Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

1
Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck mit $a = 5 cm$ und $α = 75 °$ die Seitenlänge von $b$ . Runde auf zwei Nachkommastellen.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Geg.: $\begin{array}{l} a = 5 cm \\ α = 75 ° \end{array}$
Ges.: $b$
Die Gegenkathete von $α$ ist gegeben und gesucht ist die Ankathete von $α$ . Verwende daher den Tangens von $α$ .
$\tan (α)$ $=$ $\frac{a}{b}$ $\cdot b : \tan (α)$
↓
Löse nach b auf.
$b$ $=$ $\frac{a}{\tan (α)}$
↓
Setze $a = 5 cm$ und $α = 75 °$ in die Gleichung ein.
$b$ $=$ $\frac{5 cm}{\tan (75^{\circ})}$
$b$ $\approx$ $1,34 cm$
Die Seite $b$ hat eine Länge von circa $1,34 cm$ .

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit $a = b$ . Beachte, dass wir allgemeine gleichschenklige Dreiecke betrachten, die nicht unbedingt rechtwinklig sind..

a=44,2cm
c=63,4cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
geg: a=b= 44,2cm c=63,4cm
ges: h, $α, β, γ$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Zunächst $x$ berechnen.
$x$ $=$ $\frac{c}{2}$
$x$ $=$ $\frac{63,4 c m}{2}$
$=$ $31,7 c m$
$h$ berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck $△ D B C$ den Satz des Pythagoras anwendet.
$h$ $=$ $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$
↓
Bekannte Werte einsetzen.
$=$ $\sqrt{{(44,2 c m)}^{2} - {(31,7 c m)}^{2}}$
↓
Zunächst quadrieren.
$=$ $\sqrt{1953,64 c m^{2} - 1004,89 c m^{2}}$
↓
Nun subtrahieren.
$=$ $\sqrt{948,75 c m^{2}}$
↓
Wurzel ziehen.
$=$ $30,8 c m$
$α$ mit Hilfe von Sinus berechnen.
$\sin (α)$ $=$ $\frac{h}{b}$
↓
Werte einsetzen.
$=$ $\frac{30,8 c m}{44,2 c m}$
↓
Mit Hilfe des Taschenrechners $α$ berechnen.
$α$ $=$ $44,2 ° = β$
↓
Es handelt sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit $α = β$
Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^{\circ}$ ergeben, $γ$ ausrechnen.
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 44,2 °$
↓
Multiplizieren und subtrahieren.
$=$ $91,6 °$
$\Rightarrow$ $h = 30,8 c m; α = β = {44,2}^{\circ}; γ = {91,6}^{\circ}$
Achtung: Das Dreieck $A B C$ ist kein rechtwinkliges Dreieck, da kein Winkel $90 °$ groß ist.
a=114,5m
$α$ =32,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
Gegeben sind $a = b = 114,5 m$ und $α = β = {32,3}^{\circ}$
Gesucht sind $c$ , $h$ und $γ$
Zur Verdeutlichung machst du am besten eine Skizze.
Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^{\circ}$ ergeben, kannst du $γ$ mit der Winkelsumme ausrechnen.
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 32,3 °$
$=$ $115,4 °$
$h$ kannst du mit Hilfe des Sinus in dem rechtwinkligen Dreieck $△ D B C$ berechnen.
$\sin (β)$ $=$ $\frac{h}{b}$
↓
Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$h$ $=$ $114,5 m \cdot \sin (32,3 °)$
↓
Multiplizieren.
$=$ $61,2 m$
Weil die Höhe $h$ die Seite $c$ in der Mitte teilt, bekommt man $2$ gleich lange Strecken $x$ .
$c$ kannst du leicht berechnen, indem du die Seite $x$ verdoppelst.
