Wahlteil

Die Abbildung zeigt einen Carport.

Ergänze das fehlende Maß in der Skizze.
[ 1 Pkt ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
Ergänzen des fehlenden Maßes in der Skizze.
Die Skizze ist nicht maßtreu.
Ziehe von der Höhe der oberen Dachkante die Höhe der unteren Dachkante ab.
Schreibe das Ergebnis in den Kreis.
Berechne die Länge $x$ eines Dachbalkens.
[ 3 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Berechnen der Länge $x$ eines Dachbalkens.
X ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks die Katheten sind:
$G e g e n k a t h e t e = 90 cm$
$A n k a t h e t e = 430 cm$
Der Satz des Pythagoras lautet, angewandt auf unser rechtwinkliges Dreieck:
$x^{2} = (G e g e n k a t h e t e)^{2} + (A n k a t h e t e)^{2}$
auflösen nach $x$ und einsetzen der bekannten Größen
$x = \sqrt{90^{2} + 430^{2}}$
$x \approx 439,32 cm$
Die Länge eines Dachbalkens beträgt ungefähr: $439,32 cm$
Berechne mithilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Hypotenuse $x$ .
Berechne den Winkel $α$ .
[ 2 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechnen des Winkels $α$ .
Wir berechnen den Winkel $α$ mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck.
Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:
$\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
Die Maße entnehmen wir der Skizze der Lösung zu Teilaufgabe 2a)
$\tan (α) = \frac{90}{430} \Rightarrow t a n^{- 1} (α) \approx {11,82}^{\circ}$
Der Winkel $α$ beträgt ungefähr: ${11,82}^{\circ}$
Anmerkung:
Da die Hypotenuse bekannt ist (siehe Teilaufgabe 2b), kannst Du den Winkel $α$ auch mit dem Sinus oder dem Kosinus berechnen.
Berechne den Winkel $α$ mithilfe des Tangens im rechtwinkligem Dreieck.
Auf das Dach des Carports soll eine Solaranlage mit einem Winkel von $37 °$ gebaut werden. Tilo möchte die maximale Länge $s$ der Solaranlage bestimmen und hat eine Skizze
angefertigt.
Zeichne dafür ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck und bestimme die maximale Länge $s$ der Solaranlage.
(Wähle für $100 cm$ in der Wirklichkeit $1 cm$ in der Zeichnung.)
[ 3 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Zeichnen des rechtwinkligen Dreiecks.
Die Skizze ist nicht maßtreu.
Bestimmen der maximalen Länge $s$ der Solaranlage.
Berechnen der Länge $𝐬$ mithilfe des Kosinus.
Der Kosinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:
$\cos (α) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
In unserem Dreieck gilt dann:
$\cos (37^{\circ}) = \frac{430}{s}$
Auflösen der Gleichung nach $s$ :
$s = \frac{430}{c o s (37^{\circ})} \Rightarrow s \approx 538 cm$
Die Länge $s$ der Solaranlage beträgt ungefähr: $538 cm$ .
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit, $A n k a t h e t e = 430 cm$ und dem Winkel $α_{s} = 37^{\circ}$
Tilo behauptet: „Wenn der $37 °$ -Winkel halbiert wird, dann halbiert sich auch die maximale Länge der Solaranlage.“
Zeige zeichnerisch oder rechnerisch, dass Tilos Behauptung falsch ist.
[ 1 Pkt ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Rechnerischer Nachweis, dass Tilos Behauptung falsch ist.
$s = \frac{430}{\cos ({18,5}^{\circ})} \Rightarrow s \approx 453 cm$
Tilos Behauptung ist falsch, da die Länge $s$ bei bei einer Halbierung des
$37^{\circ}$ -Winkels ungefähr $453 cm$ beträgt, das ist mehr als $\frac{538}{2} = 269 cm$ .
Berechne $s$ , indem du fur den Winkel $α_{s} = {18,5}^{\circ}$ einsetzt.