Aufgaben zur Zinsrechnung

1
Ein Drittel eines Kapitals wird zu 5% angelegt. Ein weiteres Neuntel zu 4% und der Rest zu 4.5%. Der gesamte Zinsertrag beläuft sich auf 2282,50 Euro. Wie groß ist das Anfangskapital?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Anmerkung: Diese Lösungsskizze rechnet ohne Einheiten.
Aufteilung des Kapitals
Berechnung des "Rests", indem man das erste Drittel und das Neuntel von 1 (gesamter Zinsertrag)
$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{9} =$
$\frac{1}{3}$ mit 3 erweitern und 1 als $\frac{9}{9}$ schreiben
$= 1 - \frac{3}{9} - \frac{1}{9} =$
Subtraktion
$= \frac{5}{9}$
$x = K a p i t a l$
Prozentsätze als Brüche schreiben
$\frac{1}{3} \cdot x \cdot \frac{5}{100} + \frac{1}{9} \cdot x \cdot \frac{4}{100} + \frac{5}{9} \cdot x \cdot \frac{4,5}{100} = 2282,5$
x ausklammern
$x (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{100} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{100} + \frac{5}{9} \cdot \frac{4,5}{100}) = 2282,5$
Multiplikation, Dezimalbruch umwandeln, gemeinsamer Nenner
$x (\frac{150}{9000} + \frac{40}{9000} + \frac{225}{9000}) = 2282,5$
Klammer ausrechnen
$\frac{415}{9000} * x = 2282,5$
Bruch auflösen
$x = \frac{2282,5 * 9000}{415} = 49500,00 €$
2
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zum Bau eines Einfamilienhauses benötigt Familie Koch eine Hypothek von 150000 €. Die Zinsen für die ersten 5 Jahre sind auf 6% pro Jahr festgelegt. Außerdem muss Familie Koch 1% Tilgung pro Jahr zahlen.
Wie hoch sind die monatlichen Kosten der Familie Koch, wenn davon ausgegangen wird, dass die jährlichen Kosten gleichmäßig auf zwölf Monate verteilt werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Gegeben
Hypothek $K = 150000 €$
Zinssatz $p_{Z} = 6 %$
Tilgung $p_{T} = 1 %$
Gesucht: Kosten für Familie Koch pro Montag.
Die Zinsen fallen jedes Jahr für das Geld an, das Familie Koch noch zurückzahlen muss. Die Tilgung ist der Anteil, den Familie Koch jedes Jahr von der Hypothek abbezahlen muss. Die Schulden werden also jedes Jahr um den Teil der Tilgung kleiner.
Berechne deswegen nacheinander die Zinsen und die Tilgung für die Jahre
1. Jahr
Zinsen: $K \cdot p_{Z} = 150000 € \cdot 6 % = 9000 €$
Tilgung: $K \cdot 1 % = 1500$
Familie Koch zahlt also 1500 Euro zurück und 9000 Euro Zinsen, also zusammen $10500 € 1 Jahr = \frac{10500 €}{12 Monate} = 875 \frac{€}{Monat}$ Der neue Kredit für das Jahr 2 reduziert sich um die Tilgung und beträgt nun $K_{2} = 150000 € - 1500 € = 148500 €$ .
2. Jahr
Zinsen: $K_{2} \cdot p_{Z} = 148500 € \cdot 6 % = 8910 €$
Tilgung: $K_{2} \cdot 1 % = 1485$
Familie Koch zahlt also 1485 Euro zurück und 8910 Euro Zinsen, also zusammen $10395 € 1 Jahr = \frac{10395 €}{12 Monate} = 866,25 \frac{€}{Monat}$ Der neue Kredit für das Jahr 3 reduziert sich um die Tilgung und beträgt nun $K_{3} = 148500 € - 1485 € = 147015 €$ .
3. Jahr
Zinsen: $K_{3} \cdot p_{Z} = 147015 € \cdot 6 % = 8820 €$
Tilgung: $K_{3} \cdot 1 % = 1470,20$
Familie Koch zahlt also 1470,20 Euro zurück und 8820 Euro Zinsen, also zusammen $10500 € 1 Jahr = \frac{10500 €}{12 Monate} = 857,60 \frac{€}{Monat}$ Der neue Kredit für das Jahr 2 reduziert sich um die Tilgung und beträgt nun $K_{4} = 147015 € - 1470,20 € = 145545 €$ .
und so weiter…
genauso berechnest du auch noch das 4. und 5. Jahr. Dabei ergibt sich:Im 4. Jahr zahlt Familie Koch $849 \frac{€}{Monat}$ und im 5. Jahr $841 \frac{€}{Monat}$ . Danach hat Familie Koch noch $142649 €$ Restkredit.
Antwort
Familie Koch hat in den ersten 5 Jahren monatlich folgende Gebühren
Jahr
zu zahlender Betrag
1
875 €
2
866,25 €
3
857,60 €
4
849 €
5
841 €
3
Herr Schmidt kauft ein Auto zum Preis von 13750 € und lässt diese Summe vom Autohändler finanzieren. Nach einem Jahr hat Herr Schmidt 15331,25 € gezahlt und den Kredit damit vollständig getilgt.
Wie hoch war der Zinssatz?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Gegeben:
Kapital K = 13750 €
Zinsen Z = $15531,25 € - 13750 € = 1581,25 €$
Gesucht:
Zinssatz: $p = \frac{Z}{K} \cdot 100 %$
$p = \frac{1581,25 €}{13750 €} \cdot 100$
$p = 11,5 %$
Der Zinssatz betrug 11,5%.
Zu aller erst lesen wir uns die Aufgabenstellung gründlich durch und markieren uns wichtige Zahlen.
Herr Schmidt kauft ein Auto zum Preis von 13750 € und lässt diese Summe vom Autohändler finanzieren. Nach einem Jahr hat Herr Schmidt 15331,25 € gezahlt und den Kredit damit vollständig getilgt.
Wie hoch war der Zinssatz?
Um den Zinssatz herauszufinden setzen wir die angegebenen Zahlen in die Formel zur Berechnung des Zinssatzes ein
4
Für ein Darlehen von 33000 € mussten bei einem jährlichen Zinssatz von 8% insgesamt 9240 € an Zinsen gezahlt werden.
Nach welcher Zeit wurde das Darlehen abgelöst?
Monate