$x$ kannst du berechnen, indem du in dem rechtwinkligen Dreieck $△ D B C$ den Satz des Pythagoras anwendest.
$x$ $=$ $\sqrt{a^{2} - h^{2}}$
↓
Bekannte Werte einsetzen.
$=$ $\sqrt{{(114,5 m)}^{2} - {(61,2 m)}^{2}}$
↓
Zunächst quadrieren.
$=$ $\sqrt{13110,25 m^{2} - 3745,44 m^{2}}$
↓
Nun subtrahieren.
$=$ $\sqrt{9364,81 m^{2}}$
↓
Wurzel ziehen.
$x$ $=$ $96,8 m$
Alternative: benutze den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck $△ D B C$
$\cos (β)$ $=$ $\frac{x}{b}$
↓
Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$x$ $=$ $114,5 m \cdot \cos ({32,3}^{\circ})$
↓
Multiplizieren.
$=$ $96,8 m$
$c = 2 \cdot 96,8 m = 193,6 m$
Damit hast du die Lösung $h = 61,2 m; c = 193,6 m; γ = {115,4}^{\circ}$
Anmerkung
Wenn du den Sinussatz kennst, kannst du $c$ auch direkt berechnen:
$\frac{c}{\sin (γ)}$ $=$ $\frac{a}{\sin (α)}$
↓
Mit $\sin (γ)$ multiplizieren
$c$ $=$ $\frac{a \cdot \sin (γ)}{\sin (α)}$
↓
Werte einsetzen
$=$ $\frac{114,5 \cdot 0,53}{0,90}$
$=$ $193,6 m$
c=35,4cm
$β$ =43,9°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
geg: c=35,4cm $β = α$ =43,9°
ges: a, b, h, $γ$ , x
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben, $γ$ ausrechnen.
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 43,9 °$
$=$ $92,2 °$
x berechnen, indem man die Seite c halbiert.
$x$ $=$ $\frac{35,4 c m}{2}$
$=$ $17,7 c m$
a mit Hilfe des Cosinus berechnen.
$\cos (β)$ $=$ $\frac{x}{a}$
↓
Nach a umstellen und Werte einsetzen.
$a$ $=$ $\frac{17,7 c m}{\cos (43,9 °)}$
↓
Dividieren.
$a$ $=$ $24,6 c m$
h mit Hilfe des Tangens berechnen.
$\tan (β)$ $=$ $\frac{h}{x}$
↓
Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$h$ $=$ $17,7 c m \cdot \tan (43,9 °)$
↓
Multplzieren.
$h$ $=$ $17,0 c m$
$\Rightarrow$ $α = {43,9}^{\circ}; γ = {92,2}^{\circ}; a = b = 24,6 c m; h = 17,0 c m$
h=14,8cm
$α = β =$ 28,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
Geg.: $h = 14,8 c m$ ; $α = β = {28,3}^{\circ}$
Ges.: $β, γ, c, b, a$
Zeichne zur Verdeutlichung eine Skizze.
Da die Basiswinkel (hier: $α$ und $β$ ) in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben (d.h. $α + β + γ = 180^{\circ}$ ), kannst $γ$ mit dieser Information direkt ausrechnen.
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 28,3 °$
$=$ $123,4 °$
$x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
$\tan (β)$ $=$ $\frac{h}{x}$
↓
Nach x umstellen und Werte einsetzen.
$x$ $=$ $\frac{14,8 c m}{\tan (28,3 °)}$
↓
Dividieren.
$x$ $=$ $27,5 c m$
↓
$c$ erhälst du, indem du die Seite $x$ verdoppelst (siehe Skizze).
$c$ $=$ $2 \cdot 27,5 c m$
$=$ $55 c m$
$b$ mit Hilfe des Sinus berechnen.
$\sin (α)$ $=$ $\frac{h}{b}$
↓
Nach $b$ umstellen und Werte einsetzen.
$b$ $=$ $\frac{14,8 c m}{\sin (28,3 °)}$
↓
Dividieren.
$=$ $31,2 c m$
Da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, ist die Seitenlänge $a$ gerade gleich der Seitenlänge $b$ .
$\Rightarrow$ $γ = {123,4}^{\circ}; c = 55 c m; a = b = 31,2 c m$

