Wahlteil - CAS

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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 1A
Die auf $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = 5 \cdot (e^{- 0,3 x} - e^{- 4 x})$ modelliert für $0 \leq x \leq 12$ die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut. Dabei beschreibt $x$ die Zeit in Stunden $(h)$ nach der Einnahme des Medikamentes und $f (x)$ die Konzentration in Milligramm pro Liter $(\frac{m g}{l})$ .
Berechnen Sie die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes. Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 $\frac{m g}{l}$ annimmt.
Bestimmen Sie, wie lange die Konzentration mindestens $0,5 \frac{mg}{l}$ beträgt. (6 BE)

Gib zunächst den Term in deinen CAS-Rechner ein.
Konzentration nach einer Stunde
Bestimme mithilfe des Rechners den Funktionswert einfach durch Einsetzen:
$f (1) \approx 3,6$
Somit beträgt die Konzentration nach einer Stunde noch $3,6 \frac{m g}{l}$
Konzentration übersteigt 2,8 $\frac{m g}{l}$
Verwende den "Löse"-Befehl (nSolve), um herauszufinden, wann $f (x) = 2,8$ ist.
Der CAS liefert $x \approx 0,25$ und $x \approx 1,93$ .
Dabei ist x in Stunden angegeben.
Da nach dem erstmaligen Überschreiten des Wertes gefragt ist, nimmst du den kleineren x-Wert als Lösung und rundest sinnvoll:
0,25 Stunden sind $0,25 \cdot 60 = 15$ Minuten.
Also wird der Wert erstmals nach ca 15 Minuten überschritten.
Konzentration mindestens $0,5 \frac{m g}{l}$
Verwende erneut den "Löse"-Befehl (nSolve), um herauszufinden, wann $f (x) = 0,5$ . Notiere dir diesmal beide Lösungen.
$x \approx 0,03$ und $x \approx 7,68$ (erneut in Stunden)
Um herauszufinden, wie lange die Konzentration im Blut mindestens $0,5 \frac{m g}{l}$ beträgt, subtrahierst du die beiden Zeitpunkte voneinander:
$Δ x = 7,68 - 0,03 = 7,65$ .
Die Konzentration ist also für 7,6 Stunden höher als $0,5 \frac{m g}{l}$
Aus der Angabe weißt du:
$x$ : vergangene Zeit in Stunden seit der Einnahme
$f (x) :$ vorhandene Konzentration in $\frac{m g}{l}$
Berechne den Funktionswert, indem du den x-Wert für eine Stunde einsetzt.
Berechne den x-Wert, indem du den Term mit dem Wert 2,8 gleichsetzt und die Gleichung löst.
Bestimme die Zeitpunkte, an denen die Funktion den Funktionswert 0,5 annimmt. Anschließend musst du aus den beiden Zeitpunkten eine Zeitspanne machen, indem du die Werte subtrahierst.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Konzentration ungefähr 0,7 Stunden nach der
Einnahme des Medikamentes mit etwa 3,75 $\frac{m g}{l}$ am größten ist. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
x-Koordinate der Extremstelle
Du kannst im ersten Schritt die Ableitungsfunktion mithilfe des CAS bestimmen:
$f^{'} (x) = 0,5 (40 e^{- 4 x} - 3 e^{- 0,3 x})$
Anschließend bestimmst du mit dem Löse-Befehl die Lösungen der Gleichung $f^{'} (x) = 0$
Wie in der Aufgabenstellung angegeben, erhältst du $x \approx 0,7$ .
Art der Extremstelle
Bilde die zweite Ableitung:
$f^{''} (x) = \frac{1}{20} (- 1600 e^{- 4 x} + 9 e^{- 0,3 x})$
Setze den soeben gefundenen Wert $x = 0,7$ ein:
$f^{''} (0,7) \approx - 4,5$
Da der zugehörige Wert der 2. Ableitung negativ ist, hat der Graph von f bei $x = 0,7$ einen Hochpunkt.
y-Koordinate bzw. zugehörige Konzentration
Setze zum Schluss noch $x = 0,7$ in die Funktion $f$ ein, um die angegebene Konzentration im Blut zu überprüfen:
$f (0,7) \approx 3,75$
Die Konzentration ist nach rund $0,7$ Stunden mit etwa $375 \frac{m g}{l}$ am höchsten.
Bestimme mithilfe des CAS-Rechners den Extrempunkt des Graphen:
Bestimme die Ableitung $f^{'}$
Bestimme die Nullstellen der Ableitung $f^{'} (x) = 0$
Bestimme die Art der gefundenen Extremstelle mithilfe der zweiten Ableitung:
Bilde die zweite Ableitung $f^{''}$
Setze den soeben gefundenen x-Wert in $f^{''}$ ein
Überprüfe den zugehörigen y-Wert, indem du den x-Wert auch in $f$ einsetzt.

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration genau so groß ist wie zwei Stunden später. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Berechnung des x-Wertes
Sei $x_{0}$ ein beliebiger Startzeitpunkt. Dann ist gesucht, wann der Wert, der zwei Stunden nach $x_{0}$ angenommen wird, genauso groß ist wie der von $x_{0} :$
$f (x_{0}) = f (x_{0} + 2)$
Der CAS-Rechner liefert $x \approx 0,22$
Also nach 0,2 Stunden.
Verwende den CAS-Rechner, um den Zeitpunkt $x_{0}$ herauszufinden, bei dem $f (x_{0})$ und $f (x_{0} + 2)$ übereinstimmen.

Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung $f^{'} (x) = \frac{f (x + 1) - f (x - 1)}{2}$ und interpretieren Sie die Lösung im Sachzusammenhang. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
Der CAS-Rechner liefert nach dem Löse-Befehl (nSolve) für $f^{'} (x) = \frac{f (x + 1) - f (x - 1)}{2}$ : $x \approx 2,3$
Die Ableitungsfunktion $f^{'}$ beschreibt die (Tangenten-)Steigung einer Funktion an einem ausgewählten x-Wert.
Der Bruch auf der rechten Seite ist ein Differenzenquotient: Es wird die durchschnittliche Steigung (Sekantensteigung) zwischen zwei x-Werten bestimmt, von denen einer um eins größer ist als der gerade betrachtete x-Wert und einer um eins kleiner.
In der Abbildung unten siehst du die graphische Interpretation: Gesucht ist der Punkt, an dem die Tangentensteigung genau so groß ist wie die oben definierte Sekantensteigung.
Skizze der Graphen
Deuten solltest du die Gleichung aber auch im Sachkontext:
2,3 Stunden nach der Einnahme ist die durchschnittliche Abnahme der Konzentration im Zeitraum zwischen 1,3 und 3,3 Stunden genau so groß wie die tatsächliche, momentane Abnahme der Konzentration.
Besimme zunächst die Lösung der Gleichung mit dem CAS-Rechner.
Zur Interpretation musst du dich an den Differenzenquotient (bzw. die Sekantensteigung) und die Bedeutung der Ableitungsfunktion erinnern.

Eine vereinfachte Modellierung geht davon aus, dass bis 6 Stunden nach der Einnahme des Medikamentes die Konzentration durch $f$ beschrieben wird und danach die Abnahmerate der Konzentration konstant ist. Dabei ist die konstante Abnahmerate so groß wie die Änderungsrate der durch $f$ beschriebenen Konzentration nach 6 Stunden.
Berechnen Sie den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem Modell null ist. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Tangente bestimmen
Da der Graph an der Stelle $x = 6$ stetig fortgesetzt werden soll, muss die Gerade, die daran anschließt, die gleiche Steigung haben. Es handelt sich also um die Tangente im Punkt $P (6 | f (6))$ .
Du kannst die Tangente im CAS-Rechner bestimmen, zur Kontrolle hier aber das Ergebnis Schritt für Schritt berechnet:
$m = f^{'} (6) \approx - 0,25$ (gleiche Steigung)
und
$f (6) \approx 0,83$ (gleicher Funktionswert).
Also ist die Tangente in Punkt-Steigungs-Form:
$y = - 0,25 (x - 6) + 0,83$
bzw.
$y = - 0,25 x + 2,33$
Nullstelle der Tangente
Bestimme im CAS-Rechner die Nullstelle der Tangente, indem du die Lösung der Gleichung $- 0,25 x + 2,33 = 0$ bestimmst oder berechne sie durch Umformen selbst.
Du erhältst: $x \approx 9,3$
Also sinkt die Konzentration $9,3$ Stunden nach der Einnahme auf $0 \frac{m g}{l}$ .
Bestimme zunächst die Tangente am Graphen im Punkt $P (6 | f (6))$ . Vielleicht kann das dein CAS-Rechner, sonst benötigst du die Steigung an dieser Stelle ( $f^{'} (6) = 0$ ) und den Funktionswert $(f (6))$ .
Bestimme dann die Nullstelle der Tangente.

Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut eingenommen. Die Gesamtkonzentration ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der durch $f$ beschriebenen Konzentrationen, die sich aus der ersten und zweiten Einnahme ergeben. Die Gesamtkonzentration soll $6 \frac{mg}{l}$ nicht übersteigen.
Untersuchen Sie, ob diese Vorgabe eingehalten wird. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Aus einer früheren Teilaufgabe weißt du, dass die höchste Konzentration 3,75 $\frac{m g}{l}$
Term für die Einnahme der zweiten Tablette
Durch $f (x - 4)$ wird der Graph der Funktion f um vier nach rechts verschoben:
Darstellung der Graphen
Das allein genügt jedoch nicht, denn die bereits vorhandene Menge im Blut muss ebenfalls berücksichtigt werden. Diese muss dazuaddiert werden:
$f (x) + f (x - 4)$
Darstellung der Graphen
Hochpunkt des neuen Funktionsgraphen
Bestimme mithilfe des CAS-Rechners die Extremstellen der neuen Hilfs-Funktion $h (x) = f (x) + f (x - 4) :$
$h^{'} (x) = 5 (4 e^{- 4 x} - 0,3 e^{- 0,3 x}) + 5 (4 e^{- 4 (x - 4)} - 0,3 e^{- 0,3 (x - 4)})$
Bestimme die Nullstellen der Ableitung:
$h^{'} (x) = 0$ für $x \approx 4,63$
Bestimme die Art, indem du den Wert in die zweite Ableitung einsetzt:
$h^{''} (4,63) < 0$ also liegt ein Hochpunkt vor.
Bestimme den zugehörigen Funktionswert:
$h (4,63) \approx 4,98$
Die höchste Konzentration ist mit $4,98 \frac{m g}{l}$ unter dem vorgegebenen Höchstwert.
Untersuche, wie sich der Term verändert:
Statt bei $x = 0$ zu starten, musst du bei $x = 4$ starten, den Graphen also um 4 nach rechts verschieben
Außerdem musst du aber die noch vorhandene Restmenge von der ersten Tablette dazurechnen. Addiere den Term aus dem ersten Schritt zum Term der Ausgangsfunktion
Von dieser neuen Hilfsfunktion kannst du dann die Extremstelle und die zugehörige Konzentration bestimmen:
Bestimme die Ableitung
Bestimme die Nullstellen der Ableitung
Weise mit der 2. Ableitung nach, dass es sich um einen Hochpunkt handelt
Setze die gefundenen Nullstellen in die Hilfsfunktion ein und prüfe, ob der Wert kleiner als 6 $\frac{m g}{l}$ ist

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = e^{- a \cdot x} - e^{- 4 x}, x \in ℝ, a > 0, a \neq 4$ , gegeben. In der Abbildung sind zwei Graphen der Schar dargestellt. Jeder Graph der Funktionenschar hat genau einen Extrempunkt.
Berechnen Sie die Werte von $a$ , für die die Fläche zwischen dem Graph von $f_{a}$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0; 1]$ den Inhalt 0,2 hat. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Integral bestimmen
Nachdem du den Term mit dem Parameter $a$ eingegeben hast, kannst du das Integral im Bereich $[0; 1]$ bestimmen und als Hilfsfunktion benennen:
$h (x) = | \int_{0}^{1} f_{a} (x) d x | = | \frac{(a - 4)}{4 a} + \frac{- 4 e^{4} e^{- a} + a}{4 a e^{4}} |$
Gleichung aufstellen und lösen
Du suchst die Werte von $a,$ für die der Betrag des Integrals gleich $0,2$ ist.
Löse die folgende Gleichung: $h (x) = 0,2$
Du findest die beiden Werte $a_{1} \approx 1,9$ und $a_{2} \approx 22,0$
Gib den neuen Term in den CAS-Rechner ein.
Bestimme das Integral im Bereich $[0; 1]$ .
Setze das Ergebnis in Betragsstriche.
Bestimme, wann der Wert $0,2$ angenommen wird.