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Kapital K = 33000 €
Zinssatz p = 8%
Zinsen Z = 9240 €
Gesucht ist die Laufzeit: $Z = K \cdot \frac{p}{100 % \cdot 12 Monate} \cdot m$
$| \cdot \frac{100 % \cdot 12 Monate}{K \cdot p}$
$\Rightarrow m = \frac{Z}{K \cdot p} \cdot 100 % \cdot 12 Monate$
$m = \frac{9240 €}{33000 \cdot 8 %} \cdot 100 % \cdot 12 Monate =$
$= 42 Monate \overset{\land}{=} 3,5 Jahre$
$\Rightarrow$ Das Darlehn wurde nach 42 Monaten (3,5 Jahren) abgelöst.
5
Ein Sparer erhält für sein Kapital von 42500 € bei einem jährlichen Zinssatz von 6,5% eine Zinsauszahlung in Höhe von 552,50 €.
Wie lange war das Kapital angelegt?
Tage

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Kapital K = 42500 €
Zinssatz p = 6,5%
Zinsen Z = 552,50 €
Gesucht ist die Zeit, für die das Geld angelegt wurde:
$Z = K \cdot \frac{p}{100 % \cdot 360 Tage} \cdot t \Rightarrow t = \frac{Z}{K \cdot p} \cdot 100 % \cdot 360 Tage$
$t = \frac{553,50 €}{42500 € \cdot 6,5 %} \cdot 100 % \cdot 360 Tage =$
$= 72 Tage = 2 Monate und 12 Tage$
Das Kapital war 2 Monate und 12 Tage angelegt.
6
Das Haus der Familie Müller ist mit einer Hypothek belastet. Familie Müller zahlt bei einem jährlichen Zinssatz von 8,5 % monatlich 637,50 € Zinsen.
Wie hoch ist die Hypothek?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Zinssatz p = $8,5$ %
monatliche Zahlung $637,50 €$
jährliche Zahlung Z = $12 \cdot 637,50 € = 7650 €$
Gesucht ist das Kapital (Hypothek): $K = \frac{Z}{p} \cdot 100 %$
$K = \frac{7650 €}{8,5 %} \cdot 100 % = 90000 €$
Die Hypothek beträgt 90000 €.
Notieren der Angaben wie in der Lösung
Aufstellen der Formel
Angaben in die Formel einsetzen
7
Ein Kapital von 22 500 € wird zu einem jährlichen Zinssatz von 7,5% angelegt.
Wie hoch ist der Zins nach 9 Monaten und 10 Tagen?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Berechnung der Tageszinsen
Gegeben: Kapital K = 22 500 € Zinssatz p = 7,5% Laufzeit 9 Monate und 10 Tage = $9 \cdot 30 Tage + 10 Tage = 280 Tage$
Gesucht sind die in dieser Zeit anfallenden Zinsen: $Z = K \cdot p \cdot \frac{t}{360}$
Setze das Kapital, den Zinssatz und die Tage in die Formel ein und berechne.
$Z = 22 500 € \cdot 7,5 % \cdot \frac{280}{360}$
$Z = 22 500 € \cdot 0,075 \cdot \frac{280}{360}$
$Z = 1312,50 €$
Nach 9 Monaten und 10 Tagen belaufen sich die anfallenden Zinsen auf 1312,50 €.
Alternative Berechnung der Tageszinen mit Dreisatz
Gegeben: Kapital K = 22 500 € Zinssatz p = 7,5% Laufzeit 9 Monate und 10 Tage = $9 \cdot 30 Tage + 10 Tage = 280 Tage$
Gesucht sind die in dieser Zeit anfallenden Zinsen.
Berechne zunächst die Zinsen, die in einem ganzen Jahr anfallen würden.
Berechne nun den Anteil an Zinsen, die in 280 Tagen anfallen.
Nach 9 Monaten und 10 Tagen belaufen sich die anfallenden Zinsen auf 1312,50 €.
8
36000 Euro werden am 1. Februar auf ein Konto zu 5,5% Jahreszins einbezahlt. Im Verlaufe des Jahres wurde der Zinssatz auf 5% gesenkt. Am Ende des Jahres konnten 1762,5 Euro an Zinsen kassiert werden. Nach wie vielen Monaten fand die Zinssenkung statt?
Monate