a=146,4m

h=58,4m

3
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Bei tief stehender Abendsonne wirft Luise, welche $1,55 m$ groß ist, auf ebener Straße einen $12 m$ langen Schatten. Zeichne eine Skizze und berechne den Winkel, mit dem der Sonnenstrahl auf den Boden trifft.
Runde dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
Skizze zur Aufgabenstellung
Vorüberlegung und Lösungsplan
Das Dreieck $△ A K F$ hat bei $F$ einen rechten Winkel. Daher gelten in ihm die Formeln für sin, cos und tan.
Um zu wissen, welche der Formeln du verwenden sollst, stelle zunächst fest,
welche Seite die Hypotenuse im Dreieck $△ A K F$ ist, und
welche Seite die Ankathete zu $α$ ,
und welche die Gegenkathete zu $α$ ist.
Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete
Hypotenuse: Seite [AK] mit $AK = ?_{}$
Ankathete zum Winkel $α$ : Seite [FA] mit $FA = 12 m$
Gegenkathete zum Winkel $α$ : Seite [FK] mit $FK = 1,55 m$
Die Formeln für sin, cos und tan lauten:
$\sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
Da die Hypotenuse nicht gegeben ist, sollte sie möglichst in der Formel, die du verwendest, möglichst nicht vorkommen.
$\to$ Löse die Aufgabe mit dem Tangens.
Lösung der Aufgabe
$\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}$
Setze in diese Formel die Streckenlängen aus der Aufgabe ein.
$\tan α = \frac{FK}{FA}$
Für die Streckenlängen setzt du jetzt die Zahlenwerte ein und kannst den Tangens des Winkels ausrechnen.
$\tan α = \frac{1,55 m}{12 m} = \frac{31}{240} \approx 0,129$
Um daraus den Winkel $α$ zu erhalten, wendest du mit dem Taschenrechner die Umkehrfunktion $\tan^{- 1}$ an.
$α = \tan^{- 1} (\frac{31}{240}) \approx {7,4}^{\circ}$
$\Rightarrow$ Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von ${7,4}^{\circ}$ auf die Straße.
4
Ein Dreieck mit rechtem Winkel bei C, mit der Seite $b = 113 m$ hat den Winkel $α = 39^{\circ}$ . Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann alle fehlenden Seiten sowie den Winkel $β$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
1. Skizze zeichnen
2. Berechnen
$\cos (39 °)$ $=$ $\frac{113 m}{c}$ $\cdot c$
↓
Bring c auf die andere Seite
$c \cdot \cos (39 °)$ $=$ $113 m$ $: \cos (39 °)$
$c$ $=$ $\frac{113 m}{\cos (39 °)}$
$c$ $=$ $145 m$
Berechne $β$ , indem du alle gegebenen Winkel von der Gesamtsumme aller Winkel in einem Dreieck $(180^{\circ})$ abziehst.
$β + 90 ° + 39 °$ $=$ $180 °$
$β$ $=$ $180 ° - 90 ° - 39 °$
$β$ $=$ $51 °$
$\sin (39 °)$ $=$ $\frac{a}{145 m}$ $\cdot 145 m$
$a$ $=$ $\sin (39 °) \cdot 145 m$
$a$ $=$ $91 m$
5
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Tanne wirft einen $20 m$ langen Schatten. Die Sonnenstrahlen treffen dabei unter einem Winkel von $31^{\circ}$ auf die Erde. Zeichne eine Skizze und berechne die Höhe der Tanne.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
$\tan (31^{\circ})$ $=$ $\frac{h}{20 m}$ $\cdot 20 m$
$h$ $=$ $\tan (31^{\circ}) \cdot 20 m$
$h$ $=$ $12 m$
$\Rightarrow$ Die Höhe der Tanne beträgt $12 m$ .
6
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Skizziere ein Rechteck mit den Seiten a=7cm und b=18cm und berechne die Winkel
zwischen einer Diagonalen und den Seiten

