Wahlteil

Eine Firma stellt die abgebildete Praline her. Alle Längen sind in $mm$ angegeben.

Auf der Praline befindet sich ein zylinderförmiger Schokoladendeckel.

Berechne das Volumen des Schokoladendeckels.
[ 2 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformeln
Berechnen des Volumens des Schokoladendeckels.
Berechnen des Radius des Schokoladendeckels.
Folgende Größen sind bekannt:
$D u r c h m e s s e r_{P r a l i n e} = 30 mm$
$B r e i t e R a n d = 2 mm$
$H \ddot{o} h e S c h o k o d e c k e l = 1,7 mm$
$r_{S c h o k o d e c k e l} = \frac{30}{2} - 2$
$r_{S c h o k o d e c k e l} = 13$
$V_{S c h o k o d e c k e l} = r^{2} \cdot π \cdot 1,7$
$V_{S c h o k o d e c k e l} = 169 π \cdot 1,7 \Rightarrow V_{S c h o k o d e c k e l} \approx 902,58 {mm}^{3}$
Das Volumen des Schokodeckels beträgt ungefähr $902,58 {mm}^{3}$ .
Der Schokoladendeckel hat die Form einer Scheibe.
Berechne den Radius r der Scheibe.
Berechne das Volumen der Scheibe.
Das Volumen der kugelförmigen Nuss beträgt $V = 300 {mm}^{3}$ .
Berechne den Durchmesser der Nuss.
[ 3 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
Berechnen des Durchmessers der Nuss.
Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:
$V_{K u g e l} = \frac{1}{6} \cdot π \cdot d^{3}$
auflösen der Formel nach $d$ und berechnen des Durchmessers.
$d = \sqrt[3]{\frac{6 \cdot V}{π}}$
$d = \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 300}{π}}$
$d \approx 8,31 mm$
Der Durchmesser der Nuss beträgt ungefähr: $8,31 mm$
Löse die Formel $V_{K u g e l} = \frac{1}{6} \cdot π \cdot d^{3}$ nach $d$ auf und berechne den Durchmesser der Kugel.
Berechne das Volumen der Schokoladenfüllung.
[ 3 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
Berechnen des Volumen der Schokoladenfüllung.
Berechnen des Volumens der Halbkugel.
$V_{H a l b k u g e l} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3})$
$V_{H a l k u g e l} = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} \cdot π \cdot 13^{3})$
$V_{H a l k u g e l} = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} \cdot π \cdot 2197)$
$V_{H a l k u g e l} \approx 4601,39 {mm}^{3}$
Berechnen des Volumens der Schokoladenfüllung.
$V_{S c h o k o f \ddot{u} l l u n g} = V_{H a l b k u g e l} - V_{N u s s}$
$V_{S c h o k o f \ddot{u} l l u n g} = 4601,39 - 300$ ( $V_{N u s s}$ siehe Teilaufgabe $1 b)$
$V_{S c h o k o f \ddot{u} l l u n g} \approx 4301,39 {mm}^{3}$
Das Volumen der Schokoladenfüllung beträgt: $4301,39 {mm}^{3}$
Berechne das Volumen der Halbkugel.
Subtrahiere das Volumen der Nuss.
Eine Firma stellt eine Sonderedition dieser Praline mit doppeltem Radius her. Die Nuss bleibt dabei gleich groß.
Jörn behauptet: „Dann ist auch das Volumen der Schokoladenfüllung doppelt so groß.“
Hat Jörn recht? Begründe deine Entscheidung.
[ 2 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wenn der Radius einer Halbkugel verdoppelt wird, dann
verachtfacht sich das Volumen der Halbkugel.
Da das Volumen der Nuss gleich bleibt , ist das Volumen der Schokoladenfüllung ungefähr achtmal so groß.
Jörn hat also nicht recht.
Setze für $r, 2 r$ in die Volumenformel der Kugel ein und löse die Potenz auf.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

Wahlteil

Berechnen des Volumens des Schokoladendeckels.

Berechnen des Durchmessers der Nuss.

Berechnen des Volumen der Schokoladenfüllung.