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
x = Anzahl Monate zu 5,5%
11-x = Anzahl Monate zu 5%
$1762,5 = 36000 \cdot 0,055 \cdot \frac{x}{12} + 36000 \cdot 0,05 \cdot \frac{11 - x}{12} = 165 \cdot x + 150 \cdot (11 - x) = 15 \cdot x + 1650$
$\Rightarrow 15 \cdot x = 112,5$
$\Rightarrow x = \frac{112,5}{15} = 7,5$
Also fand die Zinssenkung nach 7,5 Monaten statt.
9
Ein Kleinwagen kostet 15600 Euro, wenn er bar bezahlt wird. Das Auto kann auch in zwei Raten zu 8000 Euro bezahlt werden, wobei die erste Rate sofort und die zweite nach einem halben Jahr fällig ist. Wie hoch ist der Jahreszinssatz, den der Verkäufer bei diesem Abzahlungsgeschäft verlangt?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Der Verkäufer leiht dem Käufer $15600 : 2 = 7800$ Euro für ein halbes Jahr und verlangt dafür eine "Gebühr" von 400 Euro.
Somit beträgt der Jahreszinssatz $2 \cdot \frac{400}{7800} \cdot 100 % = \frac{4}{39} \cdot 100 % \approx 10,256 %$ .
10
Welche Summe muss man heute zu 6% Jahreszins anlegen, um in einem halben Jahr an Kapital und Zinsen 10 000 Euro zu besitzen? Runde auf ganze Euro.
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Berechnung des Startkapitals
Gegeben: $p = 6 %; K^{+} = 10 000; t = \frac{1}{2} Jahr$
Gesucht: Kapital nach einem halben Jahr
Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Rechne zunächst die Zeit $t$ in Tage um.
$t = \frac{1}{2} Jahr = 180 Tage$
Stelle die Formel für den Zinssatz nach einem halben Jahr auf und vereinfache so weit wie möglich.
$Z = K \cdot p \cdot \frac{t}{360}$
$= K \cdot p \cdot \frac{180}{360}$
$= K \cdot p \cdot \frac{1}{2}$
Der vermehrte Grundwert /das vermehrte Kapital ist die Summe aus Startkapital und Zinsen. Stelle die Formel für den vermehrten Grundwert auf.
$K^{+} = K + Z$
$K^{+} = K + K \cdot p \cdot \frac{1}{2}$
$K^{+} = K \cdot (1 + p \cdot \frac{1}{2})$
Setze den vermehren Grudnwert $K^{+}$ und den Zinssatz $p$ ein. Berechne so weit wie möglich.
$10 000 = K \cdot (1 + 6 % \cdot \frac{1}{2})$
$10 000 = K \cdot (1 + 0,03)$
$10 000 = K \cdot 1,03 | : 1,03$
$K = \frac{10 000}{1,03}$
$K \approx 9709$
$\Rightarrow$ Es müssen ca. 9709 Euro angelegt werden.
Alternative Berechnung des Startkapitals mit Dreisatz
Gegeben: $p = 6 %; K^{+} = 10 000; t = \frac{1}{2} Jahr$
Gesucht: Kapital nach einem halben Jahr
In einem ganzen Jahr fallen 6% Zinsen an. In einem halben Jahr sind es entsprechend halb so viele. Berechne, wie viel Prozent des Startkapitals nach einem halben Jahr mehr vorhanden sind.
Die 10 000 € sind das Kapital+Zinsen.
Sie entsprechen somit 100%+3%. Berechne das Startkapital.
$\Rightarrow$ Es müssen ca. 9709 Euro angelegt werden.
11
Zwei Banken liefern sich einen Wettbewerb um die Gunst der Kunden.
Bank A sagt: "Bei uns bekommen Sie 8% Zins auf ihre Spareinlagen."
Bank B sagt: "Bei uns bekommen Sie zweimal im Jahr, nämlich einmal Ende
Juni und einmal Ende Dezember, 4% Zins auf Ihrem Konto gutgeschrieben."
Begründe rechnerisch, bei welcher Bank man als Kunde besser fährt.
Bank A ist das bessere Angebot.
Bank B ist das bessere Angebot.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Gegeben: Bank A: 8% Zinsen pro Jahr Bank B: 4% Zinsen pro halbes Jahr
Gefragt:
Bei welcher Bank wäre am Ende des Jahres mehr Geld auf dem Konto?
Bei Bank A gib es pro Jahr 8% Zinsen. Nach einem Jahr sind also 108% des Startkapitals auf dem Konto.
Bei Bank B hingegen gibt es 4% Zinsen im ersten halben Jahr. Nach einem halben Jahr sind 104% des Startkapitals auf dem Konto. Auf diese 104% gibt es im zweiten halben Jahr erneut 4%. Nach einem weiteren halben Jahr sind 104% des Zwischenkapitals auf dem Konto.
Nach einem Jahr steigt das Kapital somit um: $1,04 \cdot 1,04 = 1,0816$
Am Ende des Jahres sind also 108,16% des Startkapitals auf dem Konto.