Entscheiden Sie, für welche Werte von $a$ an der Extremstelle ein Maximum und für welche ein Minimum vorliegt.
Begründen Sie Ihre Entscheidung ohne Berechnung der Extremstelle. (6 BE)

Extrema in Abhängigkeit von $a$
Aus der Abbildung in Teilaufgabe (g) erkennst du, dass es Graphen mit einem Tiefpunkt und Graphen mit einem Hochpunkt gibt.
Für die Funktion $f_{a} (x)$ gilt
$\begin{array}{r} \lim_{x \to \infty} f_{a} (x) = 0 \\ f_{a} (0) = 0 \end{array}$
Dadurch:
Graphen mit einem Hochpunkt sind für $x > 0$ oberhalb der x-Achse.
Graphen mit einem Tiefpunkt sind für $x > 0$ unterhalb der x-Achse.
Der Funktionsterm nimmt für $x > 0$ Werte in Abhängigkeit von $a$ an.
Die Terme $e^{- a x}$ und $e^{- 4 x}$ können mit dem Potenzgesetz umgeformt und verglichen werden, um herauszufinden, wann diese Fälle eintreten.
$e^{- a x}$ $=$ $e^{- 4 x}$
$(\frac{1}{e^{a}})^{x}$ $=$ $(\frac{1}{e^{4}})^{x}$
$Beispiel für a>4: (\frac{1}{e^{8}})^{x}$ $<$ $(\frac{1}{e^{4}})^{x} weil e^{8} > e^{4}$
$Beispiel für 0<a<4: (\frac{1}{e^{2}})^{x}$ $>$ $(\frac{1}{e^{4}})^{x} weil e^{2} < e^{4}$
Für $a = 4$ wären die Terme gleich.
Also untersuchen wir zwei Fälle mit dem Funktionsterm:
$0 < a < 4$ , dann gilt für $x > 0$ : $f_{a} (x) = \underset{für a<4 größer als der andere Term}{\underset{⏟}{e^{- a \cdot x}}} - e^{- 4 x} > 0$
$a > 4$ , dann gilt für $x > 0$ : $f_{a} (x) = \underset{für a>4 kleiner als der andere Term}{\underset{⏟}{e^{- a \cdot x}}} - e^{- 4 x} < 0$
Der erste Fall beschreibt Graphen mit einem Hochpunkt, der zweite Fall Graphen mit einem Tiefpunkt, siehe Abbildung.
Untersuche die beiden Terme in der Funktionsgleichung und überlege, welcher der Terme größer ist für verschiedene Werte von $a$ .

Der Graph von $f_{a}$ wird an der $x$ -Achse gespiegelt.
Berechnen Sie die Werte von $a$ , für die sich der gespiegelte Graph und der Graph von $f_{a}$ unter einem rechten Winkel schneiden. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei zueinander senkrechte Geraden
Wert für $a$ damit sich die Graphen senkrecht schneiden
Die gespiegelte Funktion $g (x) = - f (x)$ ist:
$g_{a} (x) = - f_{a} (x) = - e^{- a \cdot x} + e^{- 4 x}$
Die Graphen schneiden sich in der Stelle $x = 0$ , was zum Beispiel durch den Solve-Befehl der Gleichung $f_{a} (x) = g_{a} (x)$ folgt.
Damit die Graphen sich senkrecht schneiden, muss gelten:
$f_{a}^{'} (0) \cdot g_{a}^{'} (0) = - 1$
Genau dann sind die Tangenten der Graphen senkrecht aufeinander stehende Geraden.
$- 1$ $=$ $f_{a}^{'} (0) \cdot g_{a}^{'} (0)$
$=$ $((- a) \cdot e^{- a \cdot 0} - (- 4) \cdot e^{- 4 \cdot 0}) \cdot (- (- a) \cdot e^{- a \cdot 0} + (- 4) \cdot e^{- 4 \cdot 0})$
$=$ $(- a + 4) \cdot (a - 4)$
Diese Gleichung kann der TR lösen: $a = 3 \lor a = 5$ sind Lösungen.
Bestimme die gespiegelte Funktion $g_{a} (x) = - f_{a} (x)$ .
Bestimme, in welcher Stelle sich die Graphen immer schneiden.
Verwende das Kriterium für orthogonale Geraden, um eine Gleichung für $a$ aufzustellen. Hierbei müssen die Ableitungen der Funktion $f$ und der gespiegelten Funktion verwendet werden.

Aufgabe 1B

Gegeben ist die auf $ℝ$ definierte Funktionenschar $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = x (x - a) (x - 2 a), a \neq 0$

Geben Sie die Nullstellen des Graphen von $f_{3}$ an.

Berechnen Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $f_{3}$ . (5 BE)

Bestimmen Sie den Wert von $a, a \neq 3$ , für den der zugehörige Graph von $f_{a}$ im Intervall $[- 1; 0]$ dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von $f_{3}$ . (5 BE)

Begründen Sie, dass für jeden Wert von $a$ die Graphen zu $f_{a}$ und $f_{- a}$ im Koordinatenursprung dieselbe Tangente haben. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Ableitung
Wir formen zuerst $f_{a}$ um, damit wir die Ableitung leichter bilden können. Dazu multiplizieren wir alle Klammern aus:
$\begin{aligned} f_{a} (x) & = x (x - a) (x - 2 a) \\ = x (x^{2} - 2 a x - a x + 2 a^{2}) \\ = x^{3} - 3 a x^{2} + 2 a^{2} x \end{aligned}$
Dann berechnen wir die Ableitung mit der Summen- und Potenzregel:
$f_{a}^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 a x + 2 a^{2}$
Parallelität
Die Steigung der Tangente zu $f_{a}$ bei $x = 0$ ist $f_{a}^{'} (0)$ . Dies können wir einfach ausrechnen: $m_{a} = f_{a}^{'} (0) = 2 a^{2}$ . Analog ist die Steigung der Tangente zu $f_{- a}$ durch $f_{- a}^{'} (0)$ gegeben:
$m_{- a} = f_{- a}^{'} (0) = 2 (- a)^{2} = 2 a^{2} = m_{a}$
Also haben beide Tangenten die gleiche Steigung, sind also parallel.
Identisch
Da $x = 0$ eine Nullstelle von $f_{a}$ und von $f_{- a}$ ist, gilt $f_{a} (0) = 0 = f_{- a} (0)$ . Da die Tangenten zu $f_{\pm a}$ bei $x = 0$ jeweils durch $f_{\pm a} (0)$ laufen, gehen beide durch den Punkt $(0 | 0)$ . Insbesondere schneiden sich also beide Tangenten. Da sie außerdem parallel sind, müssen sie identisch sein.
Bilde die Ableitung von $f_{a}$
Zeige, dass die Tangenten parallel sind
Begründe, warum die Tangenten identisch sein müssen

Zeigen Sie, dass für jeden Wert von $a$ der Graph zu $f_{a}$ durch eine Spiegelung am Punkt $(0 | 0)$ auf den Graphen von $f_{- a}$ abgebildet wird. (4 BE)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Wendepunkt $(a | 0)$ .
Berechnen Sie die Werte von $a$ , für die diese Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Beschreibung des Dreiecks
Da zwei der Seiten des Dreiecks auf den Koordinatenachsen liegen, ist es insbesondere ein rechtwinkliges Dreieck.
Da in einem gleichschenkligen Dreieck die zwei Basiswinkel gleich groß sein müssen, folgt mit der Innenwinkelsumme, dass die Basiswinkel 45 Grad groß sein müssen.
Steigung folgern
Wir wissen nun, dass die Tangente in einem Winkel von 45 Grad zu den Koordinatenachsen liegt. Die einzigen möglichen Steigungen sind damit $m = \pm 1$ .
Parameter finden
Wir berechnen nun zuerst die Steigungen der Tangenten zu $f_{a}$ bei $x = a$ . Diese ist durch die Ableitung $f_{a}^{'} (a)$ gegeben. Also gilt:
$m = f_{a}^{'} (a) = 3 a^{2} - 6 a^{2} + 2 a^{2} = - a^{2}$
Wir wissen bereits, dass das Dreieck nur bei den Steigungen $m_{1,2} = \pm 1$ gleichschenklig ist. Also setzen wir gleich und lösen nach $a$ :
$m_{1,2} = - a^{2} \overset{!}{=} \pm 1$
Da Quadrate nicht negativ werden, kann der Fall $m = 1$ nicht erreicht werden und wir lösen:
$- a^{2} = - 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$
Also ist das gebildete Dreieck für $a = \pm 1$ gleichschenklig.
Überlege dir, wie dieses Dreieck aussieht
Folgere, welche Steigung die Tangenten haben muss
Löse nach dem Parameter $a$ auf

Berechnen Sie die Werte von $a$ , sodass die Fläche zwischen dem zugehörigen Graphen von $f_{a}$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0; 2]$ den Inhalt 1 hat. (8 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Stammfunktion berechnen

Da wir im Laufe der Aufgabe das Integral von $f_{a}$ mehrfach ausrechnen müssen, berechnen wir die Stammfunktion einmal und wenden sie dann wiederholt an.

Zuerst multiplizieren wir $f_{a}$ aus und erhalten $f_{a} = x^{3} - 3 a x^{2} + 2 a^{2} x$ . Dann ist die Stammfunktion nach der Summen- und Potenzregel:

F_{a} = \frac{1}{4} x^{4} - a x^{3} + a^{2} x^{2}

Intervall auftrennen

Um die Fläche auszurechnen, müssen wir zuerst untersuchen, ob die Funktion im Intervall $] 0; 2 [$ einen Vorzeichenwechsel hat. Da eine Funktion nur in Nullstellen ihr Vorzeichen wechseln kann, untersuchen wir die Nullstellen von $f_{a}$ .

Diese sind bei $x_{1} = 0, x_{2} = a, x_{3} = 2 a$ .

Die verschiedenen Fälle sind also:

$a \leq 0$ : Keine der Nullstellen liegt in $] 0; 2 [$
$0 < a < 1$ : Die Nullstellen $a$ und $2 a$ liegen in $] 0; 2 [$
$1 \leq a < 2$ : Nur die Nullstelle $a$ liegt in $] 0; 2 [$
$2 \leq a$ : Keine der Nullstellen liegen in $] 0; 2 [$

Da die anderen Fälle nicht leicht abzuschätzen sind, berechnen wir diese direkt.

Integrale berechnen

$0 < a < 1$ :

In diesem Fall trennen wir das Intervall zu $] 0; a [\cup] a; 2 a [\cup] 2 a; 2 [$ auf. Dementsprechend müssen wir drei Integrale ausrechnen:

Also ist die Fläche im Fall $0 < a < 1$ :

$A_{0 < a < 1}$	$=$	$A_{1} + A_{2} + A_{3}$
	↓	Die Flächen müssen positiv sein
	$=$	$\| I_{1} \| + \| I_{2} \| + \| I_{3} \|$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{4} a^{4} + 4 (a - 1)^{2}$
	↓	Zusammenfassen und die 2. Binomische Formel anwenden
	$=$	$\frac{1}{2} a^{4} + 4 (a^{2} - 2 a + 1)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{1}{2} a^{4} + 4 a^{2} - 8 a + 4$

$1 \leq a < 2$ :

Wir trennen das Intervall zu $] 0; a [\cap] a, 2 [$ auf.

Um nun die Fläche auszurechnen, müssen wir überprüfen, ob die Integrale positiv oder negativ sind. Das erste Integral ist offensichtlich nicht-negativ, da $a^{4}$ nicht-negativ ist. Das zweite Integral ist etwas komplizierter. Wir berechnen zuerst den Wert des Integrals für $a = 1$ :

I_{2}^{'} (1) = - \frac{1}{4} + 4 - 8 + 4 = - \frac{1}{4}

Da wir unsere Intervalle so gewählt haben, dass die Funktion auf ihnen konstant negativ oder positiv ist, muss also $I_{2}^{'} < 0$ für das gesamte Intervall, also $1 \leq a < 2$ , gelten. Also ist:

$A$	$=$	$A_{1}^{'} + A_{2}^{'}$
	↓	Die Flächen müssen positiv sein
	$=$	$\| I_{1}^{'} \| + \| I_{2}^{'} \|$
	↓	Einsetzen der Integrale, wobei das zweite Integral invertiert werden muss
	$=$	$\frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{4} a^{4} - 4 a^{2} + 8 a - 4$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\frac{1}{2} a^{4} - 4 a^{2} + 8 a - 4$

Lösen nach $a$

Wir setzen nun die Formeln der Fläche gleich $1$ und lösen nach $a$ . Da wir Polynome vom Grad $4$ nicht per Hand lösen können, lassen wir den Taschenrechner für uns rechnen. Nutze dazu den Befehl "nSolve".

Im ersten Fall liefert das: $a_{1} \approx 0,508$ und $a_{2} \approx 1,158$ .

Da wir im ersten Fall aber $0 < a < 1$ haben, ist der gesuchte Wert $a_{1} \approx 0,51$ .

Im zweiten Fall liefert der Rechner: $a_{1} \approx - 3,629$ und $a_{2} \approx 1,267$ . Da wir hier $1 \leq a < 2$ haben, ist der gesuchte Wert $a_{2} \approx 1,27$ .

Also sind die Werte für $a$ , sodass die Fläche zwischen $f_{a}$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0; 2]$ die Größe $1$ hat: $a_{1} \approx 0,51$ und $a_{2} \approx 1,27$ .

Berechnen Sie die Koordinaten der Tiefpunkte der Graphen von $f_{a}$ . (4 BE)

Betrachtet wird nun die Funktion $f_{3}$ .

Die Tangente an den Graphen von $f_{3}$ im Tiefpunkt schließt mit dem Graphen von $f_{3}$ eine Fläche ein. Außerdem schließt der Graph von $f_{3}$ mit der $x$ -Achse im Intervall $[0; 3]$ eine Fläche ein.

Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen. (7 BE)

3
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 1C
Gegeben ist die auf $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = - \frac{1}{100} \cdot (\frac{1}{500} x^{4} - \frac{1}{8} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - 45 x)$ . Im Küstenschutz ist ein neuer Deich von Bedeutung: der Klimadeich. Der Querschnitt eines Klimadeiches wird durch die von dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossenen Fläche modelliert. Dabei werden $x$ und $f (x)$ in Metern $(m)$ angegeben.
Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ . Markieren Sie auf der $x$ -Achse das Intervall, in dem der Klimadeich mindestens $5 m$ hoch ist.
Ein moderner Deich ist etwa fünfmal so breit wie er hoch ist.
Entscheiden Sie, ob der Klimadeich diese Regel erfüllt.
Begründen Sie Ihre Entscheidung nur mithilfe der Abbildung. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Intervall, in dem der Klimadeich mindestens $5 m$ hoch ist
Zeichne eine Parallele zur x-Achse im Abstand $5$ . Betrachte die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Parallelen mit dem Graphen von $f$ .
Dann gehen die Markierung auf der x-Achse von etwa $17$ bis etwa $42$ .

