Aufgaben zum Faktorisieren

1
Klammere aus.
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$x^{3} - 7 x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$x^{3} - 7 x^{2}$ $=$
↓
Klammere $x^{2}$ aus.
$=$ $x^{2} (x - 7)$

$a^{2} - a + ab$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$a^{2} - a + a b$ $=$
↓
Klammere $a$ aus.
$=$ $a (a - 1 + b)$

$x^{2} - 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$x^{2} - 2 x$ $=$
↓
Klammere $x$ aus.
$=$ $x \cdot (x - 2)$

$6 uv - 24 {uv}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
$6 u v - 24 u v^{2}$ $=$
↓
Klammere $6 u v$ aus.
$=$ $6 u v (1 - 4 v)$

$14 {rs}^{2} - 7 r^{2} s + 35 r^{2} s^{2} t$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
$14 {rs}^{2} - 7 r^{2} s + 35 r^{2} s^{2} t$ $=$
↓
Klammere $7 r s$ aus.
$=$ $7 r s (2 s - r + 5 r s t)$

$24 p^{3} q - 16 {pq}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
$24 p^{3} q - 16 {pq}^{2}$ $=$
↓
Klammere $8 p q$ aus.
$=$ $8 p q (3 p^{2} - 2 q)$

$4 x^{2} y + 2 xy - 4 {xy}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme und Variablen
$4 x^{2} y + 2 xy - 4 {xy}^{2}$ $=$
↓
Klammere $2 x y$ aus
$=$ $2 x y (2 x + 1 - 2 y)$

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$2 x - 2 y$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$2 x - 2 y$ $=$
↓
Klammere den Faktor 2 aus.
$=$ $2 \cdot (x - y)$

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$- 5 xu + 15 xv - 10 xz$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$- 5 x u + 15 x v - 10 x z$ $=$
↓
Klammere den Faktor $5 x$ aus.
$=$ $- 5 x \cdot (u - 3 v + 2 z)$

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$26 xy - 13 xz$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$26 x y - 13 x z$ $=$
↓
Klammere den Faktor $13 x$ aus.
$=$ $13 x \cdot (2 y - z)$

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$7 x - 7 y + 7 z$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$7 x - 7 y + 7 z$ $=$
↓
Klammere den Faktor $7$ aus.
$=$ $7 \cdot (x - y + z)$
2
Verwandle den Term in ein Produkt. Verwende dabei eine der binomischen Formeln.
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$a^{2} - 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die dritte Binomische Formel an.
$a^{2} - 4 b^{2}$
$= (a - 2 b) \cdot (a + 2 b)$

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$25 x^{2} - 9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die dritte Binomische Formel an.
$25 x^{2} - 9$
$= (5 x - 3) \cdot (5 x + 3)$

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$x^{2} + 14 x + 49$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die erste Binomische Formel an.
$x^{2} + 14 x + 49$
$= {(x + 7)}^{2}$

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$1 - 2 x + x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$1 - 2 x + x^{2}$
Sortiere nach Variabeln.
$= x^{2} - 2 x + 1$
Wende die zweite Binomische Formel an.
$= {(x - 1)}^{2}$

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$4 k^{2} - 4 k + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die zweite Binomische Formel an.
$4 k^{2} - 4 k + 1$
$= {(2 k - 1)}^{2}$

$\frac{4}{9} a^{2} + ab + \frac{9}{16} b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die erste Binomische Formel an.
$\frac{4}{9} a^{2} + ab + \frac{9}{16} b^{2}$
$= (\frac{2}{3} a + \frac{3}{4} b)^{2}$
3
Faktorisiere.
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$4 x^{2} - 8 x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere den Faktor $4$ aus.
$4 x^{2} - 8 x + 4$ $=$ $4 \cdot (x^{2} - 2 x + 1)$
↓
Wende die zweite binomische Formel an.
$=$ $4 \cdot {(x - 1)}^{2}$

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$\frac{1}{5} x^{2} + 2 x + 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere $\frac{1}{5}$ aus.
$\frac{1}{5} x^{2} + 2 x + 5$ $=$ $\frac{1}{5} \cdot (x^{2} + 10 x + 25)$
↓
Wende die erste binomische Formel an.
$=$ $\frac{1}{5} \cdot {(x + 5)}^{2}$