$\Rightarrow$ Bei Bank B kommen im ersten Jahr 8,16% des Startkapitals dazu. Bei Bank A nur 8%.
$\Rightarrow$ Bank B ist also besser als Bank A.
Alternative Begründung anhand eines Beispiels
Gehe von einem Kapital von 1 000 Euro aus.
Gegeben: Bank A: 8% Zinsen pro Jahr; Bank B: 4% Zinsen pro halbes Jahr
Gesucht: Kapital nach einem Jahr
Bank A:
Berechne die Zinsen bei Bank A nach einem Jahr mit der Formel.
$Z = p \cdot K$ $= 8 % \cdot 1 000 €$ $= 0,8 \cdot 1 000 €$ $= 80 €$
Der Zinsbetrag wird zur Anlage addiert.
$K^{+} = 1000 € + 80 € = 1080 €$
Also hast du nach einem Jahr 1080€ auf dem Konto.
Bank B:
Berechne das neue Kapital bei Bank B nach einem halben Jahr mit der Formel.
$Z = p \cdot K$ $= 4 % \cdot 1 000 €$ $= 0,4 \cdot 1 000 €$ $= 40 €$
Der Zinsbetrag wird zur Anlage addiert.
$K^{+} = (1 000 € + 40 €)$ $= 1 040 €$
Berechne die Zinsauszahlung am Ende des zweiten halben Jahres. Beachte, dass sich die 4% Zinsen nun auf den vermehrten Grundwert $K^{+}$ beziehen.
$Z = p \cdot K^{+}$ $= 4 % \cdot 1 040 €$ $= 0,4 \cdot 1 040 €$ $= 41,60 €$
Berechne die Summe an Zinsen bei Bank B.
$40 € + 41,60 € = 81,60 €$
Also hast du nach einem Jahr
1000€ + 81,60€ =1081,60€ auf dem Konto.
Vergleiche jeweils die Zinsbeträge, die du nach einem Jahr bekommen hast.
Ergebnis
Während du bei Bank A lediglich 80 € erhältst, sind es bei Bank 81,6 €. Also fährst du als Kunde bei Bank B besser.
Alternative Begründung anhand eines Beispiels mit Dreisatz
Gehe von einem Kapital von 1 000 Euro aus.
Gegeben: Bank A: 8% Zinsen pro Jahr Bank B: 4% Zinsen pro halbes Jahr
Gesucht: Kapital nach einem Jahr
Bank A:
Berechne die Zinsen bei Bank A nach einem Jahr mit dem Dreisatz.
Also hast du nach einem Jahr
1000€ + 80€ = 1080€ auf dem Konto.
Der Zinsbetrag wird zur Anlage addiert.
Bank B:
Berechne das neue Kapital bei Bank B nach einem halben Jahr.
Der Zinsbetrag wird zur Anlage addiert.
$K^{+} = (1 000 € + 40 €)$ $K^{+} = 1 040 €$
Berechne die Zinsauszahlung am Ende des zweiten halben Jahres. Beachte, dass sich die 4% Zinsen nun auf den vermehrten Grundwert $K^{+}$ beziehen.
Berechne die Summe an Zinsen bei Bank B.
$40 € + 41,60 € = 81,60 €$
Also hast du nach einem Jahr
1000€ + 81,60€ = 1081,60€ auf dem Konto.
Vergleiche jeweils die Zinsbeträge, die du nach einem Jahr bekommen hast.
Ergebnis
Während du bei Bank A lediglich 80 € erhältst, sind es bei Bank 81,6 €. Also fährst du als Kunde bei Bank B besser.
12
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Herr Steger hat ein Kapital auf 5 Jahre zu 6% festgelegt (ohne Zinseszins!).
Wie hoch war das Kapital, wenn Herrn Steger nach 5 Jahren 45500 € ausgezahlt wurden?
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Berechnung des Kapitals
Gegeben: Laufzeit: 5 Jahre; Zinssatz $p = 6 %$ pro Jahr; Endkapital $K^{+} = 45500 €$
Gesucht: Startkapital K
Da Herr Steger keine Zinseszinsen bekommt, erhält er in jedem Jahr den gleichen Zinsbetrag. Berechne wie viel Prozent Zinsen Herr Steger in 5 Jahren bekommt.
Zinsen in 5 Jahren: $5 \cdot 6 % = 30 %$ (ohne Zinseszins).
Zinsbetrag in 5 Jahren: $0,3 \cdot K$
Das sind 30% vom Startkapital.
Berechne das Startkapital.
Nach 5 Jahren wird ausgezahlt:
Kapital (vor der Anlage): $K$
Der Zinsbetrag wird zur Anlage addiert.
$K + 0,3 \cdot K = 45500 €$
$1 \cdot K + 0,3 \cdot K = 45500 €$
Wende das Distributivgesetz an.
$1,3 \cdot K = 45500 €$
Teile durch 1,3
$K = \frac{45500 €}{1,3} = 35000 €$
Vor 5 Jahren betrug das angelegte Kapital 35000 €.
Alternative Lösung mit dem Dreisatz
Gegeben: Laufzeit: 5 Jahre; Zinssatz $p = 6 %$ pro Jahr; Endkapital $K^{+} = 45500 €$
Gesucht: Startkapital K
Da Herr Stegers Zinsen nicht mit verzinst werden, erzält er in jedem Jahr gleich viele Zinsen. Berechne wie viel Prozent Zinsen Herr Steger in 5 Jahren bekommt.
in 5 Jahren: $5 \cdot 6 % = 30 %$ (ohne Zinseszins).
