Aufgaben zur Tangente

1
Gegeben ist die Funktion $f (x) = x^{2}$ .
Stelle die Gleichung der Tangente im Punkt $P (2 | y)$ auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente aufstellen
Stelle die Tangentengleichung auf:
$y = m x + t$
Die Tangente hat im Punkt $P (2 | y)$ die Steigung der Funktion $f (x) = x^{2}$ , diese bestimmt man mit Hilfe der Ableitung.
$f^{'} (x) = 2 x$
Bestimmen der Steigung $m$ : $m = f^{'} (2) = 4$
$y = f^{'} (2) = 4$
Der Punkt $P$ liegt auf $f (x)$ .
$\Rightarrow P (2 | 4)$
$4 = 4 \cdot 2 + t$
Bestimme den $y$ -Achsen Abschnitts durch einsetzen von $P$ in die Geradengleichung.
$4$ $=$ $8 + t$ $- 8$
$- 4$ $=$ $t$
$\Rightarrow$ Die Tangente ist gegeben durch die Gleichung
$y = 4 x - 4$
2
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $f (x) = 2 x^{2}$ , wobei die Tangente parallel zur Geraden $g : 2 x + 1 - y = 0$ verlaufen soll.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentengleichung bestimmen
Die Gleichung einer Tangente ist eine Geradengleichung:
$y = m x + t$
Die Tangente soll parallel zur Gerade $g : 2 x + 1 - y = 0$ sein.
$2 x + 1 - y$ $=$ $0$ $+ y$
$2 x + 1$ $=$ $y$
Die Steigung der Gerade $g$ kannst du nun aus der Gleichung ablesen, sie ist $m_{g} = 2$ .
Die Tangente soll parallel zur Gerade $g$ sein.
$\Rightarrow m = m_{g} = 2$
Darüber hinaus muss im Berührpunkt der Tangente und der Funktion $f$ die Steigung von $f$ gleich 2 sein.
$f^{'} (x) = 4 x$
Damit berechnen wir die $x$ -Koordinate des Berührpunktes $P (x | y)$ .
$f^{'} (x) = 4 x \overset{!}{=} 2$
$\Rightarrow x = \frac{1}{2}$
Außerdem liegt $P (\frac{1}{2} | y)$ auf $f$ .
$\Rightarrow f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$
Also ist $P (\frac{1}{2} | \frac{1}{2})$ .
Bestimmen des $y$ -Achsen Abschnitts durch einsetzen von $P$ in die Geradengleichung:
$\frac{1}{2}$ $=$ $2 \cdot \frac{1}{2} + t$
$\frac{1}{2}$ $=$ $1 + t$ $- 1$
$- \frac{1}{2}$ $=$ $t$
$\Rightarrow$ Die Tangente ist gegeben durch die Gleichung
$y = 2 x - \frac{1}{2}$
3
Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion $f (x) = 3 \cdot x^{2}$ , die senkrecht zur Geraden $h : 2 \cdot y - 3 \cdot x + 6 = 0$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentengleichung bestimmen
Die Gleichung einer Tangente ist eine Geradengleichung:
$y = m x + t$
Die Tangente soll senkrecht zur Geraden $h : 2 y - 3 x + 6 = 0$ sein, stelle die Gleichung von $h$ nun so um, dass du die Steigung ablesen kannst:
$2 y - 3 x + 6$ $=$ $0$ $+ 3 x$
$2 y + 6$ $=$ $3 x$ $- 6$
$2 y$ $=$ $3 x - 6$ $: 2$
$y$ $=$ $\frac{3}{2} x - 3$
Die Steigung der Gerade $h$ ist $m_{h} = \frac{3}{2}$ .
Die Tangente soll senkrecht zur Geraden $h$ sein.
$\Rightarrow m \cdot m_{h}$ $=$ $- 1$ $: m_{h}$
$m$ $=$ $- \frac{1}{m_{h}}$
$m$ $=$ $- \frac{1}{(\frac{3}{2})}$
$m$ $=$ $- \frac{2}{3}$
Darüber hinaus muss im Berührpunkt der Tangente und der Funktion $f$ die Steigung von $f$ gleich $- \frac{2}{3}$ sein.
$f^{'} (x) = 6 x$
Damit berechnen wir die $x$ -Koordinate des Berührpunktes $P (x | y)$ .
$f^{'} (x) = 6 x \overset{!}{=} - \frac{2}{3}$
$\Rightarrow x = - \frac{1}{9}$
Außerdem liegt $P (- \frac{1}{9} | y)$ auf $f$ .
$f (- \frac{1}{9}) = 3 \cdot {(- \frac{1}{9})}^{2} = \frac{1}{27}$
Also ist $P (- \frac{1}{9} | \frac{1}{27})$ .
Bestimmen des $y$ -Achsen Abschnitts durch einsetzen von $P$ in die Geradengleichung:
$\frac{1}{27}$ $=$ $- \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{9}) + t$
$- \frac{1}{27}$ $=$ $\frac{2}{27} + t$ $- \frac{2}{27}$
$- \frac{1}{27}$ $=$ $t$
$\Rightarrow$ Die Tangente ist gegeben durch die Gleichung
$y = - \frac{2}{3} x - \frac{1}{27}$
4
Bestimme die Tangenten an die Funktion $f (x) = - x^{2} + 2$ , die sich im Punkt $P (0 | 4,25)$ schneiden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentengleichung aufstellen
Aufstellen der Tangentengleichungen:
$y_{1,2} = m_{1,2} x + t_{1,2}$
Die beiden Tangenten haben einen Schnittpunkt bei $P (0 | 4,25)$ .
$\Rightarrow t_{1,2} = 4,25$
$\Rightarrow y_{1,2} = m_{1,2} x + 4,25$
Wir errechnen die Schnittpunkte von $y_{1,2}$ und $f (x) :$
$y_{1,2} = f (x) \Leftrightarrow m_{1,2} x + 4,25 = - x^{2} + 2$
$m_{1,2} x + 4,25$ $=$ $- x^{2} + 2$ $- m_{1,2} x$
$4,25$ $=$ $- x^{2} + 2 - m_{1,2} x$ $- 4,25$
$0$ $=$ $- x^{2} - m_{1,2} x - 2,25$
Mit der Mitternachtsformel Schnittstellen berechnen:
$x_{1,2} = \frac{m_{1,2} \pm \sqrt{(- m_{1,2})^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2,25)}}{2 \cdot (- 1)}$
$= \frac{m_{1,2} \pm \sqrt{m_{1,2}^{2} - 9}}{- 2}$
Für Tangenten muss gelten, dass sie nur einen Berührpunkt mit dem Graphen der Funktion $f$ besitzen.
Um nur eine Lösung für die Gleichung
$x_{1,2} = \frac{m_{1,2} \pm \sqrt{m_{1,2}^{2} - 9}}{- 2}$
zu erhalten, muss die Diskriminante $D = m_{1,2}^{2} - 9$ gleich $0$ sein.
$m_{1,2}^{2} - 9$ $=$ $0$ $+ 9$
$m_{1,2}^{2}$ $=$ $9$ $\sqrt{}$
$m_{1,2}$ $=$ $\pm 3$
Die Tangenten sind also gegeben durch die Gleichungen
$y_{1} = m_{1} x + t_{1} = 3 x + 4,25$