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$- x^{2} + 6 x - 9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere den Faktor $- 1$ aus.
$- x^{2} + 6 x - 9$ $=$ $- (x^{2} - 6 x + 9)$
↓
Wende die zweite binomische Formel an.
$=$ $- {(x - 3)}^{2}$

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$\frac{1}{2} x^{2} - 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere den Faktor $\frac{1}{2}$ aus.
$\frac{1}{2} x^{2} - 8$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 16)$
↓
Wende die dritte binomische Formel an.
$=$ $\frac{1}{2} \cdot (x - 4) \cdot (x + 4)$

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$\frac{1}{4} x^{2} - 3 x + 9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere den Faktor $\frac{1}{4}$ aus.
$\frac{1}{4} x^{2} - 3 x + 9$ $=$ $\frac{1}{4} \cdot (x^{2} - 12 x + 36)$
↓
Wende die zweite binomische Formel an.
$=$ $\frac{1}{4} \cdot {(x - 6)}^{2}$

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$\frac{x^{2}}{2} - kx + \frac{k^{2}}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere den Faktor $\frac{1}{2}$ aus.
$\frac{x^{2}}{2} - kx + \frac{k^{2}}{2}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 kx + k^{2})$
↓
Wende die zweite binomische Formel an.
$=$ $\frac{1}{2} \cdot {(x - k)}^{2}$

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$- \frac{1}{4} + x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisiern
Sortiere nach Variabeln.
$- \frac{1}{4} + x^{2}$ $=$ $x^{2} - \frac{1}{4}$
↓
Wende die dritte binomische Formel an.
$=$ $(x - \frac{1}{2}) \cdot (x + \frac{1}{2})$

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$u^{4} - 4 u^{3} + 4 u^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere $u^{2}$ aus.
$u^{4} - 4 u^{3} + 4 u^{2}$ $=$ $u^{2} \cdot (u^{2} - 4 u + 4)$
↓
Wende die zweite binomische Formel an.
$=$ $u^{2} \cdot {(u - 2)}^{2}$

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$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Wende die erste binomische Formel an.
$x^{4} + 2 x^{2} + 1 = {(x^{2} + 1)}^{2}$
4
Beschreibe mit Worten, welche Fehler jeweils gemacht wurden.
$\frac{1}{2} {a b}^{2} \cdot 2 a^{2} b = a b \cdot (\frac{1}{2} y + 2 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren
$a$ wurde durch $x$ und $b$ durch $y$ ersetzt und aus einem Produkt kann durch Ausklammern kein Term mit einer Summe entstehen.

$- \frac{1}{2} x y^{2} - x y + 2 x^{2} y = - x y (\frac{1}{2} y - 2 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammer ausmultiplizieren
In der Klammer wurde $+ 1$ vergessen, was beim ausmultiplizieren $- x y$ ergibt.
5
Faktorisiere den Term. Wende dabei eine Zerlegung in zwei Klammerterme oder Linearfaktoren an.
$y^{2} + 7 y + 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
Überlege welche beiden Zahlen addiert 7 und multipliziert 12 ergeben.
$y^{2} + 7 y + 12 = (y + 3) (y + 4)$

$ab + 5 a + 7 b + 35$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$\begin{array}{l} (a + 7) (b + 5) \end{array}$

$x^{2} + 6 x + 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$x^{2} + 6 x + 8$
Zerlege in Linearfaktoren
$= (x + 2) (x + 4)$

$z^{2} + 17 z + 60$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$(z + 5) (z + 12)$

$a^{2} - a - 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$a^{2} - a - 12$
Zerlege in Linearfaktoren
$= (a - 4) (a + 3)$

$21 a + 3 a^{2} + 30$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$(3 a + 6) (a + 5)$

$a^{2} - 26 ab + 165 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$a^{2} - 26 ab + 165 b^{2}$
Zerlege in Linearfaktoren
$= (a - 11 b) (a - 15 b)$

$20 x^{2} - 21 xy + 4 y^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$20 x^{2} - 21 xy + 4 y^{2}$
Zerlege in Linearfaktoren
$= (4 x - y) (5 x - 4 y)$

$x^{2} - 16 x + 48$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$x^{2} - 16 x + 48$
Zerlege in Linearfaktoren
$= (x - 4) (x - 12)$

$x^{2} - 3 xy + 2 y^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}$
Zerlege in Linearfaktoren
$= (x - y) (x - 2 y)$

