Aufgaben zum Thema Konfidenzintervalle

Bestimme Konfidenzintervalle zu einer bestimmten Sicherheitswahrscheinlichkeit. Lerne, die Sigma-Regeln anzuwenden und vertiefe dein Wissen!

1
Ein hergestelltes Werkstück ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $12 %$ fehlerhaft.
Ein Baumarkt bestellt 100 Werkstücke.
Wie lauten die Prognoseintervalle für die $1 σ -, 2 σ -$ und $3 σ -$ Umgebungen von $μ$ ?

Es ist $μ = n \cdot p = 100 \cdot 0,12 = 12$ und $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0,12 \cdot 0,88} \approx 3,25 > 3$ . Die Laplace-Bedingung ist erfüllt.
Berechnung der $σ$ -Intervalle $[μ - c \cdot σ; μ + c \cdot σ]$ mit $c = 1, 2$ und $c = 3$ :
$1 σ -$ Intervall: $[12 - 1 \cdot 3,25; 12 + 1 \cdot 3,25] = [8,75; 15,25] \overset{\overset{}{runden}}{\to} [9; 15]$
$2 σ -$ Intervall: $[12 - 2 \cdot 3,25; 12 + 2 \cdot 3,25] = [5,5; 18,5] \overset{\overset{}{runden}}{\to} [6; 18]$
$3 σ -$ Intervall: $[12 - 3 \cdot 3,25; 12 + 3 \cdot 3,25] = [2,25; 21,75] \overset{\overset{}{runden}}{\to} [3; 21]$
MerkeRunden der Intervallgrenzen
Die Intervallgrenzen werden zu $μ$ hin gerundet, d.h. die linke Intervallgrenze wird aufgerundet und die rechte Intervallgrenze wird abgerundet.
Ergebnis:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bestellung mindestens $9$ und höchsten $15$ fehlerhafte Werkstücke enthält, beträgt rund $68,3 %$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bestellung mindestens $6$ und höchsten $18$ fehlerhafte Werkstücke enthält, beträgt rund $95,5 %$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bestellung mindestens $3$ und höchsten $21$ fehlerhafte Werkstücke enthält, beträgt rund $99,7 %$ .
Berechne $μ = n \cdot p$ und $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ .
Berechne die $σ$ -Intervalle $[μ - c \cdot σ; μ + c \cdot σ]$ mit $c = 1, 2$ und $c = 3$ .
Runde die Intervallgrenzen passend.
2
Ein Medikamentenhersteller verspricht, dass nur $2 %$ der Patienten nach der Einnahme eines bestimmten Medikamentes Nebenwirkungen haben. Das Medikament wird an $500$ Personen getestet.
In welchem Intervall liegt die Anzahl der Personen mit Nebenwirkungen, wenn eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95 %$ gefordert wird?

Erwartungswert, Standardabweichung und Laplace-Bedingung
Es ist $μ = n \cdot p = 500 \cdot 0,02 = 10$ und $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{500 \cdot 0,02 \cdot 0,98} \approx 3,13 > 3$ .
Die Laplace-Bedingung ist erfüllt. Dann kann das Konfidenzintervall mit der Formel $[μ - 1,96 \cdot σ; μ + 1,96 \cdot σ]$ bestimmt werden.
Für die Sicherheitswahrscheinlichkeit $γ = 95 %$ ⁣ findet man in der Tabelle den Wert $c = 1,96.$
Berechnung des $1,96 σ$ -Intervalls $[μ - 1,96 \cdot σ; μ + 1,96 \cdot σ]$ :
$[10 - 1,96 \cdot 3,13; 10 + 1,96 \cdot 3,13] = [3,865; 16,135] \overset{\overset{}{runden}}{\to} [4; 16]$
Ergebnis:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $95 %$ müssen von den getesteten $500$ Personen mindestens $4$ Personen und höchstens $16$ Personen mit Nebenwirkungen rechnen.
Berechne den Erwartungswert $μ = n \cdot p$ und die Standardabweichung $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ .
Zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $γ = 95 % ⁣$ findet man den Wert $c = 1,96$ .
Berechne das $1,96 σ$ -Intervall: $[μ - 1,96 \cdot σ; μ + 1,96 \cdot σ]$ .
Runde die Intervallgrenzen passend.

Ein möglicherweise gefälschter Würfel wird $6000$ -mal geworfen. Dabei fiel $1200$ -mal die $" 6 "$ .

Wie lautet ein $99,7 %$ -Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit für eine $" 6 "$ ?

Welche Schlussfolgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?

Der Marktanteil eines elektrischen Haushaltsgerätes soll ermittelt werden. Von $600$ zufällig ausgewählten Haushalten besitzen $210$ dieses Gerät.

Bestimme mit exakter Rechnung ein $95,5 %$ -Konfidenzintervall für $p$ .

