Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen

Du hast die Bruchgleichung:

$\frac{4}{x - 1} + \frac{5}{x} = \frac{3}{x + 1}$

gegeben. Löse diese Bruchgleichung.

$\frac{1}{2}$
$- \frac{5}{3}$
$\frac{4}{5}$
- $\frac{3}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen

Die Lösung dieser Aufgabe kannst du im folgenden Text lesen oder einem Video weiter unten ansehen.

Definitionsmenge bestimmen

Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.

Wie du dich vielleicht erinnerst, entseht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner $0$ werden würde. Man darf nämlich nicht durch $0$ teilen.

Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich $0$ :

Nenner des ersten Bruchs

$x - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$x$	$=$	$1$
	↓	Also wird dieser Nenner 0 für x=1

Der Nenner des zweiten Bruchs:

$x$	$=$	$0$
	↓	Also wird dieser Nenner 0 für x=0

Der Nenner des dritten Bruchs:

$x + 1$	$=$	$0$	$- 1$
$x$	$=$	$- 1$
	↓	Also wird dieser Nenner $0$ für $x = - 1$

Du erkennst also, dass hier $- 1$ , $0$ und $1$ die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.

Somit ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung:

$D = ℚ \ {- 1,0,1}$ .

Gleichung bruchterm-frei machen

Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, mithilfe des Hauptnenners.

$\frac{4}{x - 1} + \frac{5}{x} = \frac{3}{x + 1}$

wird zu:

$\frac{4 \cdot x \cdot (x + 1)}{(x - 1) \cdot x \cdot (x + 1)} + \frac{5 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)}{x \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)} = \frac{3 \cdot x \cdot (x - 1)}{(x + 1) \cdot x \cdot (x - 1)}$

Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit dem Hauptnenner und erhalten:

$4 \cdot x \cdot (x + 1) + 5 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) = 3 \cdot x \cdot (x - 1)$

Ausmultiplizieren der Klammern

$\begin{array}{rr} 4 \cdot x^{2} + 4 x + 5 \cdot x^{2} - 5 = 3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x & | - 3 \cdot x^{2} + 3 \cdot x \end{array}$

$6 \cdot x^{2} + 7 \cdot x - 5 = 0$

Gleichung lösen

Jetzt bestimmst du die möglichen Lösungen dieser Gleichung mit der Mitternachtsformel:

$x_{1,2} = \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 6} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2 \cdot 6} = \frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{12} = \frac{- 7 \pm 13}{12}$

Die möglichen Lösungen sind also:

$x_{1} = \frac{- 7 + 13}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{- 7 - 13}{12} = - \frac{20}{12} = - \frac{5}{3}$

Als letzter Schritt ist es wichtig zu überprüfen, ob alle Lösungen im Definitionsbereich liegen.

Der Definitionsbereich ist $D = ℚ \ {- 1,0,1}$ und $\frac{1}{2}$ , genauso wie $- \frac{5}{3}$ liegen in $D$ .

Also sind $\frac{1}{2}$ und $- \frac{5}{3}$ die Lösungen der Bruchgleichung $\frac{4}{x - 1} + \frac{5}{x} = \frac{3}{x + 1}$ .

Lösung der Aufgabe in einem Video

Du kannst in folgendem YouTube-Video die Lösung von Robert Plötz auch nachvollziehen:

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org