Aufgaben zum Thema Konfidenzintervalle

Der Marktanteil eines elektrischen Haushaltsgerätes soll ermittelt werden. Von $600$ zufällig ausgewählten Haushalten besitzen $210$ dieses Gerät.

Bestimme mit exakter Rechnung ein $95,5 %$ -Konfidenzintervall für $p$ .

Verwende die Näherungslösung zur Berechnung des Konfidenzintervalls und vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prognose- und Konfidenzintervalle
Bei der Näherung wird $p$ unter der Wurzel durch $\frac{X}{n} = 0,35$ ersetzt.
$\Rightarrow | 0,35 - p | \leq 2 \cdot \sqrt{\frac{0,35 (1 - 0,35)}{600}} \approx 0,0389$
$\Rightarrow | 0,35 - p | \leq 0,0389 \Rightarrow p_{1} \approx 0,35 - 0,0389 = 0,3111$ und $p_{2} \approx 0,35 + 0,0389 = 0,3889$
Das mit der Näherung berechnete Konfidenzintervall lautet $[0,3111; 0,3889]$ .
Im Vergleich dazu das Ergebnis der "exakten" Rechnung $[0,3122; 0,3898]$ .
Es besteht kein sehr großer Unterschied.
Bei der Näherung wird $p$ unter der Wurzel durch $\frac{X}{n} = 0,35$ ersetzt.
Löse dann die Ungleichung $| 0,35 - p | \leq 2 \cdot \sqrt{\frac{p (1 - p)}{600}}$ .

Bei der Befragung (Sicherheitswahrscheinlichkeit $95,5 %$ ) über die Ausstattung von Haushalten mit einem bestimmten elektrischen Haushaltsgerät will man die Ergebnisse auf $2 %$ -Punkte genau haben.

Welcher Stichprobenumfang $n$ ist erforderlich?

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$\| 0,35 - p \|$	$\leq$	$2 \cdot \sqrt{\frac{p (1 - p)}{600}}$	$()^{2}$
	↓	Löse die Wurzel auf.
$(0,35 - p)^{2}$	$\leq$	$4 \cdot \frac{p (1 - p)}{600}$
	↓	Kürze.
$(0,35 - p)^{2}$	$\leq$	$\frac{p - p^{2}}{150}$
	↓	Berechne das Quadrat.
$0,1225 - 0,7 p + p^{2}$	$\leq$	$\frac{p - p^{2}}{150}$	$\cdot 150$
$18,375 - 105 p + 150 p^{2}$	$\leq$	$p - p^{2}$	$- p + p^{2}$
$18,375 - 106 p + 151 p^{2}$	$\leq$	$0$

$p_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 151, b = - 106$ und $c = 18,375$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 106) \pm \sqrt{(- 106)^{2} - 4 \cdot 151 \cdot 18,375}}{2 \cdot 151}$
	$=$	$\frac{106 \pm \sqrt{11236 - 11098,5}}{302}$
	$\approx$	$\frac{106 \pm 11,7260}{302}$

$\frac{σ}{n}$	$\leq$	$0,01$
$\frac{\sqrt{n \cdot p (1 - p)}}{n}$	$\leq$	$0,01$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\frac{n \cdot p (1 - p)}{n^{2}}$	$\leq$	${0,01}^{2}$
	↓	Kürze.
$\frac{p (1 - p)}{n}$	$\leq$	$0,0001$
	↓	Setze $p = 0,35$ ein.
$\frac{0,35 \cdot 0,65}{n}$	$\leq$	$0,0001$	$\cdot n$
$0,2275$	$\leq$	$0,0001 \cdot n$	$\cdot 10^{4}$
$2275$	$\leq$	$n$