$a^{2} + a - 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme Faktorisieren
$(a - 3) (a + 4)$
6
Durch geschicktes Ausklammern Brüche vermeiden! Klammere so aus, dass in der Klammer keine Brüche mehr stehen.
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$\frac{3}{4} bx - \frac{3}{4} by + \frac{3}{4} bz$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
Klammere den Faktor $\frac{3}{4} b$ aus.
$\frac{3}{4} bx - \frac{3}{4} by + \frac{3}{4} bz = \frac{3}{4} b \cdot (x - y + z)$

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$\frac{1}{2} xu - \frac{1}{8} xv + \frac{3}{4} xz$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
Du kannst $x$ ausgeklammern, da es in allen drei Summanden vorkommt. Wenn du alle Brüche auf den Hauptnenner erweiterst, erkennst du, dass du gleichzeitig einen Bruch mit ausklammern kannst.
$\frac{1}{2} xu - \frac{1}{8} xv + \frac{3}{4} xz$ $=$ $\frac{4}{8} xu - \frac{1}{8} xv + \frac{6}{8} xz$
↓
Klammere den Faktor $\frac{1}{8} x$ aus.
$=$ $\frac{1}{8} x \cdot (4 u - v + 6 z)$

$\frac{2}{3} a - \frac{5}{6} b$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
Erweitere $\frac{2}{3}$ mit 2.
$\frac{2}{3} a - \frac{5}{6} b$ $=$ $\frac{4}{6} a - \frac{5}{6} b$
↓
Klammer $\frac{1}{6}$ aus.
$=$ $\frac{1}{6} (4 a - 5 b)$
7
Was fehlt in der Klammer?
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$- 7 x + 14 x y = - 7 x (. . .)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$- 7 x + 14 x y$ $=$ $- 7 x (. . .)$
↓
Der Faktor -7x wird ausgeklammert.
$- 7 x \cdot 1 - 7 x \cdot (- 2 y)$ $=$ $- 7 x \cdot (1 - 2 y)$
$\Rightarrow (. . .) = 1 - 2 y$

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$a x^{2} - 6 x^{3} = x^{2} \cdot (. . .)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$a x^{2} - 6 x^{3}$ $=$ $x^{2} \cdot (. . .)$
↓
Der Faktor $x^{2}$ lässt sich ausklammern.
$x^{2} \cdot a - x^{2} \cdot 6 x$ $=$ $x^{2} \cdot (a - 6 x)$
$\Rightarrow (. . .) = a - 6 x$

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$\frac{5}{3} a + 5 a^{2} - \frac{10}{3} a^{3} = 5 a \cdot (. . .)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$\frac{5}{3} a + 5 a^{2} - \frac{10}{3} a^{3}$ $=$ $5 a \cdot (. . .)$
$\frac{1}{3} \cdot 5 a + 5 a \cdot a - \frac{2}{3} \cdot 5 a \cdot a^{2}$ $=$ $5 a \cdot (. . .)$
↓
Der Faktor 5a wird ausgeklammert.
$5 a \cdot (\frac{1}{3} + a - \frac{2}{3} a^{2})$ $=$ $5 a \cdot (. . .)$
$\Rightarrow (. . .) = \frac{1}{3} + a - \frac{2}{3} a^{2}$

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$1,5 a - 2,5 ab + 0,5 a^{2} = 0,5 a \cdot (. . .)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$1,5 a - 2,5 ab + 0,5 a^{2}$ $=$ $0,5 a \cdot (. . .)$
$0,5 a \cdot 3 - 0,5 a \cdot 5 b + 0,5 a \cdot a$ $=$ $0,5 a \cdot (. . .)$
↓
Der Faktor 0,5a wird ausgeklammert .
$0,5 a \cdot (3 - 5 b + a)$ $=$ $0,5 a \cdot (. . .)$
$\Rightarrow (. . .) = 3 - 5 b + a$
8
Auch Klammern kann man ausklammern! Faktorisiere den Term.
$m (r - s) - n (s - r)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammer $(- 1)$ bei $(s - r)$ aus.
$m (r - s) - n (s - r)$ $=$ $m (r - s) + n (- s + r)$
↓
Klammer $(r - s)$ aus.
$=$ $(m + n) (r - s)$