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
geg: $a = 7 cm$ ; $b = 18 cm$
ges: $α, β,$
Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.
Berechne $α$ mit Hilfe des Tangens.
$\tan (α) = \frac{a}{b}$
Setz die Werte ein und berechne $α$ mit Hilfe des Taschenrechners.
$\tan (α) = \frac{7 cm}{18 cm}$
$α = {21,3}^{\circ}$
Berechne $β$ . $α$ und $β$ sind zusammen 90° also gilt für $β$ :
$β = 90^{\circ} - {21,3}^{\circ} = {68,7}^{\circ}$
$\Rightarrow$ Der Winkel $α$ beträgt 21,3°. $β$ beträgt 68,7°.

zwischen beiden Diagonalen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
geg: $α = {21,3}^{\circ}; β = {68,7}^{\circ}$
ges: $γ, δ$
Fertige am Besten zum Verständnis eine Skizze an.
$δ$ ist 2 $α$ , weil $δ$ $+$ $γ$ $=$ 180° und $γ$ $+ 2$ $α$ $=$ 180° im gleichschenklichen Dreieck gilt.
$\Rightarrow$ $δ$ + $γ$ $=$ $γ$ $+ 2$ $α$
$\Rightarrow$ $δ$ $=$ $2$ $α$
$δ = 2 \cdot {21,3}^{\circ} = {42,6}^{\circ}$
$γ$ und $δ$ bilden zusammen 180°.
$γ = 180^{\circ} - {42,6}^{\circ} = {137,4}^{\circ}$
$\Rightarrow$ Der Winkel $γ$ beträgt $137,4 °$ ; $δ$ beträgt 42,6°.
7
Die Zugbrücke einer Burg ist 8m lang und hat zwischen der Mauer und der Kette einen Winkel von $43^{\circ}$ . Wie lang muss die Kette sein, mit der man die Zugbrücke hinunter klappen kann?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
Bestimme die Kettenlänge $k$ mithilfe des Sinus.
$\sin (43 °)$ $=$ $\frac{8 m}{k}$ $\cdot k$
$\sin (43 °) \cdot k$ $=$ $8 m$ $: \sin (43 °)$
$k$ $=$ $\frac{8 m}{\sin (43 °)}$
$k$ $\approx$ $11,7 m$
Die Kette muss in etwa 11,7 m lang sein, damit man die Zugbrücke runterlassen kann.
8
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Im Kreis mit dem Radius $r = 10 cm$ gehört zur Sehne $s$ der Mittelpunktswinkel $α = 84^{\circ}$
Wie lang ist die Sehne?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Geg.: $r = 10 c m$ ; $α = 84^{\circ}$
Ges.: $x$
Zum Verständnis die Skizze zeichnen.
Skizze
Mit Hilfe des Sinus $x$ berechnen.
$\sin (\frac{α}{2})$ $=$ $\frac{x}{r}$
↓
Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$x$ $=$ $10 c m \cdot \sin (\frac{84^{\circ}}{2})$
↓
Mit Hilfe des Taschenrechners $x$ berechnen.
$x$ $=$ $6,7 c m$
↓
Da $x$ die Hälfte der Sehne $s$ ist, $x$ verdoppeln.
$s$ $=$ $2 \cdot 6,7 c m$
$s$ $=$ $13,4 c m$
$\Rightarrow$ Die Länge der Sehne beträgt $13,4 c m$ .
9
Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat man am einen Ufer die Strecke $AB = 80 m$ abgesteckt. Am anderen Ufer gibt es gegenüber von B einen Punkt C. Als Winkel zwichen AB und AC wird $α = 38^{\circ}$ gemessen. Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann die Breite des Flusses.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
1. Skizze zeichnen
2. Breite berechnen
$\tan (38^{\circ})$ $=$ $a : 80 m$ $\cdot 80 m$
$a$ $=$ $\tan (38^{\circ}) \cdot 80 m$
$a$ $=$ $62,5 m$
Antwort: Der Fluss ist $62,5 m$ breit
10
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein Drachenflieger wird von einem Motorboot gezogen. Till schätzt vom Boot aus den Anstiegswinkel der 100 m langen, straff gespannten Schleppleine auf etwa 50°.
