Wahlteil

Berechnen des Volumens des Schokoladendeckels.

Berechnen des Radius des Schokoladendeckels.

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{D}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{r}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}}=30\text{ mm}$

$\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}=2\text{ mm}$

$\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}=\mathrm{1,7}\text{ mm}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{30}{2}}-2$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}=13$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{1,7}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}=169\mathrm{\pi }\cdot \mathrm{1,7}\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}\approx \mathrm{902,58}{\text{ mm}}^3$

Das Volumen des Schokodeckels beträgt ungefähr $\mathrm{902,58}{\text{ mm}}^3$ .

Berechnen des Durchmessers der Nuss.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\mathrm{d}}^3$

auflösen der Formel nach $\text{d}$ und berechnen des Durchmessers.

$\mathrm{d}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{6\cdot \mathrm{V}}{\mathrm{\pi }}}}$

$\mathrm{d}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{6\cdot 300}{\mathrm{\pi }}}}$

$\mathrm{d}\approx \mathrm{8,31}\text{ mm}$

Der Durchmesser der Nuss beträgt ungefähr: $\mathrm{8,31}\text{ mm}$

Berechnen des Volumen der Schokoladenfüllung.

Berechnen des Volumens der Halbkugel.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot ({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \mathrm{\pi }\cdot {\mathrm{r}}^3)$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \mathrm{\pi }\cdot {13}^3)$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \mathrm{\pi }\cdot 2197)$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}\approx \mathrm{4601,39}{\text{ mm}}^3$

Berechnen des Volumens der Schokoladenfüllung.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}-{\mathrm{V}}_{\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}=\mathrm{4601,39}-300$ (${\mathrm{V}}_{\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}}$ siehe Teilaufgabe $1\mathrm{b})$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}\approx \mathrm{4301,39}{\text{ mm}}^3$

Das Volumen der Schokoladenfüllung beträgt: $\mathrm{4301,39}{\text{ mm}}^3$

Wenn der Radius einer Halbkugel verdoppelt wird, dann

verachtfacht sich das Volumen der Halbkugel.

Da das Volumen der Nuss gleich bleibt , ist das Volumen der Schokoladenfüllung ungefähr achtmal so groß.

Jörn hat also nicht recht.

Ergänzen des fehlenden Maßes in der Skizze.

Berechnen der Länge $\text{x}$ eines Dachbalkens.

X ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks die Katheten sind:

$\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=90\text{ cm}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=430\text{ cm}$

Der Satz des Pythagoras lautet, angewandt auf unser rechtwinkliges Dreieck:

${\mathrm{x}}^2=(\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}{)}^2+(\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}{)}^2$

auflösen nach $\text{x}$ und einsetzen der bekannten Größen

$\mathrm{x}=\sqrt{{90}^2+{430}^2}$

$\mathrm{x}\approx \mathrm{439,32}\text{ cm}$

Die Länge eines Dachbalkens beträgt ungefähr: $\mathrm{439,32}\text{ cm}$

Berechnen des Winkels $\alpha$ .

Wir berechnen den Winkel $\alpha$ mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck.

Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$

Die Maße entnehmen wir der Skizze der Lösung zu Teilaufgabe 2a)

$\tan (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{90}{430}}\Rightarrow \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{\alpha })\approx {\mathrm{11,82}}^{\circ }$

Der Winkel $\alpha$ beträgt ungefähr: ${\mathrm{11,82}}^{\circ }$

Anmerkung:

Da die Hypotenuse bekannt ist (siehe Teilaufgabe 2b), kannst Du den Winkel $\alpha$ auch mit dem Sinus oder dem Kosinus berechnen.

Zeichnen des rechtwinkligen Dreiecks.

Bestimmen der maximalen Länge $s$ der Solaranlage.

Berechnen der Länge $\text{𝐬}$ mithilfe des Kosinus.

Der Kosinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:

$\cos (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}$

In unserem Dreieck gilt dann:

$\cos ({37}^{\circ })={\displaystyle \frac{430}{\mathrm{s}}}$

Auflösen der Gleichung nach $\text{s}$ :

$\mathrm{s}={\displaystyle \frac{430}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({37}^{\circ })}}\Rightarrow \mathrm{s}\approx 538\text{ cm}$

Die Länge $\text{s}$ der Solaranlage beträgt ungefähr: $538\text{ cm}$.

Rechnerischer Nachweis, dass Tilos Behauptung falsch ist.