$4 a (2 x + 3 y) + 2 b (2 x + 3 y)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere $(2 x + 3 y)$ aus.
$4 a (2 x + 3 y) + 2 b (2 x + 3 y)$ $=$ $(4 a + 2 b) (2 x + 3 y)$
↓
Klammere $2$ aus.
$=$ $2 (2 a + b) (2 x + 3 y)$

$s (a + x) + b (a + x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere $(a + x)$ aus.
$s (a + x) + b (a + x) = (a + x) (b + s)$

$- y (x + a) + v (x + a)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere $(x + a)$ aus.
$- y (x + a) + v (x + a) = (a + x) (v - y)$

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$8 \cdot (a + b) + (a + b)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Verwende $(a + b) = 1 \cdot (a + b)$ .
$8 \cdot (a + b) + (a + b)$ $=$ $8 \cdot (a + b) + 1 \cdot (a + b)$
↓
Klammere den Faktor $(a + b)$ aus.
$=$ $(a + b) \cdot (8 + 1)$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $9 \cdot (a + b)$

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$x \cdot (u - v) - y \cdot (u - v)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere den Faktor $(u - v)$ aus.
$x \cdot (u - v) - y \cdot (u - v) = (u - v) \cdot (x - y)$

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$a \cdot (3 m - n) - b \cdot (3 m - n)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere den Faktor $(3 m - n)$ aus.
$a \cdot (3 m - n) - b \cdot (3 m - n)$ $=$ $(3 m - n) \cdot (a - b)$

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$x \cdot (3 - r) - (3 - r)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Verwende $(3 - r) = 1 \cdot (3 - r)$ .
$x \cdot (3 - r) - (3 - r)$ $=$ $x \cdot (3 - r) - 1 \cdot (3 - r)$
$=$ $(3 - r) \cdot (x - 1)$

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$5 u \cdot (a - 2 b) + v \cdot (a - 2 b)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Klammere den Faktor $(a - 2 b)$ aus.
$5 u \cdot (a - 2 b) + v \cdot (a - 2 b) = (a - 2 b) \cdot (5 u + v)$

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$2 x \cdot (3 u + v) - (3 u + v)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
Verwende $(3 u + v) = 1 \cdot (3 u + v)$
$2 x \cdot (3 u + v) - (3 u + v)$ $=$ $2 x \cdot (3 u + v) - 1 \cdot (3 u + v)$
↓
Klammere den Faktor $(3 u + v)$ aus.
$=$ $(3 u + v) \cdot (2 x - 1)$
9
Faktorisiere die folgenden Terme.
$av + au + v + u$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
$a v + a u + v + u$ $=$ $a (v + u) + v + u$
$=$ $a (v + u) + 1 (v + u)$
$=$ $(1 + a) (u + v)$

$ba - by + xa - yx$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
$b a - b y + x a - y x$ $=$ $b (a - y) + x a - y x$
$=$ $b (a - y) + x (a - y)$
$=$ $(b + x) (a - y)$

$cq + cr - q - r$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
$c q + c r - q - r$ $=$ $c (q + r) - q - r$
$=$ $c (q + r) - 1 (q + r)$
$=$ $(c - 1) (q + r)$

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$ax + ay + bx + by$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
$a x + a y + b x + b y$ $=$ $a (x + y) + b x + b y$
$=$ $a (x + y) + b (x + y)$
$=$ $(a + b) (x + y)$

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$2 m + 2 n + 3 m + 3 n$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
$2 m + 2 n + 3 m + 3 n$ $=$ $5 m + 5 n$
$=$ $5 (m + n)$

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$3 am - mv + 3 a - v$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
$3 a m - m v + 3 a - v$ $=$ $m \cdot (3 a - v) + 1 \cdot (3 a - v)$
$=$ $(m + 1) (3 a - v)$

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$4 uv - u + 12 vy - 3 y$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme umformen
$4 u v - u + 12 v y - 3 y$ $=$ $4 u v - u + 4 v \cdot 3 y - 3 y$
$=$ $u \cdot (4 v - 1) + 3 y \cdot (4 v - 1)$
$=$ $(4 v - 1) \cdot (u + 3 y)$
10
Faktorisiere und klammere aus soweit möglich. Für diese Aufgabe musst du schon die binomischen Formeln kennen.
$m (2 r + 2 s) (2 r - 2 s)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$m (2 r + 2 s) (2 r - 2 s)$
↓
Wende die d ritte Binomische Formel an.
$=$ $m (4 r^{2} - 4 s^{2})$
↓
Klammere 4 aus.
$=$ $4 m (r^{2} - s^{2})$
Wende zuerst die 3. binomische Formel an.

