Teil B

Aufgabe B3

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (2 | - 7)$ verläuft durch den Punkt $P (4 | - 5)$ .

Sie hat eine Gleichung der Form $y = a x^{2} + b x + c$ mit $a \in ℝ \ {0}$ und $b, c, x, y \in ℝ$ .

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 0,5 x$ mit $x, y \in ℝ$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:
$y = 0,5 x^{2} - 2 x - 5$ .
Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in [- 3; 7]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 3 \leq x \leq 7; - 7 \leq y \leq 6$ (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt: $y = 0,5 x^{2} - 2 x - 5$
Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (2 | - 7)$ verläuft durch den Punkt $P (4 | - 5)$ .
Setze den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ ein:
$\Rightarrow f (x) = a (x - 2)^{2} - 7$
Setze den Punkt $P (4 | - 5)$ ein:
$- 5$ $=$ $a (4 - 2)^{2} - 7$
↓
Vereinfache die rechte Seite.
$- 5$ $=$ $a \cdot 4 - 7$ $+ 7$
$2$ $=$ $a \cdot 4$ $: 4$
$0,5$ $=$ $a$
$\Rightarrow f (x) = 0,5 (x - 2)^{2} - 7 = 0,5 (x^{2} - 4 x + 4) - 7 = 0,5 x^{2} - 2 x + 2 - 7$
Zusammengefasst erhält man für die Gleichung der Parabel $p$ : $f (x) = 0,5 x^{2} - 2 x - 5$
Zeichne sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in [- 3; 7]$ in ein Koordinatensystem
Erstelle für die Zeichnung der Parabel $p$ eine Wertetabelle und trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Parabel.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
$5,5$
$1$
$- 2,5$
$- 5$
$- 6,5$
$- 7$
$- 6,5$
$- 5$
$- 2,5$
$1$
$5,5$
Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 0,5 x$ . Der y-Achsenabschnitt ist $0$ . Zeichne die Punkte $(0 | 0)$ und z.B. $(4 | 2)$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Geraden.
Parabel p und Gerade g
Teil 1
Setze den Scheitelpunkt $S (2 | - 7)$ und den Punkt $P (4 | - 5)$ nacheinander in die Scheitelpunktform $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ ein.
Verwandle die Scheitelpunktform in die Normalform.
Teil 2
Erstelle für die Zeichnung der Parabel $p$ eine Wertetabelle und trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Parabel.
Zeichne die Gerade $y = 0,5 x$ ein.
Punkte $A_{n} (x | 0,5 x^{2} - 2 x - 5)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $B_{n} (x | 0,5 x)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind für $x \in] - 1,53; 6,53 [$ zusammen mit Punkten $C_{n}$ die Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ . Die Punkte $C_{n}$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$ und ihre Abszisse ist stets um $3$ kleiner als die Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ .
Zeichnen Sie die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Zeichne die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein
Die Dreieckspunkte liegen jeweils auf den entsprechenden Graphen.
Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ :
Hier ist $x = 2 \Rightarrow A_{1} (2 | f (2)), B_{1} (2 | g (2))$ :
Für die Punkte $C_{n}$ gilt:
Die Punkte $C_{n}$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$ und ihre Abszisse ist stets um $3$ kleiner als die Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ .
$\Rightarrow$ für $C_{1}$ ist $x = 2 - 3 = - 1 \Rightarrow C_{1} (- 1 | g (- 1))$
Zeichne die Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ :
Hier ist $x = 5,5 \Rightarrow A_{2} (5,5 | f (5,5)), B_{2} (5,5 | g (5,5))$ :
Für $C_{2}$ ist $x = 5,5 - 3 = 2,5 \Rightarrow C_{2} (2,5 | g (2,5))$ .

