Aufgaben zu der Tangente

Bestimme die Tangenten an die Funktion $f (x) = - x^{2} + 2$ , die sich im Punkt $P (0 | 4,25)$ schneiden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentengleichung aufstellen

Aufstellen der Tangentengleichungen:

$y_{1,2} = m_{1,2} x + t_{1,2}$

Die beiden Tangenten haben einen Schnittpunkt bei $P (0 | 4,25)$ .

$\Rightarrow t_{1,2} = 4,25$

$\Rightarrow y_{1,2} = m_{1,2} x + 4,25$

Wir errechnen die Schnittpunkte von $y_{1,2}$ und $f (x) :$

$y_{1,2} = f (x) \Leftrightarrow m_{1,2} x + 4,25 = - x^{2} + 2$

Mit der Mitternachtsformel Schnittstellen berechnen:

x_{1,2} = \frac{m_{1,2} \pm \sqrt{(- m_{1,2})^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2,25)}}{2 \cdot (- 1)}

= \frac{m_{1,2} \pm \sqrt{m_{1,2}^{2} - 9}}{- 2}

Für Tangenten muss gelten, dass sie nur einen Berührpunkt mit dem Graphen der Funktion $f$ besitzen.

Um nur eine Lösung für die Gleichung

x_{1,2} = \frac{m_{1,2} \pm \sqrt{m_{1,2}^{2} - 9}}{- 2}

zu erhalten, muss die Diskriminante $D = m_{1,2}^{2} - 9$ gleich $0$ sein.

Die Tangenten sind also gegeben durch die Gleichungen

y_{1} = m_{1} x + t_{1} = 3 x + 4,25

y_{2} = m_{2} x + t_{2} = - 3 x + 4,25

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