Wie hoch ist der Flieger etwa über dem Wasser?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Geg: Hypothenuse $= 100 m$ , $α = 50^{\circ}$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Mit Hilfe des Sinus $h$ berechnen.
$\sin (50^{\circ}) = \frac{h}{100 m} | \cdot 100 m$
Nach $h$ umformen.
$h = \sin (50^{\circ}) \cdot 100 m^{}$
Multipilikation.
$h = 76,6 m$
$\Rightarrow$ Der Flieger ist $76,6 m$ über dem Wasser.
11
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Beim "Fliegen" hinter dem Motorboot an einer 100m langen Leine soll aus Sicherheitsgründen die Flughöhe von 20m nicht überschritten werden.
Wie groß darf der Anstiegswinkel der Leine sein?
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
geg: Hypothenuse $= 100 m$ , Gegenkathete $= 20 m$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Mit Hilfe des Sinus $α$ berechnen.
$\sin (α) = \frac{20 m}{100 m}$
Mit Hilfe des Taschenrechners $α$ berechnen.
$α = {11,5}^{\circ}$
$\Rightarrow$ Der Anstiegswinkel darf höchstens 11,5° sein.
12
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Um eine Geschosshöhe von 3,20m durch eine Treppe zu überbrücken, stehen für die Ausladung 4,50m zur Verfügung.
Unter welchem Steigungswinkel ist die Treppenwange zuzuschneiden?
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
Sinus, Cosinus und Tangens
geg.: $h = 3,2 m; x = 4,5 m$
ges.: $α$
Skizze zum Verständnis zeichnen.
Den Winkel $α$ mithilfe des Tangens berechnen.
$\tan (α)$ $=$ $\frac{h}{x}$
↓
Werte einsetzen
$\tan (α)$ $=$ $\tan (α) = \frac{3,2}{4,5}$
↓
$α$ mithilfe des Arkustangens $t a n^{- 1}$ berechnen.
$α$ $=$ $\tan^{- 1} (\frac{3,2}{4,5})$
$α$ $=$ ${35,4}^{\circ}$
$\Rightarrow$ Die Treppenwange ist unter einem Steigungswinkel von $α = 35,4 °$ zuzuschneiden.
13
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
In 50 m Länge soll ein Damm mit trapezförmigem Querschnitt aufgeschüttet werden. Unten soll er 18 m breit sein, oben 8 m. Der Böschungswinkel soll 50° betragen.
Berechne die Dammhöhe.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
geg: a = 18 m; b = 8 m; $α$ = 50°
ges: h
Zum Verständnis eine Skizze zeichnen.
x berechnen, indem man b von a subtrahiert und das Ergebnis halbiert.
$x = \frac{18 m - 8 m}{2} = 5 m$
h mit Hilfe des Tangens berechnen.
$\tan (α)$ $=$ $\frac{h}{x}$
↓
Nach h umformen und Werte einsetzen.
$h$ $=$ $5 m \cdot \tan (50^{\circ})$
↓
Mit Hilfe des Taschenrechners multiplizieren .
$h$ $=$ $6 m$
$\Rightarrow$ Die Dammhöhe beträgt 6 m.
14
Der Steigungswinkel von Treppen soll laut DIN-Norm für Haupttreppen $25 ° - 38 °$ , für Nebentreppen $38 ° - 45 °$ betragen.
Die Geschosshöhe beträgt $25 m$ .
Wie lang wird die Treppenwange für $25 °$ . Berechne auch die Ausladung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
Geg.: $h = 25 m$ ; $α = 25^{\circ}$
Ges.: $x$ , $w$
Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
$\tan (α) = \frac{h}{x}$
Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$x = \frac{25 m}{\tan (25^{\circ})} \approx 54 m$
$w$ mit Hilfe des Sinus berechnen.
$\sin (α) = \frac{h}{w}$
Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
$w = \frac{25 m}{\sin (25^{\circ})} \approx 59 m$
$\Rightarrow$ Die Ausladung beträgt $54 m$ , die Wange $59 m$ .