Zeichne die Punkte $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Eingezeichnete Dreiecke
Die Dreieckspunkte liegen jeweils auf den entsprechenden Graphen.
Für $x = 2 \Rightarrow A_{1} (2 | f (2)), B_{1} (2 | g (2))$ und $C_{1} (- 1 | g (- 1))$ .
Für $x = 5,5 \Rightarrow A_{2} (5,5 | f (5,5)), B_{2} (5,5 | g (5,5))$ und $C_{2} (2,5 | g (2,5))$ .
Zeichne die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $A_{n} B_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $| A_{n} B_{n} | (x) = (- 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5) LE$ . (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strecke
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $A_{n} B_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $| A_{n} B_{n} | (x) = (- 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5) LE$
$| A_{n} B_{n} | (x) = y_{B_{n}} - y_{A_{n}} = [0,5 x - (0,5 x^{2} - 2 x - 5)] = [- 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5] LE$ , für $x \in ℝ$ und $x \in] - 1,53; 6,53 [$ .
Für die Länge der Strecken $A_{n} B_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:
$| A_{n} B_{n} | (x) = (- 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5) LE$
Es gilt: $| A_{n} B_{n} | (x) = y_{B_{n}} - y_{A_{n}}$ . Setze ein und fasse zusammen.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
y	$5,5$	$1$	$- 2,5$	$- 5$	$- 6,5$	$- 7$	$- 6,5$	$- 5$	$- 2,5$	$1$	$5,5$

Unter den Strecken $A_{n} B_{n}$ hat die Strecke $A_{0} B_{0}$ die maximale Länge.

Berechnen Sie die Länge der Strecke $A_{0} B_{0}$ sowie den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$ . (2,5 P)

In allen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ haben die Winkel $C_{n} B_{n} A_{n}$ das gleiche Maß.
Berechnen Sie das zugehörige Maß $β$ .
$[$ Ergebnis: $β = {63,43}^{\circ}]$ (1,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Berechne das zugehörige Maß $β$
Die Gerade $g$ hat die Steigung $m = 0,5$ .
Der Winkel, den die Gerade $g$ mit der x-Achse einschließt, ist der Winkel $90^{\circ} - β$ .
$\Rightarrow \tan (90^{\circ} - β) = 0,5$
$\Rightarrow 90^{\circ} - β = \tan^{- 1} (0,5) \approx {26,57}^{\circ} \Rightarrow β = 90^{\circ} - {26,57}^{\circ} = {63,43}^{\circ}$
Das zugehörige Maß $β$ beträgt rund ${63,43}^{\circ}$ .
Unter den Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ gibt es die gleichschenkligen Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ mit der Basis $A_{3} C_{3}$ sowie $A_{4} B_{4} C_{4}$ mit der Basis $A_{4} C_{4}$ .
Begründen Sie rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $3,35 LE$ beträgt.
Berechnen Sie anschließend die zugehörigen Werte für $x$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $3,35 LE$ beträgt
Für die gleichschenkligen Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4}$ gilt:
$| A_{3} B_{3} | = | B_{3} C_{3} | = | A_{4} B_{4} | = | B_{4} C_{4} | = | B_{n} C_{n} |$
Dann gilt mit $β = {63,43}^{\circ}$ :
$\sin β = \frac{3}{| B_{n} C_{n} |} \Rightarrow | B_{n} C_{n} | = \frac{3}{\sin {63,43}^{\circ}} \approx 3,35$
Die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken beträgt stets $3,35 LE$ .
Berechne anschließend die zugehörigen Werte für $x$
Es gilt: $| A_{n} B_{n} | (x) = (- 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5) LE$ .
Andererseits ist $| B_{n} C_{n} | = | A_{n} B_{n} |$ .
Dann folgt für $x \in ℝ$ und $x \in] - 1,53; 6,53 [$ :
$3,35 = - 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5 \Rightarrow - 0,5 x^{2} + 2,5 x + 1,65 = 0$
Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:Es gilt: $| A_{n} B_{n} | (x) = (- 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5) LE$ .
Andererseits ist $| B_{n} C_{n} | = | A_{n} B_{n} |$ .
Dann folgt für $x \in ℝ$ und $x \in] - 1,53; 6,53 [$ :
$3,35 = - 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5 \Rightarrow - 0,5 x^{2} + 2,5 x + 1,65 = 0$
Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = - 0,5, b = 2,5$ und $c = 1,65$ ein.
$=$ $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{{2,5}^{2} - 4 \cdot (- 0,5) \cdot 1,65}}{2 \cdot (- 0,5)}$
$=$ $\frac{- 2,5 \pm \sqrt{6,25 + 3,3}}{- 1}$
$=$ $2,5 \mp \sqrt{9,55}$
Man erhält die beiden Lösungen $x_{1} = 2,5 - \sqrt{9,55} \approx - 0,59$ und $x_{2} = 2,5 + \sqrt{9,55} \approx 5,59$ .
$L = {- 0,59; 5,59}$
Die zugehörigen Werte für $x$ sind $- 0,59$ oder $5,59$ .
Teil 1
Es gilt: $| A_{3} B_{3} | = | B_{3} C_{3} | = | A_{4} B_{4} | = | B_{4} C_{4} | = | B_{n} C_{n} |$
Weiterhin ist $\sin β = \frac{3}{| B_{n} C_{n} |}$ mit $β = {63,43}^{\circ}$ .
Berechne $| B_{n} C_{n} |$ .
Teil 2
Setze $| B_{n} C_{n} | = | A_{n} B_{n} |$ und löse die quadratische Gleichung.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$y$	$=$	$- 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5$
	↓	Klammere $- 0,5$ aus.
	$=$	$- 0,5 (x^{2} - 5 x - 10)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$- 0,5 (x^{2} - 5 x + {2,5}^{2} - {2,5}^{2} - 10)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- 0,5 (x - 2,5)^{2} - {2,5}^{2} - 10)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$- 0,5 (x - 2,5)^{2} - 16,25)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$- 0,5 (x - 2,5)^{2} + 8,125$

