Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen

Wie gut kennst du dich mit Bruchgleichungen aus? Lerne Bruchgleichungen zu lösen, die nach Auslösen des Hauptnenners zu quadratischen Gleichungen werden!

Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von der folgenden Bruchgleichung:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac{5}{2 - x} = \frac{x}{2 x - 4}$

Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen.

$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1} = \frac{13}{x - 2}$

$\frac{4}{x} - \frac{x}{4} = \frac{8}{x} - \frac{3 x}{4}$

$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

$\frac{x}{x^{2} - 4 x} = 2$

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

3
Du hast die Bruchgleichung:
$\frac{4}{x - 1} + \frac{5}{x} = \frac{3}{x + 1}$
gegeben. Löse diese Bruchgleichung.
$\frac{1}{2}$
$- \frac{5}{3}$
$\frac{4}{5}$
- $\frac{3}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen
Die Lösung dieser Aufgabe kannst du im folgenden Text lesen oder einem Video weiter unten ansehen.
Definitionsmenge bestimmen
Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.
Wie du dich vielleicht erinnerst, entseht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner $0$ werden würde. Man darf nämlich nicht durch $0$ teilen.
Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich $0$ :
Nenner des ersten Bruchs
$x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$x$ $=$ $1$
↓
Also wird dieser Nenner 0 für x=1
Der Nenner des zweiten Bruchs:
$x$ $=$ $0$
↓
Also wird dieser Nenner 0 für x=0
Der Nenner des dritten Bruchs:
$x + 1$ $=$ $0$ $- 1$
$x$ $=$ $- 1$
↓
Also wird dieser Nenner $0$ für $x = - 1$
Du erkennst also, dass hier $- 1$ , $0$ und $1$ die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.
Somit ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung:
$D = ℚ \ {- 1,0,1}$ .
Gleichung bruchterm-frei machen
Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, mithilfe des Hauptnenners.
$\frac{4}{x - 1} + \frac{5}{x} = \frac{3}{x + 1}$
wird zu:
$\frac{4 \cdot x \cdot (x + 1)}{(x - 1) \cdot x \cdot (x + 1)} + \frac{5 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)}{x \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)} = \frac{3 \cdot x \cdot (x - 1)}{(x + 1) \cdot x \cdot (x - 1)}$
Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit dem Hauptnenner und erhalten:
$4 \cdot x \cdot (x + 1) + 5 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) = 3 \cdot x \cdot (x - 1)$
Ausmultiplizieren der Klammern
$\begin{array}{rr} 4 \cdot x^{2} + 4 x + 5 \cdot x^{2} - 5 = 3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x & | - 3 \cdot x^{2} + 3 \cdot x \end{array}$
$6 \cdot x^{2} + 7 \cdot x - 5 = 0$
Gleichung lösen
Jetzt bestimmst du die möglichen Lösungen dieser Gleichung mit der Mitternachtsformel:
$x_{1,2} = \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 6} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2 \cdot 6} = \frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{12} = \frac{- 7 \pm 13}{12}$
Die möglichen Lösungen sind also:
$x_{1} = \frac{- 7 + 13}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$x_{2} = \frac{- 7 - 13}{12} = - \frac{20}{12} = - \frac{5}{3}$
Als letzter Schritt ist es wichtig zu überprüfen, ob alle Lösungen im Definitionsbereich liegen.
Der Definitionsbereich ist $D = ℚ \ {- 1,0,1}$ und $\frac{1}{2}$ , genauso wie $- \frac{5}{3}$ liegen in $D$ .
Also sind $\frac{1}{2}$ und $- \frac{5}{3}$ die Lösungen der Bruchgleichung $\frac{4}{x - 1} + \frac{5}{x} = \frac{3}{x + 1}$ .
Lösung der Aufgabe in einem Video
Du kannst in folgendem YouTube-Video die Lösung von Robert Plötz auch nachvollziehen:

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{5}{2 - x}$	$=$	$\frac{x}{2 x - 4}$	$\cdot (2 - x) \| \cdot (2 x - 4)$
$5 \cdot (2 x - 4)$	$=$	$x \cdot (2 - x)$
	↓	Ausmultiplizieren
$10 x - 20$	$=$	$2 x - x^{2}$
	↓	Alles auf eine Seite bringen und somit 0 setzen.
$x^{2} + 8 x - 20$	$=$	$0$
	↓	Mit der Mitternachtsformel lösen
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 8 \pm 12}{2}$
	↓	Beide Werte für $x$ ausrechnen
$x_{1}$	$=$	$2$
$x_{2}$	$=$	$- 10$

$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1}$	$=$	$\frac{13}{x - 2}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0; - 1; 2}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1}$	$=$	$\frac{13}{x - 2}$
	↓	Auf den Hauptnenner $x (x + 1) (x - 2)$ erweitern.
$\frac{30 (x + 1) (x - 2)}{x (x + 1) (x - 2)} - \frac{16 x (x - 2)}{x (x + 1) (x - 2)}$	$=$	$\frac{13 x (x + 1)}{x (x + 1) (x - 2)}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $x (x + 1) (x - 2)$ multiplizieren.
$30 (x + 1) (x - 2) - 16 x (x - 2)$	$=$	$13 x (x + 1)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$30 (x^{2} - 2 x + x - 2) - 16 x^{2} + 32 x$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$30 x^{2} - 60 x + 30 x - 60 - 16 x^{2} + 32 x$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$
	↓	Terme zusammenfassen
$14 x^{2} + 2 x - 60$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$	$- 13^{2} - 13 x$
$x^{2} - 11 x - 60$	$=$	$0$
	↓	Die Diskriminante bestimmen
$D$	$=$	$121 + 240 = 361$
	↓	$361 > 0 = >$ zwei Lösungen Die Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1}$	$=$	$\frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$
	$=$	$\frac{11 + \sqrt{361}}{2} = 15$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}$
	$=$	$\frac{11 - \sqrt{361}}{2} = - 4$
$\Rightarrow L$	$=$	${- 4; 15}$