Nach 5 Jahren hat Herr Steger somit 130% seines Startkapitals.Berechne das Startkapital
Vor 5 Jahren betrug das angelegte Kapital 35000 €.
13
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Was ist günstiger: Verzinsung eines Bank-Guthabens zwei Jahre lang mit je 3% (mit Zinsenzins d.h. nach einem Jahr wird der Zins zum Guthaben dazugezählt und im zweiten Jahr mitverzinst), oder 4% im ersten Jahr und 2% im zweiten Jahr (ebenfalls mit Zinseszins)?
Das erste Angebot ist besser.
Das zweite Angebot ist besser.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Hier wird die Aufgabe gelöst, indem mit einem unbekannten Kapital K gerechnet wird. Du kannst aber auch einen Betrag (z.B. 100 €) als Kapital wählen und damit die Aufgabe lösen.
Erste Variante (2 Jahre mit 3% Zinsen)
Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.
Gegeben: $p_{1} = 3 %; p_{2} = 3 %$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr:
$K^{+} = K \cdot (1 + p_{1})$
Setze den Zinssatz ein und berechne:
$K_{3 %}^{+} = K \cdot (1 + 0,03)$ $K_{3 %}^{+} = K \cdot 1,03$
Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{3 %}^{+}$ mit dem du rechnest.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.
$K_{3 % \cdot 3 %}^{+} = K_{3 %}^{+} \cdot (1 + p_{2})$
Setzte den neuen vermehrten Grundwert $K_{3 %}^{+}$ ein.
$K_{3 % \cdot 3 %}^{+} = K \cdot 1,03 \cdot (1 + p_{2})$
Setze den Zinssatz ein und berechne.
$K_{3 % \cdot 3 %}^{+} = K \cdot 1,03 \cdot (1 + 0,03)$ $K_{3 % \cdot 3 %}^{+} = K \cdot 1,03 \cdot 1,03$ $K_{3 % \cdot 3 %}^{+} = K \cdot 1,0609$
Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.
Alternative Berechnung mit Dreisatz
Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.
Gegeben: $p_{1} = 3 %; p_{2} = 3 %$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.
Berechne nun mit dem Dreisatz den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.
Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{3 %}^{+}$ mit dem du rechnest.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.
$K_{3 % \cdot 3 %}^{+} = K \cdot 1,03 \cdot 1,03$
$K_{3 % \cdot 3 %}^{+} = K \cdot 1,0609$
Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.
Zweite Variante (erstes Jahr 4%, zweites Jahr 2%)
Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert /vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.
Gegeben: $p_{1} = 4 %; p_{2} = 2 %$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.
$K^{+} = K \cdot (1 + p_{1})$
Setze den Zinssatz ein und berechne.
$K_{4 %}^{+} = K \cdot (1 + 0,04)$ $K_{4 %}^{+} = K \cdot 1,04$
Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{4 %}^{+}$ mit dem du rechnest.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.
$K_{4 % \cdot 2 %}^{+} = K_{4 %}^{+} \cdot (1 + p_{2})$
Setzte den neuen vermehrten Grundwert $K_{4 %}^{+}$ ein.
$K_{4 % \cdot 2 %}^{+} = K \cdot 1,04 \cdot (1 + p_{2})$
Setze den Zinssatz ein und brechne.
$K_{4 % \cdot 2 %}^{+} = K \cdot 1,04 \cdot (1 + 0,02)$ $K_{4 % \cdot 2 %}^{+} = K \cdot 1,04 \cdot 1,02$ $K_{4 % \cdot 2 %}^{+} = K \cdot 1,0608$
Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.
$\Rightarrow$ Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.
Alternative Berechnung mit Dreisatz
Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.
Gegeben: $p_{1} = 4 %; p_{2} = 2 %$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.
Berechne nun mit dem Dreisatz den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.
Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{4 %}^{+}$ mit dem du rechnest.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.
$K_{4 % \cdot 2 %}^{+} = K \cdot 1,04 \cdot 1,02$
$K_{4 % \cdot 2 %}^{+} = K \cdot 1,0608$
Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.
$\Rightarrow$ Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.