${sm}^{2} - {sn}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$s m^{2} - s n_{}^{2}$ $=$ $s (m^{2} - n^{2})$
↓
Klammere $s$ aus.
$=$ $s (m - n) (m + n)$
↓
Verwende die 3. binomische Formel

$6 a (7 x - 5 y) + 9 b (- 7 x + 5 y)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$6 a (7 x - 5 y) + 9 b (7 x - 5 y)$ $=$ $6 a (7 x - 5 y) - 9 b (7 x - 5 y)$
↓
-1 aus (-7x+5y) ausklammern.
$=$ $(6 a - 9 b) (7 x - 5 y)$
↓
(7x-5y) ausklammern.
$=$ $3 (2 a - 3 b) (7 x - 5 y)$
↓
3 ausklammern

$(gt - ht) + (2 g - 2 h)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme faktorisieren
$(g - h) (t + 2)$

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$x^{3} - 7 x^{2}$	$=$
	↓	Klammere $x^{2}$ aus.
	$=$	$x^{2} (x - 7)$

$6 u v - 24 u v^{2}$	$=$
	↓	Klammere $6 u v$ aus.
	$=$	$6 u v (1 - 4 v)$

$14 {rs}^{2} - 7 r^{2} s + 35 r^{2} s^{2} t$	$=$
	↓	Klammere $7 r s$ aus.
	$=$	$7 r s (2 s - r + 5 r s t)$

$24 p^{3} q - 16 {pq}^{2}$	$=$
	↓	Klammere $8 p q$ aus.
	$=$	$8 p q (3 p^{2} - 2 q)$

$4 x^{2} y + 2 xy - 4 {xy}^{2}$	$=$
	↓	Klammere $2 x y$ aus
	$=$	$2 x y (2 x + 1 - 2 y)$

$2 x - 2 y$	$=$
	↓	Klammere den Faktor 2 aus.
	$=$	$2 \cdot (x - y)$

$- 5 x u + 15 x v - 10 x z$	$=$
	↓	Klammere den Faktor $5 x$ aus.
	$=$	$- 5 x \cdot (u - 3 v + 2 z)$

$26 x y - 13 x z$	$=$
	↓	Klammere den Faktor $13 x$ aus.
	$=$	$13 x \cdot (2 y - z)$

$7 x - 7 y + 7 z$	$=$
	↓	Klammere den Faktor $7$ aus.
	$=$	$7 \cdot (x - y + z)$

$4 x^{2} - 8 x + 4$	$=$	$4 \cdot (x^{2} - 2 x + 1)$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$4 \cdot {(x - 1)}^{2}$

$\frac{1}{2} xu - \frac{1}{8} xv + \frac{3}{4} xz$	$=$	$\frac{4}{8} xu - \frac{1}{8} xv + \frac{6}{8} xz$
	↓	Klammere den Faktor $\frac{1}{8} x$ aus.
	$=$	$\frac{1}{8} x \cdot (4 u - v + 6 z)$

$\frac{2}{3} a - \frac{5}{6} b$	$=$	$\frac{4}{6} a - \frac{5}{6} b$
	↓	Klammer $\frac{1}{6}$ aus.
	$=$	$\frac{1}{6} (4 a - 5 b)$

$\frac{5}{3} a + 5 a^{2} - \frac{10}{3} a^{3}$	$=$	$5 a \cdot (. . .)$
$\frac{1}{3} \cdot 5 a + 5 a \cdot a - \frac{2}{3} \cdot 5 a \cdot a^{2}$	$=$	$5 a \cdot (. . .)$
	↓	Der Faktor 5a wird ausgeklammert.
$5 a \cdot (\frac{1}{3} + a - \frac{2}{3} a^{2})$	$=$	$5 a \cdot (. . .)$

$1,5 a - 2,5 ab + 0,5 a^{2}$	$=$	$0,5 a \cdot (. . .)$
$0,5 a \cdot 3 - 0,5 a \cdot 5 b + 0,5 a \cdot a$	$=$	$0,5 a \cdot (. . .)$
	↓	Der Faktor 0,5a wird ausgeklammert .
$0,5 a \cdot (3 - 5 b + a)$	$=$	$0,5 a \cdot (. . .)$

