Teil B

Zeichne das Fünfeck $ABCDE$ mit den Strecken $\overline{DA}$ und $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{A}$.

Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $|\overline{AB}|=10\text{ cm}$. Zeichne um $A$ und um $B$ je einen Kreis mit dem Radius $|\overline{DA}|=|\overline{DB}|=11\text{ cm}$. Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt $D$. Trage im Punkt $A$ den Winkel $\sphericalangle BAE={105}^{\circ }$ ab. Zeichne um $A$ einen Kreis mit dem Radius $|\overline{AE}|=\mathrm{6,5}\text{ cm}$. Der Kreis schneidet den freien Schenkel im Punkt $E$.

Zeichne eine Parallele zur Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $D$.

Trage im Punkt $B$ den Winkel $\sphericalangle CBA={85}^{\circ }$ ab.

Die Parallele schneidet den freien Schenkel im Punkt $C$.

Zeichne um $D$ einen Kreisbogen mit dem Radius $|\overline{DA}|=|\overline{DB}|=11\text{ cm}$ durch die Punkte $A$ und $B$.

Verbinde die Punkte zu einem Fünfeck.

Anmerkung: Der besseren Übersichtlichkeit wegen, sind in der Zeichnung die Konstruktionskreise nicht dargestellt.

Begründe, dass gilt: $\sphericalangle DBA=\sphericalangle BDC$

Die Winkel $DBA$ und $BDC$ sind als Wechselwinkel an den Parallelen $AB$ und $CD$ maßgleich.

Berechne den Winkel $DBA$

Betrachte das Dreieck $ABD$ und verwende den Kosinussatz.

$\cos \beta ={\displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}$

Setze die entsprechenden Werte ein:

$\cos \sphericalangle DBA={\displaystyle \frac{{11}^2+{10}^2-{11}^2}{2\cdot 11\cdot 10}}={\displaystyle \frac{10}{22}}$

$\Rightarrow \sphericalangle DBA={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{10}{22}}\right)\approx {\mathrm{62,96}}^{\circ }$

Das Maß des Winkels $DBA$ beträgt rund ${\mathrm{62,96}}^{\circ }$.

Berechne den Winkel $DCB$

Der Nebenwinkel von $CBA$ und der Winkel $DCB$ sind als Wechselwinkel an den Parallelen $AB$ und $CD$ maßgleich.

Nebenwinkel von $CBA$ $={180}^{\circ }-{85}^{\circ }={95}^{\circ }\Rightarrow$Winkel $DCB={95}^{\circ }$

Das Maß des Winkels $DCB$ beträgt ${95}^{\circ }$.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}$

Betrachte das Dreieck $BCD$ und verwende den Sinussatz.

In dem Dreieck ist $\sphericalangle CBD={85}^{\circ }-{\mathrm{62,96}}^{\circ }={\mathrm{22,04}}^{\circ }$.

Dann folgt:

${\displaystyle \frac{|\overline{CD}|}{\sin {\mathrm{22,04}}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{11}{\sin {95}^{\circ }}}\Rightarrow |\overline{CD}|={\displaystyle \frac{\sin {\mathrm{22,04}}^{\circ }\cdot 11}{\sin {95}^{\circ }}}\approx \mathrm{4,14}$

Die Länge der Strecke $\overline{CD}$ beträgt rund $\mathrm{4,14}\text{ cm}$.

Berechne den Umfang der Figur, die durch die Strecken $\overline{AE}$, $\overline{ED}$, $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{A}$ begrenzt wird

$u=|\overline{AE}|+|\overline{ED}|+|\overline{DB}|+b_{\alpha }$

Die Längen der Strecken $\overline{AE}$ und $\overline{DB}$ sind bekannt.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{ED}$

Betrachte das Dreieck $AED$ und verwende den Kosinussatz.

$a=\sqrt{b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha }$

$b=\mathrm{6,5}\text{ cm},c=11\text{ cm}$ und $\alpha ={105}^{\circ }-{\mathrm{62,96}}^{\circ }={\mathrm{42,04}}^{\circ }$

Dann erhält man:

$|\overline{ED}|=\sqrt{{\mathrm{6,5}}^2+{11}^2-2\cdot \mathrm{6,5}\cdot 11\cdot \cos {\mathrm{42,04}}^{\circ }}\approx \mathrm{7,55}$

Die Länge der Strecke $\overline{ED}$ beträgt rund $\mathrm{7,55}\text{ cm}$.