$y_{2} = m_{2} x + t_{2} = - 3 x + 4,25$
5
Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion $f (x) = \sqrt{x} - 2$ durch den Punkt $P (x | 0)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentengleichung aufstellen
Der Punkt $P (x | 0)$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Berechne dessen $x$ -Koordinate.
$f (x)$ $=$ $\sqrt{x} - 2$
$\Rightarrow 0$ $=$ $\sqrt{x} - 2$ $+ 2$
$2$ $=$ $\sqrt{x}$ $^{2}$
$4$ $=$ $x$
$\Rightarrow P (4 | 0)$ ist der Berührpunkt des Graphen mit der Tangente.
Die Tangente wird durch eine Geradengleichung beschrieben:
$y = m x + t$
Die Tangente hat im Punkt $P (4 | 0)$ die Steigung der Funktion $f (x) = \sqrt{x} - 2$ , diese bestimmt man mit Hilfe der Ableitung.
$f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$
Bestimmen der Steigung $m$ , durch einsetzen von $x = 4$ :
$m = f^{'} (4) = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4}$
Bestimmen des $y$ -Achsen Abschnitts durch einsetzen von $P$ in die Geradengleichung:
$0$ $=$ $\frac{1}{4} \cdot 4 + t$
$0$ $=$ $1 + t$ $- 1$
$- 1$ $=$ $t$
$\Rightarrow$ Die Tangente ist gegeben durch die Gleichung
$y = \frac{1}{4} x - 1$

