Aufgaben zur Zinsrechnung

Hier wird die Aufgabe gelöst, indem mit einem unbekannten Kapital K gerechnet wird. Du kannst aber auch einen Betrag (z.B. 100 €) als Kapital wählen und damit die Aufgabe lösen.

Erste Variante (2 Jahre mit 3% Zinsen)

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_{\text{1}}=3\%;p_{\text{2}}=3\%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr:

$K^{+}=K\cdot (1+p_{\text{1}})$

Setze den Zinssatz ein und berechne:

$K_{3\%}^{+}=K\cdot (1+\mathrm{0,03})$ $K_{3\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,03}$

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{3\%}^{+}$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{3\%\cdot 3\%}^{+}=K_{3\%}^{+}\cdot (1+p_{\text{2}})$

Setzte den neuen vermehrten Grundwert $K_{3\%}^{+}$ ein.

$K_{3\%\cdot 3\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,03}\cdot (1+p_{\text{2}})$

Setze den Zinssatz ein und berechne.

$K_{3\%\cdot 3\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,03}\cdot (1+\mathrm{0,03})$$K_{3\%\cdot 3\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,03}\cdot \mathrm{1,03}$$K_{3\%\cdot 3\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,0609}$

Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.

Alternative Berechnung mit Dreisatz

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_{\text{1}}=3\%;p_{\text{2}}=3\%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun mit dem Dreisatz den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{3\%}^{+}$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{3\%\cdot 3\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,03}\cdot \mathrm{1,03}$

$K_{3\%\cdot 3\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,0609}$

Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.

Zweite Variante (erstes Jahr 4%, zweites Jahr 2%)

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert /vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_{\text{1}}=4\%;p_{\text{2}}=2\%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

$K^{+}=K\cdot (1+p_{\text{1}})$

Setze den Zinssatz ein und berechne.

$K_{4\%}^{+}=K\cdot (1+\mathrm{0,04})$ $K_{4\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,04}$

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{4\%}^{+}$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{4\%\cdot 2\%}^{+}=K_{4\%}^{+}\cdot (1+p_2)$

Setzte den neuen vermehrten Grundwert $K_{4\%}^{+}$ ein.

$K_{4\%\cdot 2\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,04}\cdot (1+p_2)$

Setze den Zinssatz ein und brechne.

$K_{4\%\cdot 2\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,04}\cdot (1+\mathrm{0,02})$$K_{4\%\cdot 2\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,04}\cdot \mathrm{1,02}$$K_{4\%\cdot 2\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,0608}$

Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.

$\Rightarrow$ Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.

Alternative Berechnung mit Dreisatz

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_{\text{1}}=4\%;p_{\text{2}}=2\%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun mit dem Dreisatz den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{4\%}^{+}$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{4\%\cdot 2\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,04}\cdot \mathrm{1,02}$

$K_{4\%\cdot 2\%}^{+}=K\cdot \mathrm{1,0608}$

Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.

$\Rightarrow$ Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.