Teil B

Aufgabe B3

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt: $y = 0,5 x^{2} - 2 x - 5$

Zeichne sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in [- 3; 7]$ in ein Koordinatensystem

Zeichne die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $A_{n} B_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $| A_{n} B_{n} | (x) = (- 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5) LE$

Berechne die Länge der Strecke $A_{0} B_{0}$

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$

Berechne das zugehörige Maß $β$

Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $3,35 LE$ beträgt

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für $x$

$- 5$	$=$	$a (4 - 2)^{2} - 7$
	↓	Vereinfache die rechte Seite.
$- 5$	$=$	$a \cdot 4 - 7$	$+ 7$
$2$	$=$	$a \cdot 4$	$: 4$
$0,5$	$=$	$a$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = - 0,5, b = 2,5$ und $c = 1,65$ ein.
	$=$	$\frac{- 2,5 \pm \sqrt{{2,5}^{2} - 4 \cdot (- 0,5) \cdot 1,65}}{2 \cdot (- 0,5)}$
	$=$	$\frac{- 2,5 \pm \sqrt{6,25 + 3,3}}{- 1}$
	$=$	$2,5 \mp \sqrt{9,55}$

Teil B

Aufgabe B3

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel p gilt: y=0,5x2−2x−5

Zeichne sodann die Parabel p sowie die Gerade g für x∈[−3;7] in ein Koordinatensystem

Zeichne die Dreiecke A1B1C1 für x=2 und A2B2C2 für x=5,5 in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken AnBn in Abhängigkeit von x gilt: |AnBn|(x)=(−0,5x2+2,5x+5)LE

Berechne die Länge der Strecke A0B0

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks A0B0C0

Berechne das zugehörige Maß β

Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets 3,35LE beträgt

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für x

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt: $y = 0,5 x^{2} - 2 x - 5$

Zeichne sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in [- 3; 7]$ in ein Koordinatensystem

Zeichne die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $A_{n} B_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $| A_{n} B_{n} | (x) = (- 0,5 x^{2} + 2,5 x + 5) LE$

Berechne die Länge der Strecke $A_{0} B_{0}$

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$

Berechne das zugehörige Maß $β$

Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $3,35 LE$ beträgt

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für $x$