Jahr	zu zahlender Betrag
1	875 €
2	866,25 €
3	857,60 €
4	849 €
5	841 €

Der schwedische Erfinder Alfred Nobel stiftete in seinem Testament ein großes Vermögen, von dessen Zinsen jährlich die Nobelpreise der Physik, Chemie, Medizin und Literatur sowie der Friedensnobelpreis finanziert werden. Das Vermögen der Nobelstiftung belief sich im Jahr 2011 auf ca. 3 Milliarden schwedische Kronen (SEK). Der Jahreszins beträgt ca. 4%. Im Jahr 2011 werden 50 Millionen schwedische Kronen an Preisgeldern ausgezahlt. Der Rest der Zinsen wird für Organisatorisches und die Feierlichkeiten zur Nobelpreisverleihung verwendet. Wieviel Geld ist das?

15
Stelle dir vor, es hätte jemand für dich vor 2000 Jahren einen Euro zu einem Jahreszinssatz von 2% angelegt. Wie viel Geld hättest du dann heute?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung
Stelle zunächst fest, was gegeben und was gesucht ist.
Gegeben: $Startkapital : K = 1 €$ $Jahreszinssatz : p = 2 %$ $Laufzeit : 2000 Jahre$
Gesucht: Heutiges Kapital
Überlege dir zunächst, wie hoch das Kapital nach dem ersten Jahre ist. Nach einem Jahr hast du 102% von deinem Startkapital.
$Z = p \cdot K$ $Z = 2 % \cdot 1 € = 0,02 \cdot 1 € = 0,02 €$
Im darauf folgenden Jahr erhälst du wieder 102% auf dieses neue Kapital. Das passiert insgesamt 2000 mal.
$1 € \overset{\overset{}{\cdot 1,02}}{\to} 1,02 € \overset{\overset{}{\cdot 1,02}}{\to}$ …
Stelle mit diesem Wissen eine Formel für das Kapital nach 2000 Jahren auf.
$1 € \cdot \underset{2000 m a l}{\underset{⏟}{1,02 \cdot 1,02 \cdot \dots \cdot 1,02}}$
$= 1 € \cdot {1,02}^{2000}$
Berechne das Kapital nach 2000 Jahren (Ein Taschenrechner ist an dieser Stelle empfehlenswert).
$1 € \cdot {1,02}^{2000} \approx 1,586 \cdot 10^{17} € = 158,6 \cdot 10^{15} €$
$10^{3}$ Tausend $10^{6}$ Millionen $10^{9}$ Milliarden $10^{12}$ Billionen $10^{15}$ Billiarden
Antwort: Aus dem einen Euro würden über die 2000 Jahre ungefähr 158,6 Billiarden Euro werden.
16
Karl muss sich ein neues Sofa kaufen. Da er die 750 € für das Sofa noch nicht hat, will er es sich mithilfe einer Finanzierung kaufen. In der Werbung hört er von zwei Angeboten.
Beim ersten Angebot ist es eine 0% Finanzierung. Karl müsste dem Möbelhaus in einem Jahr 750 € zahlen. Beim zweiten Angebot will das Möbelhaus in einem Jahr 700 € und verlangt zusätzlich 5% Zinsen.
Welches der Angebote ist für Karl günstiger?
Das erste Angebot ist für Karl günstiger.
Das zweite Angebot ist für Karl günstiger.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung des vermehrten Kapitals
Beim ersten Angebot muss Karl 750 € zahlen.
Berechnung des vermehrten Kapitals des zweiten Angebots
Beim zweiten Angebot handelt es sich um eine Geldvermehrung, also um ein vermehrtes Kapital.
Gegeben: $K = 700 €; p = 5 %$
Gesucht: Vermehrtes Kapital $K^{+}$
Berechne die Zinsen nach einem Jahr mit der Formel für den Zinssatz.
$Z = p \cdot K$
Setze das Kapital und den Zinssatz ein und berechne.
$Z = 5 % \cdot 700 € = 0,05 \cdot 700 € = 35 €$
Berechne den zu zahlenden Betrag nach einem Jahr.
$K^{+} = 700 € + 35 € = 735 €$
Antwort: Beim ersten Angebot muss Karl 750 € und beim zweiten Angebot nur 735 € zahlen. Das zweite Angebot ist für Karl günstiger.
Alternative Berechnung über den Dreisatz
Beim zweiten Angebot handelt es sich um eine Geldvermehrung, also um ein vermehrtes Kapital.
Gegeben: $K = 700 €; p = 5 %$
Gesucht: Vermehrtes Kapital $K^{+}$
Berechne die Zinsen nach einem Jahr mit dem Dreisatz
Berechne den zu zahlenden Betrag nach einem Jahr.
$K^{+} = 700 € + 35 € = 735 €$
Antwort: Beim ersten Angebot muss Karl 750 € und beim zweiten Angebot nur 735 € zahlen. Das zweite Angebot ist für Karl günstiger.
17
Jannick bekommt auf sein Konto 1% Zinsen. Da die Bank viele Gewinne einfahren konnte, erhöht sie seinen Zinssatz um 0,2 Prozentpunkte.
Wie hoch ist Jannicks neuer Zinssatz?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Prozentpunkten
Gegeben: Alter Zinssatz: 1% Erhöhung um 0,2 Prozentpunkte
Gesucht: Neuer Zinssatz
Addiere die Prozentpunkte zum Zinssatz.
$1 % + 0,2 % = 1,2 %$
Lösung: Sein neuer Zinssatz berägt 1,2%