Berechne die Länge des Kreisbogens

$b_{\alpha }=2\cdot \pi \cdot r\cdot {\displaystyle \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}}$

Es sind $r=11\text{ cm}$ und $\alpha ={180}^{\circ }-2\cdot {\mathrm{62,96}}^{\circ }={\mathrm{54,08}}^{\circ }$.

Dann folgt:

$b_{\alpha }=2\cdot \pi \cdot 11\cdot {\displaystyle \frac{{\mathrm{54,08}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\approx \mathrm{10,38}$

Die Länge des Kreisbogens $b_{\alpha }$ beträgt rund $\mathrm{10,38}\text{ cm}$.

Berechne den Umfang

Setze alle Werte ein:

$u=|\overline{AE}|+|\overline{ED}|+|\overline{DB}|+b_{\alpha }=\mathrm{6,5}+\mathrm{7,55}+11+\mathrm{10,38}=\mathrm{35,43}$

Der Umfang beträgt rund $\mathrm{35,43}\text{ cm}$.

Ergänze die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke $\overline{CG}$ und den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{F}$ mit dem Mittelpunkt $C$

Zeichne eine senkrechte Gerade zur Strecke $\overline{BD}$ durch den Punkt $C$.

Die Gerade schneidet die Strecke $\overline{BD}$ im Punkt $G$. (Ersetze die Gerade durch die Strecke $\overline{CG}$.⁣)

Zeichne einen Kreis um $C$ durch den Punkt $G$. Der Kreis schneidet die Strecke $\overline{CD}$ im Punkt $F$ und die Strecke $\overline{BC}$ im Punkt $H$.

(Ersetze den Kreis durch den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{F}$.)

Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke $\overline{CG}$

Betrachte das rechtwinklige Dreieck $CDG$.

Der Winkel $CDG$ ist gleich $\sphericalangle DBA={\mathrm{62,96}}^{\circ }$.

Dann gilt:

$\sin {\mathrm{62,96}}^{\circ }={\displaystyle \frac{|\overline{CG}|}{|\overline{CD}|}}\Rightarrow |\overline{CG}|=|\overline{CD}|\cdot \sin {\mathrm{62,96}}^{\circ }=\mathrm{4,14}\cdot \sin {\mathrm{62,96}}^{\circ }\approx \mathrm{3,69}$

Die Länge der Strecke $\overline{CG}$ beträgt rund $\mathrm{3,69}\text{ cm}$.

Berechne den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken $\overline{FC}$ und $\overline{CH}$ sowie den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{F}$ begrenzt wird

Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt:

$A_{\alpha }=\pi \cdot r^2\cdot {\displaystyle \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}}$

Dabei ist $r=\mathrm{3,69}\text{ cm}$ und $\alpha =\sphericalangle DCB={95}^{\circ }$.

Dann erhält man:

$A_{\alpha }=\pi \cdot {\mathrm{3,69}}^2\cdot {\displaystyle \frac{{95}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\approx \mathrm{11,29}$

Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt rund $\mathrm{11,29}{\text{ cm}}^2$.

Bestimme rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$

Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$

Die Grundseite $g$ des Dreiecks hat die Länge $11\text{ cm}$ und die Höhe $h$ ist gleich der Länge der Strecke $\overline{CG}$$\Rightarrow h=\mathrm{3,69}\text{ cm}$.

$A_{BCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot h={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 11\cdot \mathrm{3,69}\approx \mathrm{20,30}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$ beträgt rund $\mathrm{20,30}{\text{ cm}}^2$.

Der prozentuale Anteil beträgt dann:

${\displaystyle \frac{A_{\alpha }}{A_{BCD}}}\cdot 100\%={\displaystyle \frac{\mathrm{11,29}}{\mathrm{20,30}}}\cdot 100\%\approx \mathrm{55,62}\%$

Der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$ beträgt rund $\mathrm{55,62}\%$.