An die Funktion $f (x) = - 0,2 \cdot (x - 2)^{2} - 2,5$ soll vom Punkt $P (0 | 3)$ aus eine Tangente mit negativer Steigung gelegt werden. Bestimme die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$m x + t$	$=$	$f (x)$
	↓	Setze $t = 3$ und $f (x) = - 0,2 \cdot (x - 2)^{2} - 2,5$ ein.
$m x + 3$	$=$	$- 0,2 \cdot (x - 2)^{2} - 2,5$
	↓	2. binomische Formel anwenden.
$m x + t$	$=$	$- 0,2 \cdot (x^{2} - 4 x + 4) - 2,5$
	↓	Klammer auflösen.
$m x + 3$	$=$	$- 0,2 x^{2} + 0,8 x - 0,8 - 2,5$
$m x + 3$	$=$	$- 0,2 x^{2} + 0,8 x - 3,3$	$- 3$
$m x$	$=$	$- 0,2 x^{2} + 0,8 x - 6,3$	$- m x$
$0$	$=$	$- 0,2 x^{2} + 0,8 x - 6,3 - m x$
	↓	Umsortieren und einklammern.
$0$	$=$	$- 0,2 x^{2} + (0,8 - m) x - 6,3$	$\cdot (- 5)$
	↓	$\cdot (- 5)$ ist das Gleiche wie $: (- 0,2)$ .
$0$	$=$	$x^{2} - (4 - 5 m) x + 31,5$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{(4 - 5 m) \pm \sqrt{{(- (4 - 5 m))}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 31,5}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{(4 - 5 m) \pm \sqrt{(4 - 5 m)^{2} - 126}}{2}$

$\frac{1}{2}$	$=$	$2 \cdot \frac{1}{2} + t$
$\frac{1}{2}$	$=$	$1 + t$	$- 1$
$- \frac{1}{2}$	$=$	$t$

$2 y - 3 x + 6$	$=$	$0$	$+ 3 x$
$2 y + 6$	$=$	$3 x$	$- 6$
$2 y$	$=$	$3 x - 6$	$: 2$
$y$	$=$	$\frac{3}{2} x - 3$

$\Rightarrow m \cdot m_{h}$	$=$	$- 1$	$: m_{h}$
$m$	$=$	$- \frac{1}{m_{h}}$
$m$	$=$	$- \frac{1}{(\frac{3}{2})}$
$m$	$=$	$- \frac{2}{3}$

$\frac{1}{27}$	$=$	$- \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{9}) + t$
$- \frac{1}{27}$	$=$	$\frac{2}{27} + t$	$- \frac{2}{27}$
$- \frac{1}{27}$	$=$	$t$

$m_{1,2} x + 4,25$	$=$	$- x^{2} + 2$	$- m_{1,2} x$
$4,25$	$=$	$- x^{2} + 2 - m_{1,2} x$	$- 4,25$
$0$	$=$	$- x^{2} - m_{1,2} x - 2,25$

$m_{1,2}^{2} - 9$	$=$	$0$	$+ 9$
$m_{1,2}^{2}$	$=$	$9$	$\sqrt{}$
$m_{1,2}$	$=$	$\pm 3$

$f (x)$	$=$	$\sqrt{x} - 2$
$\Rightarrow 0$	$=$	$\sqrt{x} - 2$	$+ 2$
$2$	$=$	$\sqrt{x}$	$^{2}$
$4$	$=$	$x$

$0$	$=$	$\frac{1}{4} \cdot 4 + t$
$0$	$=$	$1 + t$	$- 1$
$- 1$	$=$	$t$

$D = {(4 - 5 m)}^{2} - 126$	$=$	$0$	$+ 126$
${(4 - 5 m)}^{2}$	$=$	$126$	$\sqrt{}$
$4 - 5 m$	$=$	$\pm \sqrt{126}$	$- 4$
$- 5 m$	$=$	$\pm \sqrt{126} - 4$	$: (- 5)$
$m$	$=$	$\mp \frac{\sqrt{126}}{5} + \frac{4}{5}$
$m$	$=$	$\mp \frac{3 \sqrt{14}}{5} + \frac{4}{5}$
$m$	$=$	$\mp \frac{3}{5} \sqrt{14} + \frac{4}{5}$

Aufgaben zur Tangente

Zusatz: Darstellung des Graphen und der gesuchten Tangente im Koordinatensystem