Entscheidung, ob der Klimadeich diese Regel (etwa fünfmal so breit wie er hoch) erfüllt
Die beiden Nullstellen von $f$ liegen bei $x = 0$ und bei $x \approx 46$ , d.h. der Deich hat eine Breite von etwa $46 m$ . Die y-Koordinate des Maximums ist die Dammhöhe. Sie beträgt etwa $9 m$ .
$\Rightarrow \frac{46}{9} \approx 5$
Der Klimadeich erfüllt diese Regel.
Teil 1
Zeichne eine Parallele im Abstand $5$ zur x-Achse ein.
Betrachte die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Parallelen mit dem Graphen von $f$ .
Teil 2
Die Differenz der beiden Nullstellen ergibt die Breite des Damms. Die y-Koordinate des Maximums ist die Dammhöhe. Bilde den Quotienten.

Die maximale Höhe des Klimadeiches ist 0,9 $m$ höher als die des zuvor vorhandenen Deiches.
Berechnen Sie die maximale Höhe des früheren Deiches auf $cm$ genau. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Maximale Höhe des früheren Deiches auf $cm$ genau
Berechne $f^{'} (x) = 0$ :
GeoGebra-TR
An der Stelle $x \approx 33,14$ liegt das Maximum der Funktion $f$ vor.
$f (33,14)$ ist die maximale Höhe des Deiches.
$f (33,14) = - \frac{1}{100} \cdot (\frac{1}{500} \cdot {33,14}^{4} - \frac{1}{8} \cdot {33,14}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {33,14}^{2} - 45 \cdot 33,14) \approx 8,83$
Die Höhe des früheren Deiches ist dann:
$f (33,14) - 0,09 \approx 8,83 - 0,9 = 7,93 m$
Berechne $f^{'} (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1}$ (Stelle des höchsten Punkts).
Deichhöhe des Klimadeiches: Berechne $f (x_{1})$ .
Höhe des früheren Deiches: Berechne $f (x_{1}) - 0,9$ .

Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$ .
Berechnen Sie den Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x = 0$ . (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung und Steigungswinkel
Durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$
Durchschnittliche Steigung $= \frac{f (30) - f (0)}{30 - 0}$
Mit $f (30) = \frac{171}{20}$ und $f (0) = 0$ folgt dann:
Durchschnittliche Steigung $= \frac{\frac{171}{20} - 0}{30} = \frac{57}{200} = 0,285$
Die durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$ beträgt $0,285$ .
Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x = 0$
Es ist $f^{'} (0) = \frac{9}{20}$ .
Dann gilt für den Neigungswinkel des Klimadeiches:
$α = \tan^{- 1} (\frac{9}{20}) \approx {24,2}^{\circ}$
Der Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x = 0$ beträgt rund $24^{\circ}$ .
Teil 1
Die durchschnittliche Steigung beträgt $\frac{f (30) - f (0)}{30 - 0}$ .
Teil2
Berechne $f^{'} (0) \Rightarrow α = \tan^{- 1} (f^{'} (0))$ .

Der Klimadeich besteht aus einem Sandkern und einer Abdeckungsschicht aus Kleiboden. Im Querschnitt hat die Abdeckungsschicht aus Kleiboden im Bereich $5 \leq x \leq 42$ an jeder Stelle eine vertikale Dicke von $1,5 m$ .
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$ . (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Prozentualer Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$
Oberer Randverlauf des Sandkerns: $g (x) = f (x) - 1,5$
Inhalt des Querschnitts: $A_{Q} = \int_{5}^{42} f (x) d x \approx 224,37$
Inhalt des Sandkernquerschnitts: $A_{S} = \int_{5}^{42} g (x) d x \approx 168,97$
Dann gilt für das Verhältnis: $\frac{A_{S}}{A_{Q}} = \frac{168,97}{224,37} \approx 0,753$
Der prozentuale Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$ beträgt rund $75 %$ .
Der obere Randverlauf des Sandkerns wird durch $g (x) = f (x) - 1,5$ beschrieben.
Berechne jeweils mit einem Integral die beiden Flächeninhalte über $f (x)$ und $g (x)$ von $5$ bis $42$ und bilde dann den Quotienten der beiden Flächeninhalte.

Begründen Sie, dass im Bereich von $a$ bis $b$ mit $5 \leq a < b \leq 42$ der Inhalt des
Querschnitts der Kleibodenschicht mit $1,5 \cdot (b - a)$ berechnet werden kann. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Querschnitts der Kleibodenschicht kann mit $1,5 \cdot (b - a)$ berechnet werden
Der untere Rand der Kleibodenschicht ist gegeben durch $g (x) = f (x) - 1,5$ .
Der Flächeninhalt des Querschnitts der Kleibodenschicht ist: $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x = \int_{a}^{b} (f (x) - (f (x) - 1,5)) d x = \int_{a}^{b} 1,5 d x$
$\int_{a}^{b} 1,5 d x = [1,5 x]_{a}^{b} = 1,5 \cdot (b - a)$
Damit ist gezeigt, dass der Inhalt des Querschnitts der Kleibodenschicht mit $1,5 \cdot (b - a)$ berechnet werden kann.
Der untere Rand der Kleibodenschicht ist gegeben durch $g (x) = f (x) - 1,5$ .
Berechne dann $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x .$

An der Stelle $x = 42$ wird senkrecht zum oberen Rand des Querschnitts eine $1,30 m$ lange geradlinige Bohrung durchgeführt.
Untersuchen Sie, ob diese Bohrung den Sandkern erreicht. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
Aufstellen der Normalen
Punkt $P (42 | f (42)) \Rightarrow P (42 | \frac{64701}{12500})$
Die Ableitung an der Stelle $x = 42$ ist: $f^{'} (42) = - \frac{24051}{25000}$
Die Normalengleichung lautet: $n (x) = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0}) + f (x_{0})$
Mit den angegebenen Werten erhält man:
$n (x) = - \frac{1}{- \frac{24051}{25000}} (x - 42) + \frac{64701}{12500} = \frac{25000}{24051} \cdot x - \frac{25000}{24051} \cdot 42 + \frac{64701}{12500}$
$n (x) \approx 1,0395 \cdot x - 38,4811$
Schnittpunkt der Normalen $n (x)$ mit $g (x)$
Mit $x_{N} \approx 41,23$ erhält man $g (41,23) \approx 4,371$ .
Dann gilt für die Länge der Strecke in der Kleibodenschicht:
$d = \sqrt{(42 - x_{N})^{2} + (f (42) - g (x_{N}))^{2}}$
$d = \sqrt{(42 - 41,23)^{2} + {(\frac{64701}{12500} - 4,371)}^{2}} \approx 1,11$
Diese Länge ist kleiner als $1,3$ , d.h der Sandkern wird erreicht.
Berechne $P (42 | f (42))$ und $f^{'} (42)$ und ermittle die Normalengleichung: $n (x) = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0}) + f (x_{0})$
Berechne den Schnittpunkt der Normalen $n (x)$ mit der Gleichung für den oberen Randverlauf des Sandkerns $g (x)$ $\Rightarrow x_{N}$
Für die Länge der Strecke in der Kleibodenschicht gilt: $d = \sqrt{(42 - x_{N})^{2} + (f (42) - g (x_{N}))^{2}}$
Vergleiche $d$ mit der Länge der geradlinigen Bohrung.

Der obere Rand des Querschnitts des Sandkerns wird neu modelliert.
Der obere Rand des Querschnitts des Klimadeiches wird weiterhin durch $f$ beschrieben.
Gegeben ist die auf $ℝ$ definierte Funktionenschar $g_{k}$ mit
$g_{k} (x) = 0,3 \cdot (x - k)^{2} \cdot e^{0,16 \cdot (x - k) + 0,2}$ .
Die Graphen von $g_{k}$ sollen für $5 \leq x \leq 42$ und $41,5 \leq k \leq 47,5$ den oberen Rand des
Querschnitts des Sandkerns beschreiben.
In der Abbildung sind die Graphen von zwei Vertretern von $g_{k}$ abgebildet.
Geben Sie für Graph I
und Graph II jeweils
einen Näherungswert
für $k$ an.
Begründen Sie Ihre Angaben. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berührpunkte bei Funktionsgraphen
Näherungswert für $k$ für Graph I und Graph II
Der Graph von $g_{k} (x) = 0,3 \cdot (x - k)^{2} \cdot e^{0,16 \cdot (x - k) + 0,2}$ besitzt an der Stelle $x = k$ eine doppelte Nullstelle. Doppelte Nullstellen bedeuten, dass der Graph von $g_{k}$ einen Berührpunkt mit der x-Achse hat.
Hier hat der Graph I an der Stelle $x \approx 42$ einen Berührpunkt mit der x-Achse $\Rightarrow k \approx 42$
Der Graph II hat an der Stelle $x \approx 47$ einen Berührpunkt mit der x-Achse $\Rightarrow k \approx 47$
Der Graph von $g_{k} (x) = 0,3 \cdot (x - k)^{2} \cdot e^{0,16 \cdot (x - k) + 0,2}$ besitzt an der Stelle $x = k$ eine doppelte Nullstelle.
Doppelte Nullstellen bedeuten, dass der Graph von $g_{k}$ einen Berührpunkt mit der x-Achse hat.
Finde in der Abbildung jeweils die Berührstellen mit der x-Achse.

Die vertikale Dicke der Abdeckungsschicht aus Kleiboden soll
$2 m$ an der Stelle $x = 14$ betragen und
im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$ an jeder Stelle mindestens $0,95 m$ betragen.
Untersuchen Sie, ob es einen Wert für $k$ mit $41,5 \leq k \leq 47,5$ gibt, sodass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind. (7 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gibt es einen Wert für $k$ mit $41,5 \leq k \leq 47,5$ , sodass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind?
Bedingung I:
Man erhält die Gleichung $f (14) - g_{k} (14) = 2$ .
Im Bereich $41,5 \leq k \leq 47,5$ liegt die Lösung der Gleichung $f (14) - g_{k} (14) = 2$ bei $k \approx 46,9$ .
Bedingung II:
Die vertikale Dicke soll im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$ an jeder Stelle mindestens $0,95 m$ betragen.
Man erhält für $5 \leq x \leq 42$ die Gleichung $f (x) - g_{46,9} (x) \geq 0,95$ .
Berechne für $x$ aus dem gegebenen Intervall einige Werte $f (x) - g_{46,9} (x)$ und vergleiche.
x
$f (x) - g_{46,9} (x)$
Vergleich
$20$
$2,22$
$> 0,95$
$30$
$1,54$
$> 0,95$
$35$
$0,98$
$> 0,95$
$38$
$0,90$
$< 0,95$
Die letzte Tabellenzeile führt zu einem Widerspruch der Behauptung.
Es gibt keinen Wert für $k$ , der beide Bedingungen erfüllt.
Bedingung I:
Man erhält die Gleichung $f (14) - g_{k} (14) = 2$ mit der Lösung $k_{1}$ .
Bedingung II:
Man erhält für $5 \leq x \leq 42$ die Gleichung $f (x) - g_{k_{1}} (x) \geq 0,95$ .
Setze einige Werte für $x$ aus dem gegebenen Intervall in die Ungleichung ein und überprüfe, ob die Ungleichung erfüllt ist.

x	$f (x) - g_{46,9} (x)$	Vergleich
$20$	$2,22$	$> 0,95$
$30$	$1,54$	$> 0,95$
$35$	$0,98$	$> 0,95$
$38$	$0,90$	$< 0,95$

Aufgabe 2A

Für ein Land wird die Bevölkerungsgruppe der Erwachsenen betrachtet. In dieser

Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil der Internetnutzer $88 %$ ; der Anteil derjenigen, die mindestens 65 Jahre alt sind und das Internet nutzen, beträgt $17 %$ . Die betrachtete Bevölkerungsgruppe besteht aus 60,7 Millionen Personen, von denen 16,4 Millionen mindestens 65 Jahre alt sind.

Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden folgende Ereignisse:

A: „Die Person nutzt das Internet.“

B: „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Vierfeldertafel
A: „Die Person nutzt das Internet.“
B: „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“
Dann ist gegeben:
$P (A) = 88 %$ und $P (A \cap B) = 17 %$
$\Rightarrow P (B \cap A) = 88 % - 17 % = 71 %$
Weiterhin ist $P (B) = \frac{16,4 \cdot 10^{6}}{60,7 \cdot 10^{6}} \approx 27 %$ .
Dann ist $P (B) = 1 - P (B) = 73 %$ .
$P (A \cap B) = P (B) - P (A \cap B) = 27 % - 17 % = 10 %$
$P (A \cap B) = P (B) - P (A \cap B) = 73 % - 71 % = 2 %$
$P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap B) = 10 % + 2 % = 12 %$
Das ergibt folgende Vierfeldertafel:
Ausgefüllte Vierfeldertafel
Es ist gegeben: $P (A) = 88 %$ und $P (A \cap B) = 17 %$
Ergänze die Vierfeldertafel.
Untersuchen Sie, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
Sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?
Es gilt zum Beispiel: $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{17 %}{27 %} \approx 63 %$
Andererseits ist aber $P (A) = 88 %$ .
Da $P_{B} (A) \neq P (A) \Rightarrow A$ und $B$ sind stochastisch abhängig.
Berechne zum Beispiel $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ und vergleiche mit $P (A)$ .
Beschreiben Sie das Ereignis „ $\overline{A}$ und $B^{''}$ im Sachzusammenhang. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ereignisse
Ereignis „⁣ $\overline{A}$ und $B$ " im Sachzusammenhang
$A$ : „Die Person nutzt kein Internet.“
$B$ : „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“
Dann ist „⁣ $A$ und $B$ ": Die Person ist mindestens 65 Jahre alt und nutzt das Internet nicht.
$A$ : „Die Person nutzt kein Internet.“
$B$ : „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“
Beschreibe damit das Ereignis „ $\overline{A}$ und $B^{''}$ .
Bestimmen Sie für den Fall, dass die ausgewählte Person jünger als 65 Jahre ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie das Internet nutzt. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ausgewählte Person ist jünger als 65 Jahre und nutzt das Internet
A: „Die Person nutzt das Internet.“
$B$ : „Die Person ist jünger als 65 Jahre.“
$P (A \cap B) = 71 %$ und $P (B) = 73 %$ (siehe Vierfeldertafel)
Dann ist $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{71 %}{73 %} \approx 97 %$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt rund $97 %$ .
Es ist $A$ : „Die Person nutzt das Internet.“ und $B$ : „Die Person ist jünger als 65 Jahre.“
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ .
In der betrachteten Bevölkerungsgruppe nutzen etwa $72 %$ das Internet mit einem Smartphone.
Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe werden 150 Personen zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als $10 %$ vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als $10 %$ vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht
Es ist $X$ : die Anzahl derjenigen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen
Dabei ist $X$ binomialverteilt mit $p = 0,72$ und $n = 150$ .
Der Erwartungswert beträgt: $μ = n \cdot p = 150 \cdot 0,72 = 108$
$10 %$ vom Erwartungswert: $0,1 \cdot 108 = 10,8$
Dann ist $μ - 10 %$ von $μ = 108 - 10,8 = 97,2$ und $μ + 10 %$ von $μ = 108 + 10,8 = 118,8$
Das genaue Intervall um den Erwartungswert ist $[97,2; 118,8]$ . Da es nur ganze Personen gibt, müssen die Werte auf jeden Fall gerundet werden. Das Intervall wird kleiner gerundet $[98; 118],$ da die Werte $97$ bzw. $119$ um mehr als $10 %$ vom Erwartungswert entfernt sind. Die Vorgabe laut Aufgabenstellung ist "weniger als $10 %$ ".
Also wird berechnet: $P (98 \leq X \leq 118) = binomCdf (150,0.72,0,118) - binomCdf (150,0.72,0,97)$
$P (98 \leq X \leq 118) \approx 0,9745 - 0,0301 \approx 0,9444$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als $10 %$ vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht, beträgt rund $94 % .$
Es ist $X$ : die Anzahl derjenigen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen. $X$ ist binomialverteilt mit $p = 0,72$ und $n = 150$ .
Berechne $μ \pm (10 %$ von $μ$ ) und runde die Intervallgrenzen entsprechend $\Rightarrow [X_{1}; X_{2}]$
Berechne $P (X_{1} \leq X \leq X_{2})$ .
Ermitteln Sie, wie viele Personen aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $98 %$ mehr als zwei dieser Personen das Internet mit einem Smartphone nutzen. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Anzahl der Personen bestimmen
Es ist $P (X > 2) = 1 - P (X \leq 2) > 0,98 \Rightarrow P (X \leq 2) < 0,02$
Berechnung mit dem GeoGebra TR
Damit ist $n \geq 8$ .
Es müssen mindestens $8$ Personen ausgewählt werden.
Löse die Ungleichung $P (X > 2) > 0,98$ .
In zwei Behältern befinden sich insgesamt 300 Kugeln, von denen 105 weiß und die übrigen schwarz sind. Im ersten Behälter befinden sich $k$ Kugeln, von denen $w$ weiß sind.
Jedem Behälter wird eine Kugel zufällig entnommen.
Interpretieren Sie den Term $\frac{195 - (k - w)}{300 - k}$ im Sachzusammenhang. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Term $\frac{195 - (k - w)}{300 - k}$ im Sachzusammenhang
Wenn sich im 1. Behälter $k$ Kugeln befinden, dann sind im 2. Behälter $300 - k$ Kugeln.
Im 1. Behälter sind $w$ Kugeln weiß. Dann sind im 2. Behälter $105 - w$ Kugel weiß.
Die Wahrscheinlichkeit aus dem 2. Behälter eine weiße Kugel zu ziehen ist:
$\frac{105 - w}{300 - k}$
Die Wahrscheinlichkeit aus dem 2. Behälter eine schwarze Kugel zu ziehen ist:
$1 - \frac{105 - w}{300 - k} = \frac{300 - k - (105 - w)}{300 - k} = \frac{195 - k + w}{300 - k} = \frac{195 - (k - w)}{300 - k}$
Der Term $\frac{195 - (k - w)}{300 - k}$ ist demnach die Wahrscheinlichkeit aus dem 2. Behälter eine schwarze Kugel zu ziehen.
Wenn sich im 1. Behälter $k$ Kugeln befinden, dann sind im 2. Behälter $300 - k$ Kugeln. Der gegebene Term bezieht sich also auf den 2. Behälter.
Überlege, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, aus diesem Behälter eine weiße bzw. schwarze Kugel zu ziehen und vergleiche mit dem gegebenen Term.

Es gilt:

I. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,5 %$ sind beide entnommenen Kugeln weiß.

II. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $37,5 %$ ist die aus dem ersten Behälter entnommene Kugel schwarz und die aus dem zweiten Behälter entnommene Kugel weiß.

Ermitteln Sie die Anzahl der weißen Kugeln im ersten Behälter. (4 BE)

5
Aufgabe 2B
Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Erfahrungsgemäß sind $4 %$ aller Kugeln fehlerhaft.
800 Kugeln werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Kugeln weniger als 30 fehlerhaft sind. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Kugeln weniger als 30 fehlerhaft sind
$X$ : Anzahl der fehlerhaften Kugeln
Es ist $p = 0,04$ und $n = 800$ .
Dann gilt: $P (X < 30) = binomCdf (800,0.04,0,29) \approx 0,3341$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Kugeln weniger als $30$ fehlerhaft sind, beträgt rund $33,4 %$ .
Berechne $P (X < 30) = P (X \leq 29)$ .

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht
Es gilt: $μ = n \cdot p = 800 \cdot 0,04 = 32$
$σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{800 \cdot 0,04 \cdot 0,96} \approx 5,54$
$\frac{σ}{2} = 2,8$
Dann ist $μ - \frac{σ}{2} = 29,2 \approx 30$ und $μ + \frac{σ}{2} = 34,8 \approx 34$
Mit diesen Werten erhält man:
$P (30 \leq X \leq 34) = binomCdf (800,0.04,0,34) - binomCdf (800,0.04,0,29)$
$P (30 \leq X \leq 34) \approx 0,348$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht, beträgt rund $34,8 %$ .
Berechne $μ$ und $σ$ .
Berechne die Intervallgrenzen $μ \pm \frac{σ}{2}$ und runde die Werte entsprechend.
Berechne mit den gerundeten Werten $P (μ - \frac{σ}{2} \leq X \leq μ + \frac{σ}{2})$

Eine Stahlkugel hat entweder keinen Fehler, einen Formfehler oder einen Größenfehler. Die Wahrscheinlichkeit für einen Formfehler beträgt $3 %$ , die für einen Größenfehler $1 %$ .
Alle Kugeln werden vor dem Verpacken geprüft. Dabei werden $95 %$ der Kugeln mit Formfehler, $98 %$ der Kugeln mit Größenfehler, aber auch $0,5 %$ der Kugeln ohne Fehler aussortiert.
Stellen Sie den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
(4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Beschriftetes Baumdiagramm
$A$ : Die Stahlkugeln werden aussortiert
Erstelle mit den Angaben ein Baumdiagramm.

Geben Sie das Ergebnis des folgenden Terms an und interpretieren Sie die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang: (3 BE)
$0,96 \cdot 0,005 \cdot 800$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Ergebnis des Terms
$0,96 \cdot 0,005 \cdot 800 = 3,84$
Der Term hat den Wert $3,84$ .
Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang
$0,96 \cdot 0,005$ ist die Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeiten des ersten Pfades. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stahlkugel keinen Fehler hat und trotzdem aussortiert wird.
Diese Wahrscheinlichkeit multipliziert mit $800$ ergibt die zu erwartende Anzahl ( $3,84$ ) unter den 800 Kugeln an, die keinen Fehler haben und trotzdem aussortiert werden.
Teil 1
Berechne den gegebenen Term.
Teil 2
Betrachte den ersten Pfad des Baumdiagramms.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat
Bezeichnungen:
$A$ : die Stahlkugeln werden aussortiert
$k F$ : die Stahlkugel hat keinen Fehler
$F F$ : die Stahlkugel hat einen Formfehler
$F F$ : die Stahlkugel hat keinen Formfehler
$G F$ : die Stahlkugel hat einen Größenfehler
Dann gilt:
$P (A) = P (k F \cap A) + P (F F \cap A) + P (G F \cap A)$
$P (A) = 0,96 \cdot 0,005 + 0,03 \cdot 0,95 + 0,01 \cdot 0,98 = 0,0431$
Weiterhin gilt:
$P (F F \cap A)$ $=$ $P (A) - P (F F \cap A)$
↓
Siehe oben
$=$ $P (k F \cap A) + P (F F \cap A) + P (G F \cap A) - P (F F \cap A)$
$=$ $P (k F \cap A) + P (G F \cap A)$
$=$ $0,96 \cdot 0,005 + 0,01 \cdot 0,98$
$=$ $0,0146$
Dann ist:
$P_{A} (F F) = \frac{P (F F \cap A)}{P (A)} = \frac{0,0146}{0,0431} \approx 0,339$
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat, beträgt rund $33,9 %$ .
Berechne mithilfe des Baumdiagramms $P (A)$ und $P (kein Formfehler \cap A)$
Berechne damit die bedingte Wahrscheinlichkeit:
$P_{A} (kein Formfehler) = \frac{P (kein Formfehler \cap A)}{P (A)}$

Bei Stahlkugeln, die während der ersten Überprüfung nicht aussortiert wurden, wird die Überprüfung aus Sicherheitsgründen ein weiteres Mal durchgeführt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine bei der zweiten Überprüfung aussortierte Kugel keinen Fehler aufweist. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Wahrscheinlichkeit, dass eine bei der zweiten Überprüfung aussortierte Kugel keinen Fehler aufweist
Das Baumdiagramm wird bei nicht aussortierten Kugeln um eine Stufe erweitert.
Dann ergeben sich für die Fälle der Aussortierung bei der 2. Prüfung folgende Anteile:
Die Stahlkugel hat keinen Fehler: $0,96 \cdot 0,995 \cdot 0,005 = 0,004776$
Die Stahlkugel hat einen Formfehler: $0,03 \cdot 0,95 \cdot 0,05 = 0,001425$
Die Stahlkugel hat einen Größenfehler: $0,01 \cdot 0,02 \cdot 0,98 = 0,000196$
Die Summe dieser drei Anteile beträgt $0,006397$ .
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt dann:
$P = \frac{P (hat nach 2 Sortierungen keinen Fehler)}{P (wurde nach 2 Sortierungen aussortiert)} = \frac{0,004776}{0,006397} \approx 0,7466$
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bei der zweiten Überprüfung aussortierte Kugel keinen Fehler aufweist, beträgt rund $74,7 %$ .
Das Baumdiagramm wird bei nicht aussortierten Kugeln um eine Stufe erweitert.
Berechne für die Fälle der Aussortierung bei der 2. Prüfung die drei entsprechenden Anteile.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann der Quotient aus dem Anteil "Stahlkugel hat keinen Fehler" und der Summe dieser drei Anteile.