Wie lang wird die Treppenwange für $38 °$ . Berechne auch die Ausladung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
Geg.: $h = 25 m$ ; $α = 38^{\circ}$
Ges.: $x$ , $w$
Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
$\tan (α) = \frac{h}{x}$
Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$x = \frac{25 m}{\tan (38^{\circ})} \approx 32 m$
$w$ mithilfe des Sinus berechnen.
$\sin (α) = \frac{h}{w}$
Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
$w = \frac{25 m}{\sin (38^{\circ})} \approx 41 m$
$\Rightarrow$ Die Ausladung beträgt $32 m$ , die Wange $41 m$ .

Wie lang wird die Treppenwange für $45 °$ . Berechne auch die Ausladung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
Geg.: $h = 25 m$ ; $α = 45^{\circ}$
Ges.: $x$ , $w$
Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
$\tan (α) = \frac{h}{x}$
Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$x = \frac{25 m}{\tan (45^{\circ})} = 25 m$
$w$ mit Hilfe des Sinus berechnen.
$\sin (α) = \frac{h}{w}$
Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
$w = \frac{25 m}{\sin (45^{\circ})} \approx 35 m$
⇒ Die Ausladung beträgt $25 m$ , die Wange $35 m$ .

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$\tan (α)$	$=$	$\frac{a}{b}$	$\cdot b : \tan (α)$
	↓	Löse nach b auf.
$b$	$=$	$\frac{a}{\tan (α)}$
	↓	Setze $a = 5 cm$ und $α = 75 °$ in die Gleichung ein.
$b$	$=$	$\frac{5 cm}{\tan (75^{\circ})}$
$b$	$\approx$	$1,34 cm$

$h$	$=$	$\sqrt{a^{2} - x^{2}}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\sqrt{{(44,2 c m)}^{2} - {(31,7 c m)}^{2}}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\sqrt{1953,64 c m^{2} - 1004,89 c m^{2}}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\sqrt{948,75 c m^{2}}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$30,8 c m$

$\sin (α)$	$=$	$\frac{h}{b}$
	↓	Werte einsetzen.
	$=$	$\frac{30,8 c m}{44,2 c m}$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners $α$ berechnen.
$α$	$=$	$44,2 ° = β$
	↓	Es handelt sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit $α = β$

$γ$	$=$	$180 ° - 2 \cdot 44,2 °$
	↓	Multiplizieren und subtrahieren.
	$=$	$91,6 °$

$\sin (β)$	$=$	$\frac{h}{b}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$h$	$=$	$114,5 m \cdot \sin (32,3 °)$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$61,2 m$

$x$	$=$	$\sqrt{a^{2} - h^{2}}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\sqrt{{(114,5 m)}^{2} - {(61,2 m)}^{2}}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\sqrt{13110,25 m^{2} - 3745,44 m^{2}}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\sqrt{9364,81 m^{2}}$
	↓	Wurzel ziehen.
$x$	$=$	$96,8 m$

$\cos (β)$	$=$	$\frac{x}{b}$
	↓	Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$x$	$=$	$114,5 m \cdot \cos ({32,3}^{\circ})$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$96,8 m$

$\frac{c}{\sin (γ)}$	$=$	$\frac{a}{\sin (α)}$
	↓	Mit $\sin (γ)$ multiplizieren
$c$	$=$	$\frac{a \cdot \sin (γ)}{\sin (α)}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\frac{114,5 \cdot 0,53}{0,90}$
	$=$	$193,6 m$