$\mathrm{s}={\displaystyle \frac{430}{\cos ({\mathrm{18,5}}^{\circ })}}\Rightarrow \mathrm{s}\approx 453\text{ cm}$

Tilos Behauptung ist falsch, da die Länge $\text{s}$ bei bei einer Halbierung des

${37}^{\circ }$ -Winkels ungefähr $453\text{ cm}$ beträgt, das ist mehr als ${\displaystyle \frac{538}{2}}=269\text{ cm}$ .

Ergänzen der Wertetabelle.

Eintragen der Werte in ein Koordinatensystem.

Ankreuzen der Art des Wachstumsprozesses.

Es handelt sich hier um ein exponentielles Wachstum, da der Kontostand sich jeden Monat um den gleichen Faktor ändert. Der Kontostand verdoppelt sich jeden Monat, also ist der Änderungsfaktor $2$ .

Zeigen, dass Paul recht hat.

Paul bekommt am Anfang $100€$ dann bekommt er jeden Monat $50€$ .

Also hat er nach 4 Monaten:

$50\cdot 4+100=300€$

Paul hat recht, er hat nach 4 Monaten $300€$ von seinen Großeltern bekommen.

Aufstellen der Funktionsgleichung.

Die allgemeine Form einer Funktionsgleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\mathrm{x}+\mathrm{b}$

setze für $\text{m}=50$ und für $\text{b}=100$ in die allgemeine Form ein.

$\mathrm{y}=50\mathrm{x}+100$

Begründen, dass Pauls Behauptung richtig ist.

In 11 Monaten hat Paul $1024€$ von seinem Vater bekommen, (siehe Tabelle).

Berechnen des Wertes, den Paul in 11 Monaten von seinen Großeltern bekommen hat.

$\mathrm{y}=50\cdot 11+100\Rightarrow \mathrm{y}=650€$

In 11 Monaten hat Paul $650€$ von seinen Großeltern bekommen.

Paul hat also recht, da der Betrag, den er von seinem Vater bekommen hat größer ist als der Betrag, den er von seinen Großeltern bekommen hat.

Insgesamt sind $10$ Kugeln in der Schale. Die Wahrscheinlichkeit für jede Kugel beträgt somit ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.

Die Wahrscheinlichkeit eine $2$ zu ziehen beträgt ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{10}}$.

Es sind $5$ Kugeln mit der Ziffer 2 in der Schale.

Die Wahrscheinlichkeit eine $3$ zu ziehen beträgt ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{4}{10}}$.

Es sind $4$ Kugeln mit der Ziffer 3 in der Schale.

Die Wahrscheinlichkeit eine $5$ zu ziehen beträgt ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.

Es ist $1$ Kugel mit der Ziffer 5 in der Schale.

Alle im Baumdiagramm angegebenen Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen der zweiten Kugel haben im Nenner eine $9$. Das bedeutet, dass beim zweiten Zug nur noch $9$ Kugeln in der Schale sind.

Osman hat die erste gezogene Kugel nicht zurückgelegt.

Gegeben: Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $P={\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}$$P={\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}$

Erster Zug

Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug beträgt ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.

Insgesamt befinden sich $10$ Kugeln in der Schale, davon hat eine Kugel die Ziffer 5.

Die Wahrscheinlichkeit, die Kugel mit der Ziffer 5 zu ziehen, beträgt ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.

Zweiter Zug

Die erste gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Es befinden sich dann noch $9$ Kugeln in der Schale. $5$ Kugeln mit der Ziffer 2 und $4$ Kugeln mit der Ziffer 3.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit der Ziffer 3 zu ziehen, beträgt ${\displaystyle \frac{4}{9}}$.

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit $P={\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}$ beschreibt das Ereignis:

Osman zieht im ersten Zug die Kugel mit der Ziffer 5 und im zweiten Zug eine Kugel mit der Ziffer 3.

Es gibt zwei Möglichkeiten, dass die Summe der Ziffern auf zwei nacheinander gezogenen Kugeln $5$ ergibt.

Möglichkeit 1

Erster Zug eine $2$ und zweiter Zug eine $3$

$P(2;3)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$

Möglichkeit 2

Erster Zug eine 3 und zweiter Zug eine 2

$P(3;2)={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{8}{45}}$

$P(\text{Summe 5})=P(2;3)+P(3;2)={\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{8}{45}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Ziffern auf zwei Kugeln $5$ ergibt, beträgt ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Da die Kugel nach dem ersten Ziehen wieder zurückgelegt wird, sind beim zweiten Ziehen die gleichen Kugeln in der Schale und die Wahrscheinlichkeiten sind gleich.