Die Kugeln werden in Packungen verkauft. Ein Teil der verkauften Packungen wird zurückgegeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine verkaufte Packung zurückgegeben wird, beträgt $3 %$ . Dem Unternehmen entsteht pro Packung, die zurückgegeben wird, ein Verlust von 5,80 Euro. Pro Packung, die nicht zurückgegeben wird, erzielt das Unternehmen einen Gewinn von 8,30 Euro.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens 1500 Euro erzielt. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens 1500 Euro erzielt
Zufallsgröße $Y$ : sie beschreibt die Anzahl $y$ der zurückgegebenen Packungen
$Y$ ist binomialverteilt mit $n = 200$ und $p = 0,03$ .
$200 - y$ ist die Anzahl der Packungen, die einen Gewinn von $8,30 €$ erbringen, d.h. $(200 - y) \cdot 8,30$ ist der erzielte Gewinn.
Die Anzahl $y$ der zurückgegebenen Packungen ergeben einen Verlust von $y \cdot 5,80 €$ .
Der Gesamtgewinn von mindestens $1500$ Euro soll erzielt werden:
Gewinn $-$ Verlust $\geq 1500$ $\Rightarrow (200 - y) \cdot 8,30 - y \cdot 5,80 \geq 1500$
Der GTR liefert für die Gleichung $(200 - y) \cdot 8,30 - y \cdot 5,80 = 1500$ die Lösung $y \approx 11,3475...$
Dann ist $y \leq 11$ , da es nur ganze Packungen gibt. (Für $y \leq 11$ ist die linke Seite der Gleichung größer als $1500$ .)
Für $y \leq 11$ folgt dann:
$P (Y \leq 11) = binomCdf (200, 0.03,0,11) \approx 0,9816$
Die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von $200$ Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens $1500$ Euro erzielt, beträgt rund $98,2 %$ .
$200 - y$ ist die Anzahl der Packungen, die einen Gewinn von $8,30 €$ erbringen.
Die Anzahl $y$ der zurückgegebenen Packungen ergeben einen Verlust von $y \cdot 5,80 €$ .
Gewinn $-$ Verlust $\geq 1500 \Rightarrow$ Wert für y
Berechne die kumulierte Wahrscheinlichkeit für diesen gefundenen Wert.
6
Aufgabe 2C
Der Wasserverbrauch bei einem Waschgang wird für eine Waschmaschine als normalverteilt mit dem Erwartungswert 45 Liter und der Standardabweichung 1,2 Liter angenommen.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Maschine bei einem Waschgang
mehr als 45 Liter verbraucht.
weniger als 47 Liter verbraucht.
auf ganze Liter gerundet 45 Liter verbraucht.
(5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Bei einem Waschgang werden mehr als 45 Liter verbraucht
$X$ ist der Wasserverbrauch für einen Waschgang in Litern.
$P (X > 45) = normCdf (45, \infty, 45, 1.2) = 0,5$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Waschgang mehr als 45 Liter verbraucht werden, beträgt $50 %$ .
Bei einem Waschgang werden weniger als 47 Liter verbraucht
$P (x < 47) = normCdf (- \infty, 47,45, 1.2) \approx 0,9522$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Waschgang weniger als 47 Liter verbraucht werden, beträgt rund $95 %$ .
Bei einem Waschgang werden auf ganze Liter gerundet 45 Liter verbraucht
$P (44,5 \leq X < 45,5) = normCdf (44.5,45.5,45,1.2) \approx 0,3231$
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Waschgang auf ganze Liter gerundet $45$ Liter verbraucht werden, beträgt rund $32 %$ .
Die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse kann mithilfe der Verteilungsfunktion berechnet werden:
Mehr als 45 Liter verbraucht: $P (X > 45) = normCdf (. . . . . . . . . . . . .)$
Weniger als 47 Liter verbraucht: $P (x < 47) = normCdf (. . . . . . . . . . . . .)$
Auf ganze Liter gerundet 45 Liter verbraucht: $P (44,5 \leq X < 45,5) = normCdf (. . . . . . . . . . . . .)$

Berechnen Sie ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, sodass der Wasserverbrauch bei einem Waschgang mit einer Wahrscheinlichkeit von $5 %$ außerhalb dieses Intervalls liegt. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Symmetrisches Intervall
Es soll gelten: $P (X \leq 45 - r) = 2,5 %$
Diese Gleichung hat die Lösung $r \approx 2,35$ .
Das gesuchte Intervall ist dann $[45 - r; 45 + r] = [42,65; 47,35]$ .
Löse die Gleichung $P (X \leq 45 - r) = 2,5 %$ für die Unbekannte $r$ .

Bei einer anderen Maschine ist der Wasserverbrauch näherungsweise normalverteilt mit dem Erwartungswert 60 Liter, aber unbekannter Standardabweichung. Bei $10 %$ der Waschgänge werden bei dieser Maschine mehr als 65 Liter verbraucht.
Bestimmen Sie die unbekannte Standardabweichung. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Bestimmen der Standardabweichung
$Y$ : Wasserverbrauch für einen Waschgang in Litern
$μ = 60,$ $σ$ unbekannt
Es soll gelten: $P (Y > 65) = 0,1$ mit unbekanntem $σ$
Diese Gleichung hat die Lösung $σ \approx 3,9015$ .
Die Standardabweichung beträgt rund $3,9$ Liter.
Löse die Gleichung $P (Y > 65) = 0,1$ mit unbekannter Standardabweichung $σ$ .

Bei einer Massenproduktion von Steuerelementen für Waschmaschinen haben $12 %$ der Steuerelemente einen Defekt. Vor dem Einbau werden die Steuerelemente geprüft.
Ein älteres Prüfgerät erkennt ein defektes Steuerelement mit einer Wahrscheinlichkeit von $90 %$ . Dieses Prüfgerät zeigt allerdings auch einwandfreie Steuerelemente fälschlicherweise mit einer Wahrscheinlichkeit von $5 %$ als defekt an.
Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der das Prüfgerät eine richtige Entscheidung trifft, etwa $94 %$ beträgt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass trotz Prüfung ein defektes
Steuerelement eingebaut wird. (6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Das Prüfgerät trifft eine richtige Entscheidung, wenn es ein defektes Bauteil als defekt oder ein funktionierendes Bauteil als nicht defekt erkennt.
$P (richtige Entscheidung) = 0,12 \cdot 0,9 + 0,88 \cdot (1 - 0,05) = 0,944$
Damit ist gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der das Prüfgerät eine richtige Entscheidung trifft, etwa $94 %$ beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass trotz Prüfung ein defektes Steuerelement eingebaut wird
Hier hilft ein Baumdiagramm:
$D$ : Steuerelement hat einen Defekt
$D$ : Steuerelement hat keinen Defekt
$E$ : defektes Steuerelement wird erkannt
$E$ : defektes Steuerelement wird nicht erkannt
Es ist:
$P (E) = P (D \cap E) + P (D \cap E) = 0,12 \cdot 0,1 + 0,88 \cdot 0,95 = 0,848$
Weiterhin ist:
$P_{E} (D) = \frac{P (D \cap E)}{P (E)} = \frac{0,12 \cdot 0,1}{0,848} \approx 0,01415$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass trotz Prüfung ein defektes Steuerelement eingebaut wird, beträgt rund $1,4 %$ .
Teil 1
Das Prüfgerät trifft eine richtige Entscheidung, wenn es ein defektes Bauteil als defekt oder ein funktionierendes Bauteil als nicht defekt erkennt.
Wende die Pfadregeln an.
Teil 2
Berechne $P (E)$ und $P_{E} = \frac{P (D \cap E)}{P (E)}$ .

Ein neueres Prüfgerät trifft immer richtige Entscheidungen. Um die Anzahl von Prüfungen zu reduzieren, schaltet man zehn Steuerelemente hintereinander und prüft sie gleichzeitig. Ist mindestens eines der Steuerelemente defekt, so zeigt das Prüfgerät einen Defekt an. In diesem Fall wird zusätzlich jedes Steuerelement einzeln geprüft.
Interpretieren Sie den folgenden Term im Sachzusammenhang:
${0,88}^{10} \cdot 1 + (1 - {0,88}^{10}) \cdot 11$
Untersuchen Sie, wie viele Steuerelemente jeweils hintereinandergeschaltet werden müssen, damit die zu erwartende Anzahl der Prüfungen im Verhältnis zur Anzahl von Einzelprüfungen am kleinsten ist. (7 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Interpretieren im Sachzusammenhang
Gegeben ist der Term ${0,88}^{10} \cdot 1 + (1 - {0,88}^{10}) \cdot 11$ .
Anders dargestellt sieht der Term folgendermaßen aus:
$(1 - 0,12)^{10} \cdot 1 + (1 - (1 - 0,12)^{10}) \cdot 11 \approx 8,215$
Dabei ist $1 - 0,12 = 0,88$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Steuerelemente keinen Defekt haben.
${0,88}^{10}$ besagt, dass 10-mal hintereinander kein Defekt auftritt und $1$ ist die Anzahl der Überprüfungen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist $1 - {0,88}^{10}$ . Hierin sind alle Ereignisse vereinigt, bei denen mindestens ein Steuerteil defekt ist.
Die Zahl $11$ setzt sich zusammen aus $1 + 10$ , d.h. in der laufenden Prüfung (entspricht der $1$ ) wird mindestens ein defektes Steuerelement gefunden, sodass zusätzlich jedes Steuerelement einzeln geprüft wird (entspricht der $10$ ).
Somit gibt der Term die zu erwartende Anzahl (der Erwartungswert ist etwa $8,2$ ) benötigter Prüfungen für $10$ hintereinandergeschaltete Steuerelemente an.
Die zu erwartende Anzahl der Prüfungen im Verhältnis zur Anzahl von Einzelprüfungen soll am kleinsten sein
$n$ : ist die Anzahl der hintereinandergeschalteten Steuerelemente
Der Erwartungswert für die Anzahl der Prüfungen (analog zum 1. Teil) ist:
$E = {0,88}^{n} \cdot 1 + (1 - {0,88}^{n}) \cdot (n + 1)$ mit $n \in ℕ$ und $n \geq 1$
Dann gilt für den Erwartungswert im Verhältnis zur Anzahl der Einzelprüfungen:
$\frac{E}{n} = \frac{{0,88}^{n} \cdot 1 + (1 - {0,88}^{n}) \cdot (n + 1)}{n}$
Bilde die Ableitung von $f (n) = \frac{{0,88}^{n} \cdot 1 + (1 - {0,88}^{n}) \cdot (n + 1)}{n}$ und löse die Gleichung $f^{'} (n) = 0$ um das Minimum zu finden:
Die erste Lösung entfällt, da $n \geq 1$ sein muss.
Wegen $n \in ℕ$ ist die zweite Lösung $n = 3$ oder $n = 4$ .
$f (3) \approx 0,65186$ und $f (4) \approx 0,65030$ und $f (5) \approx 0,67227$
Wie man sieht, ist der Wert von $f (4)$ am kleinsten.
Der Quotient ist für $n = 4$ minimal.
Teil 1
Analysiere die einzelnen Terme in dem gegebenen Term. Der Term ist ein Erwartungswert (wofür?).
Teil 2
Bilde (analog zum Term im 1. Teil) den Erwartungswert $E$ für die Anzahl der Prüfungen in Abhängigkeit von $n$ .
Bilde den Quotienten aus $E$ und $n$ und bestimme das Minimum für diesen Quotienten.
7
Aufgabe 3A
Betrachtet werden die Pyramiden $A B C D S_{k}$
mit $A (0 | 0 | 0), B (2 | 0 | 0), C (2 | 2 | 0), D (0 | 2 | 0)$ und $S_{k} (1 | 1 | k)$ mit $k > 1$ .
Die gemeinsame Grundfläche $A B C D$ dieser Pyramiden ist quadratisch. Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $A B C D$ wird mit $T$ bezeichnet.
Die Abbildung zeigt beispielhaft eine dieser Pyramiden.
Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S_{k}$ . (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S_{k}$
$O_{Pyramide} = G + 4 \cdot A_{△}$
Dabei ist $G = 2^{2} = 4$ und $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Die Grundseite des Dreiecks ist $g = 2.$
Die Mitte der Seite $B C$ ist der Punkt $M$ .
$\Rightarrow \vec{m} = \frac{1}{2} \cdot ((\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array})) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow M (2 | 1 | 0)$
Der Vektor $\vec{M S_{k}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ k \end{array})$
Die Dreieckshöhe ist $h = | \vec{M S_{k}} | = \sqrt{(- 1)^{2} + k^{2}} = \sqrt{1 + k^{2}} .$
Dann folgt für den Inhalt der Pyramidenoberfäche:
$O_{Pyramide} = G + 4 \cdot A_{△} = 4 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{1 + k^{2}} = 4 + 4 \cdot \sqrt{1 + k^{2}}$
.
Es ist $O_{Pyramide} = G + 4 \cdot A_{△}$
Für die Dreiecksfläche benötigst Du die Dreieckshöhe, für die gilt, $h = | \vec{M S_{k}} |$ , mit dem Punkt $M$ als Mitte der Seite $B C$ .

Der Punkt $S_{k}$ wird am Punkt $C$ gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes zu $S_{k}$ an.
Berechnen Sie den Wert von $k$ so, dass $S_{k}$ zu seinem Spiegelpunkt den Abstand 6 hat.
(4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
Koordinaten des Spiegelpunktes $S_{k}$ '
Für den Spiegelpunkt gilt:
$\vec{O S_{k}^{'}} = \vec{O S_{k}} + 2 \cdot \vec{S_{k} C} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) + 2 \cdot ((\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array})) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ - k \end{array})$
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $S_{k}^{'} (3 | 3 | - k)$ .
Abstand von $S_{k}$ zu $S_{k}^{'}$ beträgt 6
$\vec{S_{k} S_{k}^{'}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ - k \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 2 k \end{array})$
$| \vec{S_{k} S_{k}^{'}} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + (- 2 k)^{2}} = \sqrt{8 + 4 k^{2}}$
Nun soll gelten: $\sqrt{8 + 4 k^{2}} = 6$
$\sqrt{8 + 4 k^{2}}$ $=$ $6$ $()^{2}$
$8 + 4 k^{2}$ $=$ $36$ $- 8$
$4 k^{2}$ $=$ $28$ $: 4$
$k^{2}$ $=$ $7$
Da $k > 1$ ist, erhält man als Lösung der Gleichung $k^{2} = 7$ nur den positiven Wert $k = \sqrt{7}$ .
Für $k = \sqrt{7}$ hat $S_{k}$ zu seinem Spiegelpunkt den Abstand $6$ .
Teil 1
Es gilt für den Spiegelpunkt: $\vec{O S_{k}^{'}} = \vec{O S_{k}} + 2 \cdot \vec{S_{k} C}$
Teil 2
Es soll gelten: $| \vec{S_{k} S_{k}^{'}} | = 6$ . Löse nach $k$ auf.

