt, sobald du die Paare zusammengerechnet hast, keine negativen Vorzeichen mehr. Damit ist der Wert von $(-2{)}^x$ positiv.

2. $x$ ist ungerade. Dann bleibt am Ende eine $-2$ übrig. Das sieht dann so aus: $(-2{)}^x=\underset{+}{\underbrace{\underset{=+4}{\underbrace{(-2)\cdot (-2)}}\cdot \underset{=+4}{\underbrace{(-2)\cdot (-2)}}\cdot \dots \cdot \underset{=+4}{\underbrace{(-2)\cdot (-2)}}}}\cdot \underset{-}{\underbrace{(-2)}}.$ Wenn du die Paare zusammengerechnet hast, steht da also eine positive Zahl mal eine negative Zahl. Und aufgrund der Regel "Plus mal Minus ergibt Minus." hat damit $(-2{)}^x$ einen negativen Wert.

Fassen wir also zusammen: Der Wert von $(-2{)}^x$ ist positiv, wenn $x$ gerade ist, und negativ, wenn $x$ ungerade ist. Die möglichen Werte für $x$ sind also: