Teil B

Zeichne ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem alle Anteile ersichtlich sind

Es gibt $2$ mit Senf und $10$ mit Marmelade gefüllte Krapfen.

Beachte, es wird ohne Zurücklegen gezogen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit $P$ dafür, dass mindestens einer der beiden ausgewählten Krapfen mit Senf gefüllt ist

$P(\text{"mindestens 1 Krapfen mit Senf"})=P(SM)+P(MS)+P(SS)$

$\Rightarrow P(\text{"mindestens 1 Krapfen mit Senf"})={\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{10}{11}}+{\displaystyle \frac{10}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{11}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{11}}$

$\Rightarrow P(\text{"mindestens 1 Krapfen mit Senf"})={\displaystyle \frac{42}{132}}={\displaystyle \frac{7}{22}}$

Die Wahrscheinlichkeit $P$, dass mindestens einer der beiden ausgewählten Krapfen mit Senf gefüllt ist, beträgt ${\displaystyle \frac{7}{22}}$.

Beurteile diese Vermutung

Es muss berechnet werden:

$P(\text{"keiner der beiden ausgewählten Krapfen mit Senf gefüllt"})=P(MM)$

Verwende das Gegenereignis:

$P(MM)=1-P(\text{"mindestens 1 Krapfen mit Senf"})=1-{\displaystyle \frac{7}{22}}={\displaystyle \frac{15}{22}}$

${\displaystyle \frac{15}{22}}\approx \mathrm{0,68}=68\%$

Wegen $68\%<70\%$ ist die Vermutung falsch.

Berechne das Volumen des Rotationskörpers

Das Rotationsvolumen besteht aus zwei Körpern, einem Zylinder und einem Kegelstumpf.

$V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kegelstumpf}}$

$V_{\text{Zylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h=\pi \cdot |\overline{MB}{|}^2\cdot |\overline{TM}|=\pi \cdot 1^2\cdot \mathrm{1,5}\approx \mathrm{4,71}{\mathrm{cm}}^3$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=V_{\text{großer Kegel}}-V_{\text{kleiner Kegel}}$

Dabei ist:

$V_{\text{großer Kegel}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot |\overline{TD}{|}^2\cdot |\overline{ST}|={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot \mathrm{6,5}\approx \mathrm{27,23}{\mathrm{cm}}^3$.

Weiterhin ist:

$h_{\text{kleiner Kegel}}=|\overline{ST}|-|\overline{NT}|=\mathrm{6,5}-2=\mathrm{4,5}\mathrm{cm}$ und $r_{\text{kleiner Kegel}}=|\overline{NE}|$.

Berechne $|\overline{NE}|$.

Verwende den Strahlensatz:

Es gilt: ${\displaystyle \frac{|\overline{TD}|}{|\overline{ST}|}}={\displaystyle \frac{|\overline{NE}|}{|\overline{ST}|-|\overline{NT}|}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{\mathrm{6,5}}}={\displaystyle \frac{|\overline{NE}|}{\mathrm{4,5}}}\Rightarrow |\overline{NE}|={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{4,5}}{\mathrm{6,5}}}\approx \mathrm{1,38}\mathrm{cm}$

Dann erhält man für:

$V_{\text{kleiner Kegel}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot |\overline{NE}{|}^2\cdot (|\overline{ST}{|}_{|}\overline{NE}|)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot {\mathrm{1,38}}^2\cdot \mathrm{4,5}\approx \mathrm{8,97}{\mathrm{cm}}^3$

Dann folgt:

$V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kegelstumpf}}=V_{\text{Zylinder}}+(V_{\text{großer Kegel}}-V_{\text{kleiner Kegel}})$

$V\approx (\mathrm{4,71}+(\mathrm{27,23}-\mathrm{8,97})){\mathrm{cm}}^3=\mathrm{22,97}{\mathrm{cm}}^3$

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt rund $\mathrm{22,97}{\mathrm{cm}}^3$.

Welches Aufkleber-Set ist hierfür passend? Kreuze an

Das Aufkleber-Set muss aus fünf Einzelteilen bestehen. Deshalb entfällt Set Nr. $2$.

