Aufgaben zum Thema Konfidenzintervalle

Relative Häufigkeit berechnen

$X$ ist die Anzahl der $"6"$ und $X$ ist binomialverteilt.

Dann gilt für die relative Häufigkeit $h_n$ der $"6"$:

$h_n={\displaystyle \frac{X}{n}}={\displaystyle \frac{1200}{6000}}=\mathrm{0,2}$

In das Konfidenzintervall einsetzen

Mit einer Sicherheit von $\mathrm{99,7}\%$ soll die unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ für eine $"6"$ abgeschätzt werden.

Damit gilt: $|{\displaystyle \frac{X}{n}}-p|\le 3\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}\Rightarrow p\in [{\displaystyle \frac{X}{n}}-3\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}};{\displaystyle \frac{X}{n}}+3\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}]$

Mit $h_n={\displaystyle \frac{X}{n}}=\mathrm{0,2}$ folgt dann:

$p$ aus quadratischer Gleichung bestimmen

Die quadratische Gleichung $6009p^2-2409p+240=0$ kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden:

Damit erhält man die Intervallgrenzen:

$p_1\approx {\displaystyle \frac{2409-\mathrm{186,1209}}{12018}}\approx \mathrm{0,1850}$ und $p_2\approx {\displaystyle \frac{2409+\mathrm{186,1209}}{12018}}\approx \mathrm{0,2159}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{99,7}\%$ liegt $p$ im Intervall $[\mathrm{0,1850};\mathrm{0,2159}]$.

Schlussfolgerung:

Für einen nicht gefälschten Würfel ist $p={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$. Dieser $p$-Wert liegt nicht in dem berechneten Intervall, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{99,7}\%$ angenommen werden kann, dass der Würfel gefälscht ist.