Die Seitenfläche $A B S_{k}$ liegt in der Ebene $L$ .
Bestimmen Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform. (3 BE)
[zur Kontrolle: $k \cdot y - z = 0]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überblick
Gleichung von $L$ in Koordinatenform
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{A S_{k}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array})$
Es soll gelten:
$\vec{n} \circ \vec{A B} = 0$ und $\vec{n} \circ \vec{A S_{k}} = 0$
1. Gleichung: $(\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = 0 \Rightarrow 2 \cdot n_{1} + 0 + 0 = 0 \Rightarrow n_{1} = 0$
2. Gleichung: $(\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) = 0$
Mit $n_{1} = 0$ erhält man die Gleichung: $n_{2} + k \cdot n_{3} = 0$
Wähle z.B. $n_{3} = - 1,$ dann folgt: $n_{2} - k = 0 \Rightarrow n_{2} = k$ .
Der Normalenvektor lautet demnach: $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ - 1 \end{array})$
Da die Ebene $L$ den Koordinatenursprung $A (0 | 0 | 0)$ enthält, gilt für die Ebenengleichung: $L : k \cdot y - z = 0$
Es gilt: $\vec{n} \circ \vec{A B} = 0$ und $\vec{n} \circ \vec{A S_{k}} = 0$ . Berechne den Normalenvektor $\vec{n} .$
Beachte $L$ verläuft durch den Koordinatenursprung.

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$ , für den die Seitenfläche $A B S_{k}$ gegenüber der Grundfläche $A B C D$ um einen Winkel der Größe $60^{\circ}$ geneigt ist. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen
Größe von $k$
Der Normalenvektor der Grundfläche $A B C D$ ist der Normalenvektor der xy-Ebene:
${\vec{n}}_{x y} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ . Sein Betrag ist $| \vec{n} | = 1$ .
Der Normalenvektor der Seitenfläche ist ${\vec{n}}_{L} = (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ - 1 \end{array})$ .
Sein Betrag ist $| {\vec{n}}_{L} | = \sqrt{k^{2} + 1}$ .
Dann gilt für den Winkel: $\cos 60^{\circ} = \frac{| {\vec{n}}_{x y} \circ {\vec{n}}_{L} |}{| {\vec{n}}_{x y} | \cdot | {\vec{n}}_{L} |}$
$\cos 60^{\circ}$ $=$ $\frac{| (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ - 1 \end{array}) |}{1 \cdot \sqrt{k^{2} + 1}}$
↓
Berechne das Skalarprodukt und den $\cos 60^{\circ}$ .
$0,5$ $=$ $\frac{| - 1 |}{1 \cdot \sqrt{k^{2} + 1}}$
↓
Berechne den Betrag.
$0,5$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}}$ $\cdot \sqrt{k^{2} + 1}$
$0,5 \cdot \sqrt{k^{2} + 1}$ $=$ $1$ $\cdot 2$
$\sqrt{k^{2} + 1}$ $=$ $2$ $()^{2}$
$k^{2} + 1$ $=$ $4$ $- 1$
$k^{2}$ $=$ $3$
Da $k > 1$ ist, erhält man als Lösung der Gleichung $k^{2} = 3$ nur den positiven Wert $k = \sqrt{3}$ .
Für $k = \sqrt{3}$ bilden die beiden Ebenen einen Winkel von $60^{\circ}$ miteinander.
Der Normalenvektor der Grundfläche $A B C D$ ist der Normalenvektor der xy-Ebene: ${\vec{n}}_{x y} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
Der Normalenvektor ${\vec{n}}_{L}$ der Seitenfläche wurde in Aufgabe c) berechnet.
Dann gilt für den Winkel: $\cos 60^{\circ} = \frac{| {\vec{n}}_{x y} \circ {\vec{n}}_{L} |}{| {\vec{n}}_{x y} | \cdot | {\vec{n}}_{L} |}$ . Löse die Gleichung nach $k$ auf.

Untersuchen Sie, ob es einen Wert für $k > 1$ gibt, sodass das Dreieck $B S_{k} D$ rechtwinklig ist. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Dreieck $B S_{k} D$ soll rechtwinklig sein
Berechne die Vektoren $\vec{B S_{k}}$ und $\vec{D S_{k}}$ und setze dann ihr Skalarprodukt gleich null.
$\vec{B S_{k}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ k \end{array})$
$\vec{D S_{k}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ k \end{array})$
$\vec{B S_{k}} \circ \vec{D S_{k}} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ k \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ k \end{array}) = 0$
Man erhält die Gleichung:
$- 1 - 1 + k^{2} = 0 \Rightarrow k^{2} = 2$
Da $k > 1$ ist, erhält man als Lösung der Gleichung $k^{2} = 2$ nur den positiven Wert $k = \sqrt{2}$ .
Für $k = \sqrt{2}$ ist das Dreieck $B S_{k} D$ rechtwinklig.
Berechne die Vektoren $\vec{B S_{k}}$ und $\vec{D S_{k}}$ und setze dann ihr Skalarprodukt gleich null. Löse die Gleichung nach $k$ auf.

Die Ebene mit der Gleichung $z = 1$ schneidet die vier vom Punkt $S_{k}$ ausgehenden Kanten der Pyramide $A B C D S_{k}$ in den Punkten $E_{k}, F_{k}, G_{k}$ und $H_{k}$ (vgl. Abbildung).
Bestimmen Sie die $x$ - und die $y$ -Koordinate von $F_{k}$ . (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Die $x$ - und die $y$ -Koordinate von $F_{k}$
Der Punkt $F$ hat wegen $z = 1$ die Koordinaten $F (x | y | 1)$ .
Die Gerade durch die Punkte $B$ und $S_{k}$ hat die Gleichung:
$g_{B S_{k}} : \vec{x} = \vec{O B} + r \cdot \vec{B S_{k}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ k \end{array})$
Der Punkt $F$ liegt auf dieser Geraden:
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ k \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \end{array})$
Aus Gleichung $(I I I)$ folgt dann $r = \frac{1}{k}$ .
$r = \frac{1}{k}$ eingesetzt liefert die x- und y-Koordinaten: $x = 2 - \frac{1}{k}$ und $y = \frac{1}{k}$ .
Damit hat der Punkt $F$ die Koordinaten $F (2 - \frac{1}{k} | \frac{1}{k} | 1)$ .
Der Punkt $F$ hat wegen $z = 1$ die Koordinaten $F (x | y | 1)$ .
Erstelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $B$ und $S_{k}$ .
Setze in die Geradengleichung die Koordinaten von $F$ ein.

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $k$ , für die das Verhältnis des Volumens der Pyramide $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S_{k} \frac{1}{8}$ beträgt. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz (Vierstreckensatz)
Verhältnis des Volumens der Pyramide $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S_{k}$
Das Pyramidenvolumen ist $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ .
Die Dreiecke $A B S_{k}$ und $E_{k} F_{k} S_{k}$ sind ähnlich.
$S_{k}$ hat die z-Koordinate $z = k$ .
Ein Punkt im Viereck $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k}$ hat die z-Koordinate $z = 1$ .
Dann gilt mit dem Strahlensatz:
$\Rightarrow \frac{| E_{k} F_{K} |}{| A B |} = \frac{k - 1}{k}$
Das Verhältnis der beiden Pyramidenvolumina soll $\frac{1}{8}$ betragen:
$\frac{V_{E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T}}{V_{A B C D S_{k}}} = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{1}{3} \cdot | E_{k} F_{K} |^{2} \cdot 1}{\frac{1}{3} \cdot | A B |^{2} \cdot k} = \frac{1}{8} \Rightarrow {(\frac{| E_{k} F_{K} |}{| A B |})}^{2} \cdot \frac{1}{k} = \frac{1}{8}$
Nach Kürzen mit $\frac{1}{3}$ und Einsetzen von $\frac{| E_{k} F_{K} |}{| A B |} = \frac{k - 1}{k}$ folgt:
${(\frac{k - 1}{k})}^{2} \cdot \frac{1}{k} = \frac{1}{8}$
Gelöst mit dem GeoGebra TR
Du hast die Lösungen $k_{1} = - \sqrt{5} + 3 \approx 0,764$ , $k_{2} = 2$ und $k_{3} = \sqrt{5} + 3 \approx 5,24$ erhalten. Die Lösung $k_{1}$ entfällt, da $k > 1$ sein muss.
Für $k = 2$ oder $k = \sqrt{5} + 3$ beträgt das Verhältnis der beiden Pyramidenvolumina $\frac{1}{8}$ .
Es soll gelten: $\frac{V_{E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T}}{V_{A B C D S_{k}}} = \frac{1}{8}$
Die Dreiecke $A B S_{k}$ und $E_{k} F_{k} S_{k}$ sind ähnlich.
$S_{k}$ hat die z-Koordinate $z = k$ und ein Punkt im Viereck $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k}$ hat die z-Koordinate $z = 1$ .
Wende den Strahlensatz auf die Seiten $E_{k} F_{K}$ und $A B$ an.
Das Volumenverhältnis liefert dann eine Gleichung für $k$ .
8
Aufgabe 3B
Das Rechteck $O A E K$ stellt ein Tennisspielfeld dar. Die Koordinaten für die folgenden Punkte lauten: $O (0 | 0 | 0), A (27 | 0 | 0), B (27 | 18 | 0), C (27 | 39 | 0), E (27 | 78 | 0), F (27 | 39 | 3,5)$ , $H (0 | 39 | 3,5)$ und $M (13,5 | 39 | 3)$ .
Alle Koordinaten haben die Längeneinheit Fuß (ft). Das Netz ist an Pfosten befestigt, die durch die Strecken $C F$ und $G H$ dargestellt sind. Es hat an den Enden eine Höhe von $3,5 ft$ und fällt geradlinig ab, bis es in der Mitte $M$ nur noch eine Höhe von $3 ft$ hat. Der Boden wird durch die $x y$ -Ebene dargestellt. Der Ball wird als punktförmig angenommen.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes $D$ an.
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Koordinaten des Punktes $D$
$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ also $27$ .
Die y-Koordinate vom Punkt $B$ ist $18$ und die vom Punkt $C$ ist $39$ . Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39 - 18 = 21$ .
Um die y-Koordinate des Punktes $D$ zu erhalten, muss zur y-Koordinate $39$ vom Punkt $C$ $21$ addiert werden $\Rightarrow 39 + 21 = 60$ .
Die z-Koordinate von $D$ ist $0 \Rightarrow D (27 | 60 | 0)$
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes
Die Länge der Diagonale ist:
$| \vec{O E} | = \sqrt{27^{2} + 78^{2} + 0^{2}} = \sqrt{6813} \approx 82,5$
Die Länge der Diagonalen des Spielfeldes beträgt rund $82,5 ft$ .
Teil 1
$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ . Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39 - 18 = 21$ . Addiere $21$ zur y-Koordinate von $C$ . $D$ liegt in der xy-Ebene.
Teil 2
Berechne den Betrag des Vektors $\vec{O E}$ .

Es kann vorausgesetzt werden, dass beim Aufschlag der Ball das Netz überquert und dass die $x$ -Koordinate zu diesem Zeitpunkt größer als $13,5$ ist. Die Flugbahn des Balls wird als geradlinig angenommen.
Bei einem Aufschlag wird der Ball im Punkt $P (13 | 0 | 10,4)$ getroffen, fliegt in Richtung
$\vec{v} = (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array})$ und trifft im Punkt $Q$ auf dem Boden auf.
Zeigen Sie, dass $Q$ im Spielfeld liegt. (4 BE)
[zur Kontrolle: $Q (26 | 58,5 | 0)$ ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Nachweis, dass $Q$ im Spielfeld liegt
Der Punkt $Q (x | y | 0)$ liegt auf der Flugbahn $\vec{x} = \vec{O P} + r \cdot \vec{v}$ .
$(\begin{array}{c} x \\ y \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ 10,4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array})$
Aus Gleichung $(I I I)$ folgt, dass $r = 1$ ist.
Berechne mit $r = 1$ die fehlenden Koordinaten von $Q$ :
$Q (13 + 13 | 58,5 | 10,4 - 10,4) \Rightarrow Q (26 | 58,5 | 0)$
$Q$ liegt im Spielfeld, da die x-Koordinate von $Q$ kleiner als $27$ (Spielfeldbreite) und die y-Koordinate von $Q$ kleiner als $78$ (Spielfeldlänge) ist.
Der Punkt $Q (x | y | 0)$ liegt auf der Flugbahn.
Erstelle die Geradengleichung für die Flugbahn des Balles und setze sie gleich $Q$ . Löse das Gleichungssystem.
Betrachte die x- und y-Koordinaten von $Q$ und vergleiche sie mit der Spielfeldbreite und Spielfeldlänge.

Die Geschwindigkeit des Balles wird mit $90$ Fuß pro Sekunde als konstant angenommen.
Bestimmen Sie, wie viel Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles auf dem Boden vergeht. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles
Die Strecke in $ft$ , die der Ball zurücklegt, ist $| \vec{P Q} |$ .
$\vec{P Q} = (\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ 10,4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array})$
$| \vec{P Q} | = \sqrt{13^{2} + {58,5}^{2} + (- 10,4)^{2}} = \sqrt{3699,41} \approx 60,8 ft$
Der zurückgelegte Weg beträgt rund $60,8 ft$ .
Für die benötigte Zeit gilt:
$t = \frac{s}{v} = \frac{60,8 ft}{90 \frac{ft}{s}} \approx 0,68 s$
Die Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles auf dem Boden beträgt rund $0,68 s$ .
Berechne die Länge der Strecke $| \vec{P Q} |$ .
Berechne die Zeit im Flug mit dem Weg-Zeit-Gesetz: $t = \frac{s}{v}$

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Ball auf den Boden auftrifft.
(3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen
Größe des Winkels, unter dem der Ball auftrifft
Die xy-Ebene hat den Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
Die Gerade hat den Richtungsvektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array})$ , dabei ist $| \vec{v} | = \sqrt{3699,41}$ siehe Aufgabe c).
Dann gilt für den Winkel: $\sin α = \frac{| \vec{v} \circ \vec{n} |}{| \vec{v} | \cdot | \vec{n} |}$
$\sin α$ $=$ $\frac{| (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) |}{\sqrt{3699,41} \cdot 1}$
↓
Berechne das Skalarprodukt.
$=$ $\frac{| 0 + 0 - 10,4 |}{\sqrt{3699,41} \cdot 1}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{10,4}{\sqrt{3699,41}}$
$α = \sin^{- 1} (\frac{10,4}{\sqrt{3699,41}}) \approx {9,8}^{\circ}$
Die Größe des Winkels, unter dem der Ball auf den Boden auftrifft, beträgt rund ${9,8}^{\circ}$ .
Es gilt: $\sin α = \frac{| \vec{v} \circ \vec{n} |}{| \vec{v} | \cdot | \vec{n} |}$ , mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array})$ und $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .

Spiegelt man die Gerade, die die Flugbahn des Balles beschreibt, an der $x y$ -Ebene, ergibt sich die Gerade $b$ . Die Gerade $b$ beschreibt die Flugbahn direkt nach dem Aufprall.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $b$ . (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gleichung der Geraden $b$
Der Punkt $P (13 | 0 | 10,4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden.
$\Rightarrow P^{'} (13 | 0 | - 10,4)$
Die Gerade $b$ geht durch die Punkte $P^{'} (13 | 0 | - 10,4)$ und $Q (26 | 58,5 | 0)$ .
$b : \vec{x} = \vec{O Q} + r \cdot \vec{P^{'} Q}$
$\Rightarrow b : \vec{x} = (\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ - 10,4 \end{array})) = (\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ 10,4 \end{array})$
mit $r \in ℝ$ .
Die Gleichung der Geraden $b$ lautet: $\vec{x} = (\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ 10,4 \end{array})$
Der Punkt $P (13 | 0 | 10,4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden $\Rightarrow P^{'}$
Bestimme die Gerade $b$ durch die Punkte $P^{'}$ und $Q$ .

Bei einem anderen Aufschlag wird der Ball im Punkt $P_{h} (13 | 0 | h), h > 0$ , abgeschlagen und trifft im Punkt $Q (26 | 58,5 | 0)$ auf dem Boden auf. Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0,25 ft$ über dem Netz.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $h$ . (8 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Wert von $h$
Die Gleichung für die Flugbahn des Balles lautet:
$k : \vec{x} = \vec{O P_{h}} + r \cdot \vec{P_{h} Q}$
$k : \vec{x} = (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ h \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 26 \\ 58,5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ h \end{array})) = (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ h \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - h \end{array})$ mit $r \in ℝ$
Der Ball überquert das Netz in einem Punkt $U (x | 39 | z_{1})$ .
Der Punkt $U$ muss auf der Flugbahn $k$ liegen:
$(\begin{array}{c} x \\ 39 \\ z_{1} \end{array}) = (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ h \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - h \end{array}) \Rightarrow r = \frac{39}{58,5} = \frac{2}{3}$
Mit $r = \frac{2}{3}$ folgt für den Punkt $U$ :
${\vec{x}}_{U} = (\begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ h \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - h \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{65}{3} \\ 39 \\ \frac{1}{3} h \end{array}) \Rightarrow U (\frac{65}{3} | 39 | \frac{1}{3} h)$
Der Punkt $U$ liegt oberhalb der Netzkante $F M$ . Deshalb wird die Netzoberkante durch folgende Gleichung beschrieben:
$l : \vec{x} = \vec{O F} + s \cdot \vec{F M}$
$l : \vec{x} = (\begin{array}{c} 27 \\ 39 \\ 3,5 \end{array}) + s \cdot ((\begin{array}{c} 13,5 \\ 39 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 27 \\ 39 \\ 3,5 \end{array})) = (\begin{array}{c} 27 \\ 39 \\ 3,5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 13,5 \\ 0 \\ - 0,5 \end{array})$
Der Punkt der Netzoberkante, der überquert wird, ist $V (\frac{65}{3} | 39 | z_{2})$ .
Der Punkt $V$ muss auf der Netzoberkante $l$ liegen:
$(\begin{array}{c} \frac{65}{3} \\ 39 \\ z_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 27 \\ 39 \\ 3,5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 13,5 \\ 0 \\ - 0,5 \end{array})$
Gleichung $(I)$ lautet: $\frac{65}{3} = 27 - 13,5 \cdot s$
Auflösung nach $s$ :
$\frac{65}{3}$ $=$ $27 - 13,5 \cdot s$
↓
Klammere 13,5 aus.
$\frac{65}{3}$ $=$ $13,5 \cdot (2 - s)$
$\frac{65}{3}$ $=$ $\frac{27}{2} \cdot (2 - s)$ $\cdot \frac{2}{27}$
$\frac{65}{3} \cdot \frac{2}{27}$ $=$ $2 - s$
$\frac{130}{81}$ $=$ $2 - s$ $+ s - \frac{130}{81}$
$s$ $=$ $2 - \frac{130}{81}$
$s$ $=$ $\frac{32}{81}$
Mit $s = \frac{32}{81}$ folgt dann in Gleichung $(I I I)$ :
$z_{2} = 3,5 + \frac{32}{81} \cdot (- \frac{1}{2}) = 3,5 - \frac{16}{81} = \frac{535}{162}$
Damit hat der Punkt $V$ die Koordinaten $V (\frac{65}{3} | 39 | \frac{535}{162})$ .
Andererseits ist $U (\frac{65}{3} | 39 | \frac{1}{3} h)$ :
Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0,25 ft$ über dem Netz.
Die Differenz der z-Werte von $U$ und $V$ muss gleich $0,25$ sein.
$\frac{1}{3} h - \frac{535}{162} = 0,25 \Rightarrow h = 3 \cdot (0,25 + \frac{535}{162}) = 3 \cdot \frac{1151}{324} = \frac{1151}{108} \approx 10,66$
Der zugehörige Wert von $h$ ist etwa $10,66 ft$ .
Erstelle die Gleichung der Flugbahn des Balles mit dem unbekannten Wert
Der Ball überquert das Netz in einem Punkt $U$ mit unbekannten x- und z-Koordinaten.
Der Punkt $U$ muss auf der Flugbahn des Balles liegen. Bestimme seine Koordinaten.
Erstelle eine Gleichung für die Netzoberkante. Beachte dabei, auf welcher Seite der Ball das Netz überquert.
Ein weiterer Punkt $V$ hat die gleichen x- und y-Koordinaten wie $U$ , aber eine andere z-Koordinate.
Der Punkt $V$ muss auf der Netzoberkante liegen. Bestimme seine Koordinaten.
Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von $0,25 ft$ über dem Netz, d.h. die Differenz der z-Werte von $U$ und $V$ muss gleich $0,25$ sein.

Aufgabe 3C

Gegeben sind der Punkt $A (2 | 2 | 1)$ und die Gerade $g$ mit $\vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}), s \in ℝ$ .

Zeigen Sie, dass $A$ ein Punkt von $g$ ist.
Die Ebene $E$ enthält den Punkt $A$ . $E$ und $g$ sind orthogonal zueinander.
Bestimmen Sie eine Gleichung für $E$ . (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden und Ebenen im Raum
$A$ ist ein Punkt von $g$
Setze $A$ in $g$ ein:
$(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
Aus Gleichung $(I)$ folgt, dass $s = 2$ ist. Die zweite und dritte Gleichung sind für $s = 2$ auch erfüllt. $A$ ist ein Punkt von $g$ .
Gleichung für $E$
$E$ und $g$ sind orthogonal zueinander, d.h. der Richtungsvektor der Geraden $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$ :
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \circ \vec{x} = d$
Wegen $A \in E$ folgt: $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = d \Rightarrow 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = d \Rightarrow d = 7$
$E : x + 2 y + z = 7$ ist die gesuchte Ebenengleichung.
Setze $A$ in $g$ ein und prüfe, ob die $3$ Gleichungen für ein $s$ erfüllt sind.
$E$ und $g$ sind orthogonal zueinander, d.h. der Richtungsvektor der Geraden $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ ist der Normalenvektor der Ebene $E$ . Beachte auch, dass $A \in E$ ist.
Gegeben sind die Geraden $h_{a}$ mit $\vec{x} = (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} a \\ - 1 \\ 0 \end{array}), r \in ℝ, a \in ℝ$ .
Geben Sie eine Gleichung der Ebene $H$ an, in der alle Geraden $h_{a}$ liegen.
Zeigen Sie, dass nicht jeder Punkt der Ebene $H$ auch ein Punkt von $h_{a}$ ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden und Ebenen im Raum
Gleichung der Ebene $H$ an, in der alle Geraden $h_{a}$ liegen
Es ist $h_{a} : \vec{x} = (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} a \\ - 1 \\ 0 \end{array})$
Die dritte Gleichung ist $z = 4$ . Das ist auch die Gleichung der Ebene $H$ .
Überprüfung: $h_{a} \cap H \Rightarrow 0 \cdot (3 + r \cdot a) + 0 \cdot (4 - r) + 4 + r \cdot 0 = 4 ✓$
Nicht jeder Punkt der Ebene $H$ ist auch ein Punkt von $h_{a}$
Wähle z.B. den Punkt $B (0 | 4 | 4)$ . Es gilt: $B \in E$ . Prüfe, ob $B \in h_{a}$ :
$(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} a \\ - 1 \\ 0 \end{array})$
Aus Gleichung $(I I)$ folgt, dass $r = 0$ ist.
Dann ergibt sich Gleichung $(I)$ : $0 = 3 + 0 \cdot a \Rightarrow 0 = 3$
Das ist aber ein Widerspruch, sodass $B \notin h_{a}$ .
Damit ist gezeigt, dass nicht jeder Punkt der Ebene $H$ auch ein Punkt von $h_{a}$ ist.
Teil 1
Betrachte die dritte Gleichung der Geradengleichung.
Teil 2
Wähle einen Punkt mit den Koordinaten $(x | 4 | 4)$ ( $x$ beliebig) und prüfe, ob dieser Punkt in der Ebene $H$ liegt.

Klassifizieren Sie die Geraden $h_{a}$ nach der Anzahl ihrer gemeinsamen Punkte mit der Ebene, mit der Gleichung $x + 2 y + z = 7$ . (4 BE)

Eine der Geraden von $h_{a}$ hat einen Schnittpunkt mit $g$ .

Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel. (8 BE)

Der Punkt $T$ bewegt sich auf der Geraden $h_{0}$ und bildet mit zwei Punkten $P$ und $Q$ auf der Geraden $g$ ein Dreieck.
Begründen Sie, dass es genau einen Punkt $T$ gibt, für den das Dreieck $P Q T$ minimalen Flächeninhalt hat. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Geraden
Begründung, dass es genau einen Punkt $T$ gibt, für den das Dreieck $P Q T$ minimalen Flächeninhalt hat
Der Punkt $T$ bewegt sich auf der Geraden $h_{0}$ . Zwei Punkte $P$ und $Q$ liegen auf der Geraden $g$ und bilden zusammen mit $T$ ein Dreieck. Die beiden Geraden $g$ und $h_{0}$ sind windschief.
Siehe Skizze:
Die Dreiecksfläche ist $A_{P Q T} = \frac{1}{2} \cdot | P Q | \cdot h$ .
Dabei ist die Höhe $h$ das Lot von $T$ auf $g$ .
Diese Höhe ist am kleinsten, wenn $T$ auf $h_{0}$ dort liegt, wo sich $g$ und $h_{0}$ am nächsten sind. Das ist dann der Fall, wenn der Abstand von $T$ und $g$ genauso groß wie der Abstand von $g$ und $h_{0}$ ist.
In diesem Fall hat das Dreieck $P Q T$ einen minimalen Flächeninhalt.
Die Dreiecksfläche ist $A_{P Q T} = \frac{1}{2} \cdot | P Q | \cdot h$ . Dabei ist die Höhe $h$ das Lot von $T$ auf $g$ .
Suche einen Ort für den Punkt $T$ auf $h_{0}$ , an dem die Höhe $h$ minimal wird.