Der Mantel des Kegelstumpfes besteht nicht aus einem Kreisausschnitt, sondern aus einem Kreisringausschnitt. Deshalb entfallen Set Nr. $1$ und Set Nr. $4$.

Es bleibt Set Nr. 3 übrig.

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt: $y=\mathrm{0,5}{x}^2-2x-5$

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S(2|-7)$ verläuft durch den Punkt $P(4|-5)$.

Setze den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d{)}^2+e$ ein:

$\Rightarrow f(x)=a(x-2{)}^2-7$

Setze den Punkt $P(4|-5)$ ein:

$\Rightarrow f(x)=\mathrm{0,5}(x-2{)}^2-7=\mathrm{0,5}(x^2-4x+4)-7=\mathrm{0,5}{x}^2-2x+2-7$

Zusammengefasst erhält man für die Gleichung der Parabel $p$ : $f(x)=\mathrm{0,5}{x}^2-2x-5$

Zeichne sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x\in [-3;7]$ in ein Koordinatensystem

Erstelle für die Zeichnung der Parabel $p$ eine Wertetabelle und trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Parabel.

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y=\mathrm{0,5}x$. Der y-Achsenabschnitt ist $0$. Zeichne die Punkte $(0|0)$ und z.B. $(4|2)$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Geraden.

Zeichne die Dreiecke $A_1{B}_1{C}_1$ für $x=2$ und $A_2{B}_2{C}_2$ für $x=\mathrm{5,5}$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein

Die Dreieckspunkte liegen jeweils auf den entsprechenden Graphen.

Dreieck $A_1{B}_1{C}_1$:

Hier ist $x=2\Rightarrow A_1(2|f(2)),B_1(2|g(2))$:

Für die Punkte $C_n$ gilt:

Die Punkte $C_n$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$ und ihre Abszisse ist stets um $3$ kleiner als die Abszisse $x$ der Punkte $B_n$.

$\Rightarrow$ für $C_1$ ist $x=2-3=-1\Rightarrow C_1(-1|g(-1))$

Zeichne die Punkte $A_1,B_1,C_1$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem Dreieck.

Dreieck $A_2{B}_2{C}_2$:

Hier ist $x=\mathrm{5,5}\Rightarrow A_2(\mathrm{5,5}|f(\mathrm{5,5})),B_2(\mathrm{5,5}|g(\mathrm{5,5}))$:

Für $C_2$ ist $x=\mathrm{5,5}-3=\mathrm{2,5}\Rightarrow C_2(\mathrm{2,5}|g(\mathrm{2,5}))$.

Zeichne die Punkte $A_2,B_2,C_2$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem Dreieck.

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{A_n{B}_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $|\overline{A_n{B}_n}|(x)=(-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{2,5}x+5)\text{LE}$

$|\overline{A_n{B}_n}|(x)=y_{B_n}-y_{A_n}=[\mathrm{0,5}x-(\mathrm{0,5}{x}^2-2x-5)]=[-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{2,5}x+5]\text{LE}$, für $x\in ℝ$ und $x\in ]-\mathrm{1,53};\mathrm{6,53}[$.

Für die Länge der Strecken $\overline{A_n{B}_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:

$|\overline{A_n{B}_n}|(x)=(-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{2,5}x+5)\text{LE}$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{A_0{B}_0}$

Für die Länge der Strecken $\overline{A_n{B}_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $|\overline{A_n{B}_n}|(x)=(-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{2,5}x+5)\text{LE}$ für $x\in ℝ$ und $x\in ]-\mathrm{1,53};\mathrm{6,53}[$.

Der Funktionsterm ist eine nach unten geöffnete Parabel.

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel:

Der Scheitelpunkt hat (auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet) die Koordinaten $S(\mathrm{2,5}|\mathrm{8,13})$.

$\Rightarrow$ Die maximale Länge der Strecke $\overline{A_0{B}_0}$ ist der y-Wert des Scheitelpunktes und beträgt rund $\mathrm{8,13}\text{LE}$.

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks $A_0{B}_0{C}_0$

Die folgende Darstellung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert

Das Dreieck $A_0{B}_0{C}_0$ hat als Grundseite $|\overline{A_0{B}_0}|=\mathrm{8,13}\text{LE}$.

Die Höhe des Dreiecks $h=x_{A_0}-x_{C_0}=\mathrm{2,5}-(-\mathrm{0,5})=3\text{LE}$.

Dann erhält man für den Flächeninhalt:

$A_{\text{max}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{8,13}\cdot 3\approx \mathrm{12,20}\text{FE}$

Der zugehörige Flächeninhalt des Dreiecks $A_0{B}_0{C}_0$ beträgt rund $\mathrm{12,20}\text{FE}$.

Berechne das zugehörige Maß $\beta$

Die Gerade $g$ hat die Steigung $m=\mathrm{0,5}$.

Der Winkel, den die Gerade $g$ mit der x-Achse einschließt, ist der Winkel ${90}^{\circ }-\beta$.

$\Rightarrow \tan ({90}^{\circ }-\beta )=\mathrm{0,5}$

$\Rightarrow {90}^{\circ }-\beta ={\tan }^{-1}(\mathrm{0,5})\approx {\mathrm{26,57}}^{\circ }\Rightarrow \beta ={90}^{\circ }-{\mathrm{26,57}}^{\circ }={\mathrm{63,43}}^{\circ }$

Das zugehörige Maß $\beta$ beträgt rund ${\mathrm{63,43}}^{\circ }$.

Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $\mathrm{3,35}\text{LE}$ beträgt

Für die gleichschenkligen Dreiecke $A_3{B}_3{C}_3$ und $A_4{B}_4{C}_4$ gilt:

$|\overline{A_3{B}_3}|=|\overline{B_3{C}_3}|=|\overline{A_4{B}_4}|=|\overline{B_4{C}_4}|=|\overline{B_n{C}_n}|$

Dann gilt mit $\beta ={\mathrm{63,43}}^{\circ }$:

$\sin \beta ={\displaystyle \frac{3}{|\overline{B_n{C}_n}|}}\Rightarrow |\overline{B_n{C}_n}|={\displaystyle \frac{3}{\sin {\mathrm{63,43}}^{\circ }}}\approx \mathrm{3,35}$

Die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken beträgt stets $\mathrm{3,35}\text{LE}$.

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für $x$

Es gilt: $|\overline{A_n{B}_n}|(x)=(-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{2,5}x+5)\text{LE}$.

Andererseits ist $|\overline{B_n{C}_n}|=|\overline{A_n{B}_n}|$.

Dann folgt für $x\in ℝ$ und $x\in ]-\mathrm{1,53};\mathrm{6,53}[$:

$\mathrm{3,35}=-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{2,5}x+5\Rightarrow -\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{2,5}x+\mathrm{1,65}=0$

Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:Es gilt: $|\overline{A_n{B}_n}|(x)=(-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{2,5}x+5)\text{LE}$.

Andererseits ist $|\overline{B_n{C}_n}|=|\overline{A_n{B}_n}|$.

Dann folgt für $x\in ℝ$ und $x\in ]-\mathrm{1,53};\mathrm{6,53}[$:

$\mathrm{3,35}=-\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{2,5}x+5\Rightarrow -\mathrm{0,5}{x}^2+\mathrm{2,5}x+\mathrm{1,65}=0$

Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:

Man erhält die beiden Lösungen $x_1=\mathrm{2,5}-\sqrt{\mathrm{9,55}}\approx -\mathrm{0,59}$ und $x_2=\mathrm{2,5}+\sqrt{\mathrm{9,55}}\approx \mathrm{5,59}$.

$L=\{-\mathrm{0,59};\mathrm{5,59}\}$

Die zugehörigen Werte für $x$ sind $-\mathrm{0,59}$ oder $\mathrm{5,59}$.

Zeichne das Fünfeck $ABCDE$ mit den Strecken $\overline{DA}$ und $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{A}$.

Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $|\overline{AB}|=10\text{ cm}$. Zeichne um $A$ und um $B$ je einen Kreis mit dem Radius $|\overline{DA}|=|\overline{DB}|=11\text{ cm}$. Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt $D$. Trage im Punkt $A$ den Winkel $\sphericalangle BAE={105}^{\circ }$ ab. Zeichne um $A$ einen Kreis mit dem Radius $|\overline{AE}|=\mathrm{6,5}\text{ cm}$. Der Kreis schneidet den freien Schenkel im Punkt $E$.

Zeichne eine Parallele zur Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $D$.

Trage im Punkt $B$ den Winkel $\sphericalangle CBA={85}^{\circ }$ ab.

Die Parallele schneidet den freien Schenkel im Punkt $C$.

Zeichne um $D$ einen Kreisbogen mit dem Radius $|\overline{DA}|=|\overline{DB}|=11\text{ cm}$ durch die Punkte $A$ und $B$.

Verbinde die Punkte zu einem Fünfeck.

Anmerkung: Der besseren Übersichtlichkeit wegen, sind in der Zeichnung die Konstruktionskreise nicht dargestellt.

Begründe, dass gilt: $\sphericalangle DBA=\sphericalangle BDC$

Die Winkel $DBA$ und $BDC$ sind als Wechselwinkel an den Parallelen $AB$ und $CD$ maßgleich.

Berechne den Winkel $DBA$

Betrachte das Dreieck $ABD$ und verwende den Kosinussatz.

$\cos \beta ={\displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}$

Setze die entsprechenden Werte ein:

$\cos \sphericalangle DBA={\displaystyle \frac{{11}^2+{10}^2-{11}^2}{2\cdot 11\cdot 10}}={\displaystyle \frac{10}{22}}$

$\Rightarrow \sphericalangle DBA={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{10}{22}}\right)\approx {\mathrm{62,96}}^{\circ }$

Das Maß des Winkels $DBA$ beträgt rund ${\mathrm{62,96}}^{\circ }$.

Berechne den Winkel $DCB$

Der Nebenwinkel von $CBA$ und der Winkel $DCB$ sind als Wechselwinkel an den Parallelen $AB$ und $CD$ maßgleich.

Nebenwinkel von $CBA$ $={180}^{\circ }-{85}^{\circ }={95}^{\circ }\Rightarrow$Winkel $DCB={95}^{\circ }$

Das Maß des Winkels $DCB$ beträgt ${95}^{\circ }$.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}$

Betrachte das Dreieck $BCD$ und verwende den Sinussatz.

In dem Dreieck ist $\sphericalangle CBD={85}^{\circ }-{\mathrm{62,96}}^{\circ }={\mathrm{22,04}}^{\circ }$.

Dann folgt:

${\displaystyle \frac{|\overline{CD}|}{\sin {\mathrm{22,04}}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{11}{\sin {95}^{\circ }}}\Rightarrow |\overline{CD}|={\displaystyle \frac{\sin {\mathrm{22,04}}^{\circ }\cdot 11}{\sin {95}^{\circ }}}\approx \mathrm{4,14}$

Die Länge der Strecke $\overline{CD}$ beträgt rund $\mathrm{4,14}\text{ cm}$.

Berechne den Umfang der Figur, die durch die Strecken $\overline{AE}$, $\overline{ED}$, $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{A}$ begrenzt wird

$u=|\overline{AE}|+|\overline{ED}|+|\overline{DB}|+b_{\alpha }$

Die Längen der Strecken $\overline{AE}$ und $\overline{DB}$ sind bekannt.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{ED}$

Betrachte das Dreieck $AED$ und verwende den Kosinussatz.

$a=\sqrt{b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha }$

$b=\mathrm{6,5}\text{ cm},c=11\text{ cm}$ und $\alpha ={105}^{\circ }-{\mathrm{62,96}}^{\circ }={\mathrm{42,04}}^{\circ }$

Dann erhält man:

$|\overline{ED}|=\sqrt{{\mathrm{6,5}}^2+{11}^2-2\cdot \mathrm{6,5}\cdot 11\cdot \cos {\mathrm{42,04}}^{\circ }}\approx \mathrm{7,55}$

Die Länge der Strecke $\overline{ED}$ beträgt rund $\mathrm{7,55}\text{ cm}$.