$\frac{1}{5} x^{2} + 2 x + 5$	$=$	$\frac{1}{5} \cdot (x^{2} + 10 x + 25)$
	↓	Wende die erste binomische Formel an.
	$=$	$\frac{1}{5} \cdot {(x + 5)}^{2}$

$- x^{2} + 6 x - 9$	$=$	$- (x^{2} - 6 x + 9)$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$- {(x - 3)}^{2}$

$\frac{1}{2} x^{2} - 8$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 16)$
	↓	Wende die dritte binomische Formel an.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (x - 4) \cdot (x + 4)$

$\frac{1}{4} x^{2} - 3 x + 9$	$=$	$\frac{1}{4} \cdot (x^{2} - 12 x + 36)$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$\frac{1}{4} \cdot {(x - 6)}^{2}$

$\frac{x^{2}}{2} - kx + \frac{k^{2}}{2}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 kx + k^{2})$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot {(x - k)}^{2}$

$- \frac{1}{4} + x^{2}$	$=$	$x^{2} - \frac{1}{4}$
	↓	Wende die dritte binomische Formel an.
	$=$	$(x - \frac{1}{2}) \cdot (x + \frac{1}{2})$

$u^{4} - 4 u^{3} + 4 u^{2}$	$=$	$u^{2} \cdot (u^{2} - 4 u + 4)$
	↓	Wende die zweite binomische Formel an.
	$=$	$u^{2} \cdot {(u - 2)}^{2}$

$- 7 x + 14 x y$	$=$	$- 7 x (. . .)$
	↓	Der Faktor -7x wird ausgeklammert.
$- 7 x \cdot 1 - 7 x \cdot (- 2 y)$	$=$	$- 7 x \cdot (1 - 2 y)$

$a x^{2} - 6 x^{3}$	$=$	$x^{2} \cdot (. . .)$
	↓	Der Faktor $x^{2}$ lässt sich ausklammern.
$x^{2} \cdot a - x^{2} \cdot 6 x$	$=$	$x^{2} \cdot (a - 6 x)$

$m (r - s) - n (s - r)$	$=$	$m (r - s) + n (- s + r)$
	↓	Klammer $(r - s)$ aus.
	$=$	$(m + n) (r - s)$

$4 a (2 x + 3 y) + 2 b (2 x + 3 y)$	$=$	$(4 a + 2 b) (2 x + 3 y)$
	↓	Klammere $2$ aus.
	$=$	$2 (2 a + b) (2 x + 3 y)$

$8 \cdot (a + b) + (a + b)$	$=$	$8 \cdot (a + b) + 1 \cdot (a + b)$
	↓	Klammere den Faktor $(a + b)$ aus.
	$=$	$(a + b) \cdot (8 + 1)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$9 \cdot (a + b)$

$x \cdot (3 - r) - (3 - r)$	$=$	$x \cdot (3 - r) - 1 \cdot (3 - r)$
	$=$	$(3 - r) \cdot (x - 1)$

$2 x \cdot (3 u + v) - (3 u + v)$	$=$	$2 x \cdot (3 u + v) - 1 \cdot (3 u + v)$
	↓	Klammere den Faktor $(3 u + v)$ aus.
	$=$	$(3 u + v) \cdot (2 x - 1)$

$a v + a u + v + u$	$=$	$a (v + u) + v + u$
	$=$	$a (v + u) + 1 (v + u)$
	$=$	$(1 + a) (u + v)$

$b a - b y + x a - y x$	$=$	$b (a - y) + x a - y x$
	$=$	$b (a - y) + x (a - y)$
	$=$	$(b + x) (a - y)$

$c q + c r - q - r$	$=$	$c (q + r) - q - r$
	$=$	$c (q + r) - 1 (q + r)$
	$=$	$(c - 1) (q + r)$

$a x + a y + b x + b y$	$=$	$a (x + y) + b x + b y$
	$=$	$a (x + y) + b (x + y)$
	$=$	$(a + b) (x + y)$

$3 a m - m v + 3 a - v$	$=$	$m \cdot (3 a - v) + 1 \cdot (3 a - v)$
	$=$	$(m + 1) (3 a - v)$

$4 u v - u + 12 v y - 3 y$	$=$	$4 u v - u + 4 v \cdot 3 y - 3 y$
	$=$	$u \cdot (4 v - 1) + 3 y \cdot (4 v - 1)$
	$=$	$(4 v - 1) \cdot (u + 3 y)$