Wie hoch wäre Jannicks Zinssatz, wenn er um 0,2 Prozent erhöht worden wäre?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung des Prozentwertes
Gegeben: Alter Zinssatz: 1% Erhöhung um 0,2 Prozent
Gesucht: Neuer Zinssatz
In der Aufgabe handelt es sich um eine Zinserhöhung, also um einen vermehrten Grundwert. Stelle die Formel für den vermehrten Grudnwert auf.
$G^{+} = G \cdot (1 + p)$ $G^{+} = 1 % \cdot (1 + 0,2 %)$ $G^{+} = 1 % \cdot (1 + 0,002)$ $G^{+} = 1 % \cdot 1,002$ $G^{+} = 1,002 %$
Setzte den Grundwert und den Prozentsatz ein und berechne.
Lösung: Der neue Zinssatz würde 1,002% betragen.
Alternative zweischrittige Lösung mittels Formel
Gegeben: Alter Zinssatz: 1% Erhöhung um 0,2 Prozent
Gesucht: Neuer Zinssatz
Berechne zunächst den Prozentwert. Verwende die Formel $W = p \cdot G$
$W = p \cdot G$
Setzte den Grundwert und den Prozentsatz ein und berechne.
$W = 0,2 % \cdot 1 %$ $W = 0,002 \cdot 1 %$ $W = 0,002 %$
Addiere den Prozentwert zum Grundwert um den neuen Zinssatz zu erhalten.
$0,002 % + 1 % = 1,002 %$
Lösung: Der neue Zinssatz würde 1,002% betragen.
Alternative zweischrittige Lösung mittels Dreisatz
Um mit dem Dreisatz zu rechnen benötigst du das Grundwissen zum Dreisatz.
Gegeben: Alter Zinssatz: 1% Erhöhung um 0,2 Prozent
Gesucht: Neuer Zinssatz
Berechne den Prozentwert.
Addiere den Prozentwert zum Grundwert um den neuen Zinssatz zu erhalten.
$0,002 % + 1 % = 1,002 %$
Lösung: Der neue Zinssatz würde 1,002% betragen.
Alternative einschrittige Lösung mit Dreisatz
Um mit dem Dreisatz zu rechnen benötigst du das Grundwissen zum Dreisatz.
Gegeben: Alter Zinssatz: 1% Erhöhung um 0,2 Prozent
Gesucht: Neuer Zinssatz
In der Aufgabe handelt es sich um eine Zinserhöhung, also um einen vermehrten Grundwert. Der vermehrte Grundwert entspricht 100,2%. Berechne den neuen Zinssatz.
Lösung: Der neue Zinssatz würde 1,002% betragen.
18
Überlege dir, wann es keinen Unterschied macht, ob man von Veränderung in Prozent oder Prozentpunkten spricht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent
Man spricht von einer Veränderung von x Prozent, wenn sich der Grundwert um einen Prozentsatz x verändert.
Dabei entspricht dann der Grundwert 100% und der veränderte Grundwert (100+x)% bei einer Vermehrung bzw (100-x)%, wenn es sich um eine Verminderung handelt.
Zum Beispiel könnte der Grundwert 50 sein und um 25% erhöht werden. Dh er wird um ein Viertel auf 62,5 erhöht.
Bei einer Veränderung in Prozentpunkten ist ein Anfangswert gegeben, der einer beliebigen Prozentzahl entsprechen kann (nicht unbedingt 100) und du erhöhst oder verminderst diesen Wert um diese Zahl.
Im Beispiel von oben könnte nun der Anfangswert wieder 50 sein und diesmal nicht 100% sondern 25% entsprechen. Eine Vermehrung um 25 Prozentpunkte bedeutet dann eine Vermehrung auf 50% und somit eine Verdopplung. Der Anfangswert würde dann auf 100 erhöht.
Der eigentliche Unterschied zwischen beiden Varianten ist also, dass bei der Veränderung in Prozentpunkten der Ausgangswert nicht unbedingt 100% entsprechen muss. Tut er das aber, so sind beide Bezeichnungen gleichbedeutend.
Also sind Prozentpunkte und Prozent genau dann das gleiche, wenn der Ausgangswert 100% entspricht.
19
Der kleine Jakob bekam zur Geburt im Jahr 2001 von seiner Oma ein Sparbuch über $150 D M$ geschenkt. Bei der Euro-Umstellung füllte die Oma den entstehenden „krummen“ Geldbetrag durch eine Einzahlung auf $100 €$ auf. Ansonsten wurde kein Geld mehr eingezahlt. Das Guthaben auf Jakobs Konto hat sich aber trotzdem etwas vermehrt, weil er am Ende jedes Jahres von der Bank Zinsen bekommt.
Wie viel Prozent Zinsen hat Jakob für sein Guthaben im Jahr 2002 bekommen? (Man sagt hierzu auch: „Welchen Zinssatz hat er im Jahr bekommen?“)
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung des Zinssatzs
Gegeben: Kontoguthaben am Anfang:
$100 € \hat{=} 100 %$
Gesucht: Zinssatz
Kontoguthaben nach erstem Zins $= 102 €$
Berechne die Zinsen im Jahr 2002
Zinsen: $102 € - 100 € = 2 €$
Berechne den Zinssatz
$\Rightarrow$ Er hat $2 %$ Zinsen bekommen.

