Aufgaben zu Bruchgleichungen

Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen.

$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1} = \frac{13}{x - 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1}$	$=$	$\frac{13}{x - 2}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0; - 1; 2}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\frac{30}{x} - \frac{16}{x + 1}$	$=$	$\frac{13}{x - 2}$
	↓	Auf den Hauptnenner $x (x + 1) (x - 2)$ erweitern.
$\frac{30 (x + 1) (x - 2)}{x (x + 1) (x - 2)} - \frac{16 x (x - 2)}{x (x + 1) (x - 2)}$	$=$	$\frac{13 x (x + 1)}{x (x + 1) (x - 2)}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $x (x + 1) (x - 2)$ multiplizieren.
$30 (x + 1) (x - 2) - 16 x (x - 2)$	$=$	$13 x (x + 1)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$30 (x^{2} - 2 x + x - 2) - 16 x^{2} + 32 x$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$30 x^{2} - 60 x + 30 x - 60 - 16 x^{2} + 32 x$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$
	↓	Terme zusammenfassen
$14 x^{2} + 2 x - 60$	$=$	$13 x^{2} + 13 x$	$- 13^{2} - 13 x$
$x^{2} - 11 x - 60$	$=$	$0$
	↓	Die Diskriminante bestimmen
$D$	$=$	$121 + 240 = 361$
	↓	$361 > 0 = >$ zwei Lösungen Die Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1}$	$=$	$\frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$
	$=$	$\frac{11 + \sqrt{361}}{2} = 15$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}$
	$=$	$\frac{11 - \sqrt{361}}{2} = - 4$
$\Rightarrow L$	$=$	${- 4; 15}$

$\frac{4}{x} - \frac{x}{4} = \frac{8}{x} - \frac{3 x}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

$\frac{4}{x} - \frac{x}{4}$	$=$	$\frac{8}{x} - \frac{3 x}{4}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $4 x$ erweitern
$\frac{4 \cdot 4}{4 x} - \frac{x \cdot x}{4 x}$	$=$	$\frac{8 \cdot 4}{4 x} - \frac{3 x^{2}}{4 x}$	$\cdot 4 x$
$16 - x^{2}$	$=$	$32 - 3 x^{2}$	$- 32 + 3 x^{2}$
$2 x^{2} - 16$	$=$	$0$	$+ 16$
$2 x^{2}$	$=$	$16$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$8$	$\| \sqrt{}$
$x_{1}$	$=$	$\sqrt{8} \approx 2,8$
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{8} \approx - 2,8$
$\Rightarrow L$	$=$	${- \sqrt{8}; \sqrt{8}}$

$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Für die Lösung dieser Aufgabe kannst du entweder den nachfolgenden Text lesen oder dir ein Video dazu anschauen, wenn du nach unten scrollst.

Bestimme zuerst die Definitionsmenge.

$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}$	$=$	$\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- 1; 1}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $(x - 1) (x + 1)$ erweitern.
$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{(x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$	$=$	$\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$	$\cdot (x - 1) (x + 1)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
${(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2}$	$=$	$x^{2}$
	↓	Binomische Formeln anwenden.
$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1$	$=$	$x^{2}$
	↓	Gleichung umformen.
$- x^{2} + 4 x$	$=$	$0$
	↓	Diskriminante bestimmen
$D$	$=$	$16$
	↓	$16 > 0 = >$ zwei Lösungen Mitternachtsformel anwenden
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 4 + 4}{- 2} = 0$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 4 - 4}{- 2} = 4$
$\Rightarrow L$	$=$	${0; 4}$

Alternativ kann die Gleichung $- x^{2} + 4 x = 0 \Rightarrow x (- x + 4) = 0$ auch mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.

$x = 0 oder x = 4 \Rightarrow L = {0; 4}$

Im folgenden YouTube-Video von Robert Plötz wird dir die Lösung der Aufgabe nochmal Schritt für Schritt erklärt:

$\frac{x}{x^{2} - 4 x} = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

$\frac{x}{x^{2} - 4 x}$	$=$	$2$
	↓	Den Nenner gleich $0$ setzen
$x^{2} - 4 x$	$=$	$0$
	↓	Den Faktor x ausklammern
$x (x - 4)$	$=$	$0$
$\Rightarrow D$	$=$	$ℝ \ {0; 4}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen; es handelt sich um eine Quadratische Gleichung.
$\frac{x}{x^{2} - 4 x}$	$=$	$2$
	↓	Klammere $x$ im Nenner wieder aus.
$\frac{x}{x \cdot (x - 4)}$	$=$	$2$
	↓	Kürze mit $x$ .
$\frac{1}{x - 4}$	$=$	$2$	$\cdot (x - 4)$
$1$	$=$	$2 \cdot (x - 4)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$1$	$=$	$2 x - 8$	$+ 8$
$9$	$=$	$2 x$	$: 2$
$\frac{9}{2}$	$=$	$x$
$\Rightarrow L$	$=$	${\frac{9}{2}}$

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4}$	$=$	$\frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$
	↓	Wende die Binomischen Formeln an, um die Nenner jeweils zu vereinfachen.
$\frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$	$=$	$\frac{x + 2}{{(x + 2)}^{2}}$
	↓	Betrachte nun die Nenner auf beiden Seiten und bestimme die sogenannten Definitionslücken. Der Nenner links
$(x - 2) \cdot (x + 2)$	$=$	$0 \Leftrightarrow x = 2 o d e r x = - 2$
	↓	Der Nenner rechts
${(x + 2)}^{2}$	$=$	$0 \Leftrightarrow x = - 2$
	↓	$\Rightarrow$ Die Defintionslücken sind also bei $+ 2$ und $- 2$ .
$\Rightarrow D_{f}$	$=$	$ℝ \ {+ 2, - 2}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$	$=$	$\frac{x + 2}{{(x + 2)}^{2}}$
	↓	Kürze auf beiden Seiten
$\frac{1}{x + 2}$	$=$	$\frac{1}{x + 2}$	$\cdot (x + 2)$
$1$	$=$	$1$
$\Rightarrow L = D$	$=$	$ℝ \ {+ 2, - 2}$
	↓	d.h. die Gleichung ist für alle Zahlen der Definitionsmenge gültig.

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