Verwende die Näherungslösung zur Berechnung des Konfidenzintervalls und vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prognose- und Konfidenzintervalle
Bei der Näherung wird $p$ unter der Wurzel durch $\frac{X}{n} = 0,35$ ersetzt.
$\Rightarrow | 0,35 - p | \leq 2 \cdot \sqrt{\frac{0,35 (1 - 0,35)}{600}} \approx 0,0389$
$\Rightarrow | 0,35 - p | \leq 0,0389 \Rightarrow p_{1} \approx 0,35 - 0,0389 = 0,3111$ und $p_{2} \approx 0,35 + 0,0389 = 0,3889$
Das mit der Näherung berechnete Konfidenzintervall lautet $[0,3111; 0,3889]$ .
Im Vergleich dazu das Ergebnis der "exakten" Rechnung $[0,3122; 0,3898]$ .
Es besteht kein sehr großer Unterschied.
Bei der Näherung wird $p$ unter der Wurzel durch $\frac{X}{n} = 0,35$ ersetzt.
Löse dann die Ungleichung $| 0,35 - p | \leq 2 \cdot \sqrt{\frac{p (1 - p)}{600}}$ .

Bei der Befragung (Sicherheitswahrscheinlichkeit $95,5 %$ ) über die Ausstattung von Haushalten mit einem bestimmten elektrischen Haushaltsgerät will man die Ergebnisse auf $2 %$ -Punkte genau haben.

Welcher Stichprobenumfang $n$ ist erforderlich?

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$\| \frac{X}{n} - p \|$	$\leq$	$3 \cdot \frac{σ}{n}$
	↓	Setze $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ ein.
	$\leq$	$3 \cdot \frac{\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}}{n}$
	↓	Vereinfache.
	$\leq$	$3 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}}$
	↓	Setze $\frac{X}{n} = 0,2$ und $n = 6000$ ein.
$\| 0,2 - p \|$	$\leq$	$3 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{6000}}$	$()^{2}$
	↓	Vereinfache.
$(0,2 - p)^{2}$	$\leq$	$9 \cdot \frac{p \cdot (1 - p)}{6000}$
	↓	Berechne die Klammern.
$0,04 - 0,4 p + p^{2}$	$\leq$	$\frac{9 p - 9 p^{2}}{6000}$	$\cdot 6000$
$240 - 2400 p + 6000 p^{2}$	$\leq$	$9 p - 9 p^{2}$	$- 9 p + 9 p^{2}$
$240 - 2409 p + 6009 p^{2}$	$\leq$	$0$

$p_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 6009, b = - 2409$ und $c = 240$ ein.
	$=$	$\frac{2409 \pm \sqrt{2409^{2} - 4 \cdot 6009 \cdot 240}}{2 \cdot 6009}$
	$=$	$\frac{2409 \pm \sqrt{34641}}{12018}$
	$\approx$	$\frac{2409 \pm 186,1209}{12018}$

$\| 0,35 - p \|$	$\leq$	$2 \cdot \sqrt{\frac{p (1 - p)}{600}}$	$()^{2}$
	↓	Löse die Wurzel auf.
$(0,35 - p)^{2}$	$\leq$	$4 \cdot \frac{p (1 - p)}{600}$
	↓	Kürze.
$(0,35 - p)^{2}$	$\leq$	$\frac{p - p^{2}}{150}$
	↓	Berechne das Quadrat.
$0,1225 - 0,7 p + p^{2}$	$\leq$	$\frac{p - p^{2}}{150}$	$\cdot 150$
$18,375 - 105 p + 150 p^{2}$	$\leq$	$p - p^{2}$	$- p + p^{2}$
$18,375 - 106 p + 151 p^{2}$	$\leq$	$0$

$p_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 151, b = - 106$ und $c = 18,375$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 106) \pm \sqrt{(- 106)^{2} - 4 \cdot 151 \cdot 18,375}}{2 \cdot 151}$
	$=$	$\frac{106 \pm \sqrt{11236 - 11098,5}}{302}$
	$\approx$	$\frac{106 \pm 11,7260}{302}$

$\frac{σ}{n}$	$\leq$	$0,01$
$\frac{\sqrt{n \cdot p (1 - p)}}{n}$	$\leq$	$0,01$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\frac{n \cdot p (1 - p)}{n^{2}}$	$\leq$	${0,01}^{2}$
	↓	Kürze.
$\frac{p (1 - p)}{n}$	$\leq$	$0,0001$
	↓	Setze $p = 0,35$ ein.
$\frac{0,35 \cdot 0,65}{n}$	$\leq$	$0,0001$	$\cdot n$
$0,2275$	$\leq$	$0,0001 \cdot n$	$\cdot 10^{4}$
$2275$	$\leq$	$n$

Aufgaben zum Thema Konfidenzintervalle

Erwartungswert, Standardabweichung und Laplace-Bedingung

Relative Häufigkeit berechnen

In das Konfidenzintervall einsetzen

$p$ aus quadratischer Gleichung bestimmen

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Erwartungswert, Standardabweichung und Laplace-Bedingung

Relative Häufigkeit berechnen

In das Konfidenzintervall einsetzen

p aus quadratischer Gleichung bestimmen

$p$ aus quadratischer Gleichung bestimmen