War der Zinssatz im Jahr 2004 höher oder niedriger als im Jahr 2002? Begründe deine Antwort.
Der Zinssatz war 2004 höher.
Der Zinssatz war 2002 höher.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinssatz
Gegeben: Zins im Jahr 2004: $2 €$
Gesucht: Zinssatz
Kontoguthaben im Jahr $2004$ (vor Zins am Ende von $2004$ ):
$104 € \hat{=} 100 %$
Berechne den Zinssatz
Der Zinssatz im Jahr 2002 betrug: $2 %$ .
$1,92 % < 2 %$
$\Rightarrow$ Der Zins war im Jahr 2004 niedriger als im Jahr 2002.

Die Zinsen für das Jahr 2005 sind noch nicht im Sparbuch eingetragen. Der Zinssatz beträgt $1,55 %$ . Berechne Jakobs Guthaben zum 30.12.2005.
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinssatz
Gegeben: Guthaben im Jahr $2005$ : $106 € \hat{=} 100 %$ Zinssatz $2005$ : $1,55 %$
Dies ist das Guthaben vor dem Zins der am Ende des Jahres dazukommt.
Gesucht: Kaptital am 30.12.2005
Berechne die Zinsen.
Addiere den errechneten Wert zum Guthaben.
$106 € + 1,64 € = 107,64 €$
$\Rightarrow$ Jakobs Guthaben betrug am 30.12.2005 $107,64 €$
20
Deine Eltern haben für dich auf der Bank Festgeld bei einem Zinssatz von $3,00 %$ angelegt. Nach einem Jahr werden dir auf deinem Sparbuch dafür $45 €$ Zinsen gutgeschrieben.
Berechne, wie viel Geld deine Eltern für dich angelegt haben.
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
$45 €$ entsprechen $3 %$
Dreisatz anwenden.
Also: $15 €$ entsprechen $1 %$
Damit lässt sich der Grundwert berechnen.
$1500 €$ entsprechen $100 %$
Die Eltern haben $1500 €$ angelegt.

Bei der Berechnung von Zinsen legt die Bank ein sog. „Bankjahr“ zugrunde. Ein „Bankjahr“ besteht aus $12$ Monaten mit einheitlich je $30$ Tagen, also aus insgesamt $360$ Tagen. Berechne, wie viel Zinsen du in $10$ Tagen erhältst.
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
$45 €$ entsprechen $360 T a g e n$
Dreisatz anwenden.
$\frac{45}{36} € = 1,25 €$ entsprechen $10 Tagen$
In $10 Tagen$ erhält man $1,25 €$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$Verwaltungsausgaben$	$=$	$Zinsen - Preisgeld$
	↓	Zunächst müssen die Zinsen berechnet werden.
$Zinsen$	$=$	$Kapital \cdot Zinssatz$
	↓	Setze die Werte ein und bestimme die Zinsen.
$3 000 000 000 S E K \cdot 4 %$	$=$	$120 000 000 S E K$
	↓	Berechne nun die Verwaltungsausgaben.
$Verwaltungsausgaben$	$=$	$Zinsen - Preisgeld$
$120 000 000 S E K - 50 000 000 S E K$	$=$	$70 000 000 S E K$

$Verwaltungsausgaben$	$=$	$Zinsen - Preisgeld$
$120 000 000 S E K - 50 000 000 S E K$	$=$	$70 000 000 S E K$

Aufgaben zur Zinsrechnung

Aufteilung des Kapitals

1. Jahr

2. Jahr

3. Jahr

und so weiter…

Antwort

Berechnung der Tageszinsen

Alternative Berechnung der Tageszinen mit Dreisatz

Berechnung des Startkapitals

Alternative Berechnung des Startkapitals mit Dreisatz

Alternative Begründung anhand eines Beispiels

Bank A:

Bank B:

Ergebnis

Alternative Begründung anhand eines Beispiels mit Dreisatz

Bank A:

Bank B:

Ergebnis

Berechnung des Kapitals

Alternative Lösung mit dem Dreisatz

Erste Variante (2 Jahre mit 3% Zinsen)

Alternative Berechnung mit Dreisatz

Zweite Variante (erstes Jahr 4%, zweites Jahr 2%)

Alternative Berechnung mit Dreisatz

Alternative Berechnung der Verwaltungsausgaben über den Dreisatz

Alternative zweischrittige Lösung mittels Formel

Alternative zweischrittige Lösung mittels Dreisatz

Alternative einschrittige Lösung mit Dreisatz