$\cos (β)$	$=$	$\frac{x}{a}$
	↓	Nach a umstellen und Werte einsetzen.
$a$	$=$	$\frac{17,7 c m}{\cos (43,9 °)}$
	↓	Dividieren.
$a$	$=$	$24,6 c m$

$\tan (β)$	$=$	$\frac{h}{x}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$h$	$=$	$17,7 c m \cdot \tan (43,9 °)$
	↓	Multplzieren.
$h$	$=$	$17,0 c m$

$\sin (43 °)$	$=$	$\frac{8 m}{k}$	$\cdot k$
$\sin (43 °) \cdot k$	$=$	$8 m$	$: \sin (43 °)$
$k$	$=$	$\frac{8 m}{\sin (43 °)}$
$k$	$\approx$	$11,7 m$

$\tan (β)$	$=$	$\frac{h}{x}$
	↓	Nach x umstellen und Werte einsetzen.
$x$	$=$	$\frac{14,8 c m}{\tan (28,3 °)}$
	↓	Dividieren.
$x$	$=$	$27,5 c m$
	↓	$c$ erhälst du, indem du die Seite $x$ verdoppelst (siehe Skizze).
$c$	$=$	$2 \cdot 27,5 c m$
	$=$	$55 c m$

$\sin (α)$	$=$	$\frac{h}{b}$
	↓	Nach $b$ umstellen und Werte einsetzen.
$b$	$=$	$\frac{14,8 c m}{\sin (28,3 °)}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$31,2 c m$

$\sin (β)$	$=$	$\frac{h}{a}$
	↓	Werte einsetzen und mit Hilfe des Taschenrechners $α$ berechnen.
$β$	$=$	$23,5 °$

$\cos (39 °)$	$=$	$\frac{113 m}{c}$	$\cdot c$
	↓	Bring c auf die andere Seite
$c \cdot \cos (39 °)$	$=$	$113 m$	$: \cos (39 °)$
$c$	$=$	$\frac{113 m}{\cos (39 °)}$
$c$	$=$	$145 m$

$β + 90 ° + 39 °$	$=$	$180 °$
$β$	$=$	$180 ° - 90 ° - 39 °$
$β$	$=$	$51 °$

$\sin (39 °)$	$=$	$\frac{a}{145 m}$	$\cdot 145 m$
$a$	$=$	$\sin (39 °) \cdot 145 m$
$a$	$=$	$91 m$

$\tan (31^{\circ})$	$=$	$\frac{h}{20 m}$	$\cdot 20 m$
$h$	$=$	$\tan (31^{\circ}) \cdot 20 m$
$h$	$=$	$12 m$

$\sin (\frac{α}{2})$	$=$	$\frac{x}{r}$
	↓	Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$x$	$=$	$10 c m \cdot \sin (\frac{84^{\circ}}{2})$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners $x$ berechnen.
$x$	$=$	$6,7 c m$
	↓	Da $x$ die Hälfte der Sehne $s$ ist, $x$ verdoppeln.
$s$	$=$	$2 \cdot 6,7 c m$
$s$	$=$	$13,4 c m$

$\tan (38^{\circ})$	$=$	$a : 80 m$	$\cdot 80 m$
$a$	$=$	$\tan (38^{\circ}) \cdot 80 m$
$a$	$=$	$62,5 m$

$\tan (α)$	$=$	$\frac{h}{x}$
	↓	Nach h umformen und Werte einsetzen.
$h$	$=$	$5 m \cdot \tan (50^{\circ})$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners multiplizieren .
$h$	$=$	$6 m$

Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Skizze zur Aufgabenstellung

Vorüberlegung und Lösungsplan

Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete

Lösung der Aufgabe

1. Skizze zeichnen

2. Berechnen

Skizze

1. Skizze zeichnen

2. Breite berechnen

Sinus, Cosinus und Tangens