Berechne die Länge des Kreisbogens

$b_{\alpha }=2\cdot \pi \cdot r\cdot {\displaystyle \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}}$

Es sind $r=11\text{ cm}$ und $\alpha ={180}^{\circ }-2\cdot {\mathrm{62,96}}^{\circ }={\mathrm{54,08}}^{\circ }$.

Dann folgt:

$b_{\alpha }=2\cdot \pi \cdot 11\cdot {\displaystyle \frac{{\mathrm{54,08}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\approx \mathrm{10,38}$

Die Länge des Kreisbogens $b_{\alpha }$ beträgt rund $\mathrm{10,38}\text{ cm}$.

Berechne den Umfang

Setze alle Werte ein:

$u=|\overline{AE}|+|\overline{ED}|+|\overline{DB}|+b_{\alpha }=\mathrm{6,5}+\mathrm{7,55}+11+\mathrm{10,38}=\mathrm{35,43}$

Der Umfang beträgt rund $\mathrm{35,43}\text{ cm}$.

Ergänze die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke $\overline{CG}$ und den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{F}$ mit dem Mittelpunkt $C$

Zeichne eine senkrechte Gerade zur Strecke $\overline{BD}$ durch den Punkt $C$.

Die Gerade schneidet die Strecke $\overline{BD}$ im Punkt $G$. (Ersetze die Gerade durch die Strecke $\overline{CG}$.⁣)

Zeichne einen Kreis um $C$ durch den Punkt $G$. Der Kreis schneidet die Strecke $\overline{CD}$ im Punkt $F$ und die Strecke $\overline{BC}$ im Punkt $H$.

(Ersetze den Kreis durch den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{F}$.)

Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke $\overline{CG}$

Betrachte das rechtwinklige Dreieck $CDG$.

Der Winkel $CDG$ ist gleich $\sphericalangle DBA={\mathrm{62,96}}^{\circ }$.

Dann gilt:

$\sin {\mathrm{62,96}}^{\circ }={\displaystyle \frac{|\overline{CG}|}{|\overline{CD}|}}\Rightarrow |\overline{CG}|=|\overline{CD}|\cdot \sin {\mathrm{62,96}}^{\circ }=\mathrm{4,14}\cdot \sin {\mathrm{62,96}}^{\circ }\approx \mathrm{3,69}$

Die Länge der Strecke $\overline{CG}$ beträgt rund $\mathrm{3,69}\text{ cm}$.

Berechne den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken $\overline{FC}$ und $\overline{CH}$ sowie den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{F}$ begrenzt wird

Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt:

$A_{\alpha }=\pi \cdot r^2\cdot {\displaystyle \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}}$

Dabei ist $r=\mathrm{3,69}\text{ cm}$ und $\alpha =\sphericalangle DCB={95}^{\circ }$.

Dann erhält man:

$A_{\alpha }=\pi \cdot {\mathrm{3,69}}^2\cdot {\displaystyle \frac{{95}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\approx \mathrm{11,29}$

Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt rund $\mathrm{11,29}{\text{ cm}}^2$.

Bestimme rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$

Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$

Die Grundseite $g$ des Dreiecks hat die Länge $11\text{ cm}$ und die Höhe $h$ ist gleich der Länge der Strecke $\overline{CG}$$\Rightarrow h=\mathrm{3,69}\text{ cm}$.

$A_{BCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot h={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 11\cdot \mathrm{3,69}\approx \mathrm{20,30}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$ beträgt rund $\mathrm{20,30}{\text{ cm}}^2$.

Der prozentuale Anteil beträgt dann:

${\displaystyle \frac{A_{\alpha }}{A_{BCD}}}\cdot 100\%={\displaystyle \frac{\mathrm{11,29}}{\mathrm{20,30}}}\cdot 100\%\approx \mathrm{55,62}\%$

Der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$ beträgt rund $\mathrm{55,62}\%$.