$\frac{4}{x} - \frac{x}{4}$	$=$	$\frac{8}{x} - \frac{3 x}{4}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $4 x$ erweitern
$\frac{4 \cdot 4}{4 x} - \frac{x \cdot x}{4 x}$	$=$	$\frac{8 \cdot 4}{4 x} - \frac{3 x^{2}}{4 x}$	$\cdot 4 x$
$16 - x^{2}$	$=$	$32 - 3 x^{2}$	$- 32 + 3 x^{2}$
$2 x^{2} - 16$	$=$	$0$	$+ 16$
$2 x^{2}$	$=$	$16$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$8$	$\| \sqrt{}$
$x_{1}$	$=$	$\sqrt{8} \approx 2,8$
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{8} \approx - 2,8$
$\Rightarrow L$	$=$	${- \sqrt{8}; \sqrt{8}}$

$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}$	$=$	$\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- 1; 1}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $(x - 1) (x + 1)$ erweitern.
$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{(x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$	$=$	$\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$	$\cdot (x - 1) (x + 1)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
${(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2}$	$=$	$x^{2}$
	↓	Binomische Formeln anwenden.
$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1$	$=$	$x^{2}$
	↓	Gleichung umformen.
$- x^{2} + 4 x$	$=$	$0$
	↓	Diskriminante bestimmen
$D$	$=$	$16$
	↓	$16 > 0 = >$ zwei Lösungen Mitternachtsformel anwenden
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 4 + 4}{- 2} = 0$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 4 - 4}{- 2} = 4$
$\Rightarrow L$	$=$	${0; 4}$

$\frac{x}{x^{2} - 4 x}$	$=$	$2$
	↓	Den Nenner gleich $0$ setzen
$x^{2} - 4 x$	$=$	$0$
	↓	Den Faktor x ausklammern
$x (x - 4)$	$=$	$0$
$\Rightarrow D$	$=$	$ℝ \ {0; 4}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen; es handelt sich um eine Quadratische Gleichung.
$\frac{x}{x^{2} - 4 x}$	$=$	$2$
	↓	Klammere $x$ im Nenner wieder aus.
$\frac{x}{x \cdot (x - 4)}$	$=$	$2$
	↓	Kürze mit $x$ .
$\frac{1}{x - 4}$	$=$	$2$	$\cdot (x - 4)$
$1$	$=$	$2 \cdot (x - 4)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$1$	$=$	$2 x - 8$	$+ 8$
$9$	$=$	$2 x$	$: 2$
$\frac{9}{2}$	$=$	$x$
$\Rightarrow L$	$=$	${\frac{9}{2}}$

Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen

Defintionsmenge bestimmen

Bruchgleichung lösen

Alternative Lösung

Definitionsbereich bestimmen

Definitionsmenge bestimmen

Definitionsmenge bestimmen

Videolösung

Definitionsbereich bestimmen

Definitionsbereich bestimmen

Definitionsmenge bestimmen

Nenner des ersten Bruchs

Der Nenner des zweiten Bruchs:

Der Nenner des dritten Bruchs:

Gleichung bruchterm-frei machen

Gleichung lösen

Lösung der Aufgabe in einem Video

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4}$	$=$	$\frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$
	↓	Wende die Binomischen Formeln an, um die Nenner jeweils zu vereinfachen.
$\frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$	$=$	$\frac{x + 2}{{(x + 2)}^{2}}$
	↓	Betrachte nun die Nenner auf beiden Seiten und bestimme die sogenannten Definitionslücken. Der Nenner links
$(x - 2) \cdot (x + 2)$	$=$	$0 \Leftrightarrow x = 2 o d e r x = - 2$
	↓	Der Nenner rechts
${(x + 2)}^{2}$	$=$	$0 \Leftrightarrow x = - 2$
	↓	$\Rightarrow$ Die Defintionslücken sind also bei $+ 2$ und $- 2$ .
$\Rightarrow D_{f}$	$=$	$ℝ \ {+ 2, - 2}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$	$=$	$\frac{x + 2}{{(x + 2)}^{2}}$
	↓	Kürze auf beiden Seiten
$\frac{1}{x + 2}$	$=$	$\frac{1}{x + 2}$	$\cdot (x + 2)$
$1$	$=$	$1$
$\Rightarrow L = D$	$=$	$ℝ \ {+ 2, - 2}$
	↓	d.h. die Gleichung ist für alle Zahlen der Definitionsmenge gültig.

$x - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$x$	$=$	$1$
	↓	Also wird dieser Nenner 0 für x=1

$x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
$x$	$=$	$- 1$
	↓	Also wird dieser Nenner $0$ für $x = - 1$