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	$x (x - 3) (x - 6)$
$=$	$x (x^{2} - 3 x - 6 x + 18)$
$=$	$x (x^{2} - 9 x + 18)$
$=$	$x^{3} - 9 x^{2} + 18 x$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 18}}{2 \cdot 3}$
	↓	Quadrate und Produkte ausrechnen
	$=$	$\frac{18 \pm \sqrt{324 - 216}}{6}$
	↓	Die Summe auftrennen und kürzen
	$=$	$3 \pm \frac{\sqrt{108}}{6}$
	↓	Die $108$ faktorisieren
	$=$	$3 \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 36}}{6}$
	↓	Die $36$ aus der Wurzel ziehen und kürzen
	$=$	$3 \pm \sqrt{3}$

$f_{3}^{''} (x_{1,2})$	$=$	$6 (3 \pm \sqrt{3}) - 18$
	$=$	$18 \pm 6 \sqrt{3} - 18$
	$=$	$\pm 6 \sqrt{3} \overset{!}{<} 0$

$f_{3} (x_{H})$	$=$	$x_{H} (x_{H} - 3) (x_{H} - 6)$
	↓	Einsetzen und Summen ausrechnen
	$=$	$(3 - \sqrt{3}) (- \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$
	↓	3. Binomische Formel auf die 1. und 3. Klammer anwenden
	$=$	$- \sqrt{3} (- 9 + 3)$
	↓	Summe ausrechnen
	$=$	$6 \sqrt{3}$

$m_{3}$	$=$	$m_{a}$
$28$	$=$	$2 a^{2} + 3 a + 1$	$- 28$
$0$	$=$	$2 a^{2} + 3 a - 27$

$e^{- a x}$	$=$	$e^{- 4 x}$
$(\frac{1}{e^{a}})^{x}$	$=$	$(\frac{1}{e^{4}})^{x}$
$Beispiel für a>4: (\frac{1}{e^{8}})^{x}$	$<$	$(\frac{1}{e^{4}})^{x} weil e^{8} > e^{4}$
$Beispiel für 0<a<4: (\frac{1}{e^{2}})^{x}$	$>$	$(\frac{1}{e^{4}})^{x} weil e^{2} < e^{4}$

$- 1$	$=$	$f_{a}^{'} (0) \cdot g_{a}^{'} (0)$
	$=$	$((- a) \cdot e^{- a \cdot 0} - (- 4) \cdot e^{- 4 \cdot 0}) \cdot (- (- a) \cdot e^{- a \cdot 0} + (- 4) \cdot e^{- 4 \cdot 0})$
	$=$	$(- a + 4) \cdot (a - 4)$

$m_{a}$	$=$	$\frac{f_{a} (0) - f_{a} (- 1)}{0 - (- 1)}$
	↓	Teilen durch $1$ weglassen
	$=$	$f_{a} (0) - f_{a} (- 1)$
	↓	$0$ ist eine Nullstelle von $f_{a}$
	$=$	$- f_{a} (- 1)$
	↓	Formel einsetzen
	$=$	$- (- 1) (- 1 - a) (- 1 - 2 a)$
	↓	Aus allen Klammer ein Minus ausklammern
	$=$	$(1 + a) (1 + 2 a)$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$1 + 2 a + a + 2 a^{2}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$2 a^{2} + 3 a + 1$

$a_{1,2}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 2}$
	↓	Potenzen und Produkte ausrechnen
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{4}$
	↓	Summe ausrechnen
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{4}$
	↓	Wurzel ausrechnen
	$=$	$\frac{- 3 \pm 15}{4}$

$- f_{a} (- x)$	$=$	$- (- x) (- x - a) (- x - 2 a)$
	↓	Aus jeder Klammer ein Minus ausklammern
	$=$	$x (x + a) (x + 2 a)$
	↓	Wir brauchen ein Minus in der Klammer, daher ersetzen wir Plus mit einem doppelten Minus
	$=$	$x (x - (- a)) (x - (- 2 a))$
	↓	Dies ist genau die Form unserer Funktionenschar
	$=$	$f_{- a} (x)$

Wir setzen die Werte für $a, b, c$ in die Mitternachtsformel ein
	↓
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{6 a \pm \sqrt{36 a^{2} - 24 a^{2}}}{6}$
	↓	Zusammenfassen und kürzen
	$=$	$a \pm \frac{\sqrt{12} a}{6}$
	↓	$12$ in Faktoren aufteilen
	$=$	$a \pm \frac{\sqrt{4 \cdot 3} a}{6}$
	↓	Die $4$ aus der Wurzel ziehen
	$=$	$a \pm \frac{2 \sqrt{3} a}{6}$
	↓	Kürzen und $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
	$=$	$a \pm \frac{1}{\sqrt{3}} a$
$x_{1}$	$=$	$a + \frac{1}{\sqrt{3}} a$
$x_{2}$	$=$	$a - \frac{1}{\sqrt{3}} a$

$f_{a}^{''} (x_{1})$	$=$	$6 (a + \frac{a}{\sqrt{3}}) - 6 a$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$6 a + \frac{6}{\sqrt{3}} a - 6 a$
	↓	Zusammenfassen und kürzen
	$=$	$2 \sqrt{3} a$

$f_{a} (x_{1})$	$=$	$(a + \frac{a}{\sqrt{3}}) ((a + \frac{a}{\sqrt{3}}) - a) ((a + \frac{a}{\sqrt{3}}) - 2 a)$
	↓	Zusammenfassen und $a$ ausklammern.
	$=$	$a^{3} (\frac{1}{\sqrt{3}} + 1) (\frac{1}{\sqrt{3}}) (\frac{1}{\sqrt{3}} - 1)$
	↓	3. Binomische Formel auf die äußeren Klammern anwenden
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{3}} a^{3} (\frac{1}{3} - 1)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$- \frac{2}{3 \sqrt{3}} a^{3}$

$t (x)$	$=$	$f_{3} (x)$
	↓	Einsetzen
$- 6 \sqrt{3}$	$=$	$x^{3} - 9 x^{2} + 18 x$	$+ 6 \sqrt{3}$
	↓	Alles auf eine Seite bringen
$0$	$=$	$x^{3} - 9 x^{2} + 18 x + 6 \sqrt{3}$
	↓	Diese Gleichung kann der TR lösen. Alternativ kann mit der Polynomdivision von Hand weitergerechnet werden:
	$=$	$(x - (3 + \sqrt{3})) (x^{2} - (6 - \sqrt{3}) x + (3 - 3 \sqrt{3}))$

$I_{1}$	$=$	$\int_{x_{2}}^{x_{1}} f_{3} (x) - t (x) d x$
	$=$	$\int_{3 - 2 \sqrt{3}}^{3 + \sqrt{3}} x^{3} - 9 x^{2} + 18 x + 6 \sqrt{3} d x$
	$=$	${[\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} + 6 \sqrt{3} x]}_{3 - 2 \sqrt{3}}^{3 + \sqrt{3}}$
	↓	TR
	$=$	$\frac{243}{4}$

$\frac{w}{k} \cdot \frac{105 - w}{300 - k}$	$=$	$0,125$
	↓	Setze $k = 4 w$ ein.
$\frac{w}{4 w} \cdot \frac{105 - w}{300 - 4 w}$	$=$	$0,125$
	↓	Kürze im 1. Bruch mit $w .$
$\frac{1}{4} \cdot \frac{105 - w}{300 - 4 w}$	$=$	$0,125$	$\cdot 4 \cdot (300 - 4 w)$
$105 - w$	$=$	$0,125 \cdot 4 \cdot (300 - 4 w)$
	↓	Vereinfache.
$105 - w$	$=$	$150 - 2 w$	$+ 2 w - 105$
$w$	$=$	$45$

$P (F F \cap A)$	$=$	$P (A) - P (F F \cap A)$
	↓	Siehe oben
	$=$	$P (k F \cap A) + P (F F \cap A) + P (G F \cap A) - P (F F \cap A)$
	$=$	$P (k F \cap A) + P (G F \cap A)$
	$=$	$0,96 \cdot 0,005 + 0,01 \cdot 0,98$
	$=$	$0,0146$

$\sqrt{8 + 4 k^{2}}$	$=$	$6$	$()^{2}$
$8 + 4 k^{2}$	$=$	$36$	$- 8$
$4 k^{2}$	$=$	$28$	$: 4$
$k^{2}$	$=$	$7$

$\cos 60^{\circ}$	$=$	$\frac{\| (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ - 1 \end{array}) \|}{1 \cdot \sqrt{k^{2} + 1}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und den $\cos 60^{\circ}$ .
$0,5$	$=$	$\frac{\| - 1 \|}{1 \cdot \sqrt{k^{2} + 1}}$
	↓	Berechne den Betrag.
$0,5$	$=$	$\frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}}$	$\cdot \sqrt{k^{2} + 1}$
$0,5 \cdot \sqrt{k^{2} + 1}$	$=$	$1$	$\cdot 2$
$\sqrt{k^{2} + 1}$	$=$	$2$	$()^{2}$
$k^{2} + 1$	$=$	$4$	$- 1$
$k^{2}$	$=$	$3$

$A_{2}$	$=$	$\int_{0}^{3} f_{3} (x) d x$
	$=$	${[\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2}]}_{0}^{3}$
	$=$	$\frac{81}{4} - 3 \cdot 27 + 9 \cdot 9$
	$=$	$\frac{81}{4}$

$\sin α$	$=$	$\frac{\| (\begin{array}{c} 13 \\ 58,5 \\ - 10,4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \|}{\sqrt{3699,41} \cdot 1}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\frac{\| 0 + 0 - 10,4 \|}{\sqrt{3699,41} \cdot 1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{10,4}{\sqrt{3699,41}}$

$\frac{65}{3}$	$=$	$27 - 13,5 \cdot s$
	↓	Klammere 13,5 aus.
$\frac{65}{3}$	$=$	$13,5 \cdot (2 - s)$
$\frac{65}{3}$	$=$	$\frac{27}{2} \cdot (2 - s)$	$\cdot \frac{2}{27}$
$\frac{65}{3} \cdot \frac{2}{27}$	$=$	$2 - s$
$\frac{130}{81}$	$=$	$2 - s$	$+ s - \frac{130}{81}$
$s$	$=$	$2 - \frac{130}{81}$
$s$	$=$	$\frac{32}{81}$

$(3 + r \cdot a) + 2 \cdot (4 - r) + (4 + r \cdot 0)$	$=$	$7$
	↓	Löse die Klammern auf
$3 + r a + 8 - 2 r + 4$	$=$	$7$
	↓	Fasse zusammen.
$15 + r (a - 2)$	$=$	$7$	$- 15$
$r (a - 2)$	$=$	$- 8$	$: (a - 2)$
$r$	$=$	$\frac{- 8}{a - 2}$
	↓	Klammere im Zähler und Nenner $(- 1)$ aus und kürze.
$r$	$=$	$\frac{8}{2 - a}$

$(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} a \\ - 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$	$- (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$
	↓	Bringe die Richtungsvektoren auf eine Seite der Gleichung und die Stützvektoren auf die andere Gleichungsseite.
$(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} a \\ - 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$	$- r \cdot (\begin{array}{c} a \\ - 1 \\ 0 \end{array})$
$(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - r \cdot (\begin{array}{c} a \\ - 1 \\ 0 \end{array})$
	↓	Berechne die Differenz.
$(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 5 \end{array})$	$=$	$s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - r \cdot (\begin{array}{c} a \\ - 1 \\ 0 \end{array})$

$\cos α$	$=$	$\frac{\| \vec{u} \circ \vec{v} \|}{\| \vec{u} \| \cdot \| \vec{v} \|}$
	$=$	$\frac{\| (\begin{array}{c} - 0,5 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \|}{\sqrt{(- 0,5)^{2} + (- 1)^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\frac{\| - 0,5 - 2 \|}{\sqrt{1,25} \cdot \sqrt{6}}$
	↓	Berechne den Betrag.
	$=$	$\frac{2,5}{\sqrt{7,5}}$

Wahlteil - CAS

Aufgabe 1A

Konzentration nach einer Stunde

Konzentration übersteigt 2,8 mgl

Konzentration mindestens 0,5mgl

x-Koordinate der Extremstelle

Art der Extremstelle

y-Koordinate bzw. zugehörige Konzentration

Berechnung des x-Wertes

Tangente bestimmen

Nullstelle der Tangente

Term für die Einnahme der zweiten Tablette

Hochpunkt des neuen Funktionsgraphen

Integral bestimmen

Gleichung aufstellen und lösen

Extrema in Abhängigkeit von a

Wert für a damit sich die Graphen senkrecht schneiden

Aufgabe 1B

Nullstellen bestimmen

Funktion umformen

Ableitungen bilden

Hochpunkt berechnen

Erste Steigung

Zweite Steigung

Gleichsetzen

Ableitung

Parallelität

Identisch

Spiegelung um den Ursprung

Anwendung auf den Graphen

Beschreibung des Dreiecks

Steigung folgern

Parameter finden

Stammfunktion berechnen

Intervall auftrennen

Integrale berechnen

Lösen nach a

Ableitungen bilden

Extremstellen finden

Tiefpunkt finden

Werte ausrechnen

Tangente finden

Schnittpunkte finden

Erste Fläche berechnen

Zweite Fläche berechnen

Verhältnis ausrechnen

Aufgabe 1C

Intervall, in dem der Klimadeich mindestens 5 m hoch ist

Entscheidung, ob der Klimadeich diese Regel (etwa fünfmal so breit wie er hoch) erfüllt

Maximale Höhe des früheren Deiches auf cm genau

Durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall [0;30]

Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle x=0

Prozentualer Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich 5≤x≤42

Querschnitts der Kleibodenschicht kann mit 1,5⋅(b−a) berechnet werden

Aufstellen der Normalen

Schnittpunkt der Normalen n(x) mit g(x)

Näherungswert für k für Graph I und Graph II

Gibt es einen Wert für k mit 41,5≤k≤47,5, sodass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind?

Aufgabe 2A

Vierfeldertafel

Sind die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?

Ereignis „⁣A‾ und B" im Sachzusammenhang

Ausgewählte Person ist jünger als 65 Jahre und nutzt das Internet

Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als 10% vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht

Anzahl der Personen bestimmen

Term 195−(k−w)300−k im Sachzusammenhang

Anzahl der weißen Kugeln im ersten Behälter

Aufgabe 2B

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Kugeln weniger als 30 fehlerhaft sind

Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht

Beschriftetes Baumdiagramm

Ergebnis des Terms

Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang

Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat

Wahrscheinlichkeit, dass eine bei der zweiten Überprüfung aussortierte Kugel keinen Fehler aufweist

Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens 1500 Euro erzielt

Aufgabe 2C

Bei einem Waschgang werden mehr als 45 Liter verbraucht

Bei einem Waschgang werden weniger als 47 Liter verbraucht

Bei einem Waschgang werden auf ganze Liter gerundet 45 Liter verbraucht

Konzentration übersteigt 2,8 $\frac{m g}{l}$

Konzentration mindestens $0,5 \frac{m g}{l}$

Extrema in Abhängigkeit von $a$

Wert für $a$ damit sich die Graphen senkrecht schneiden

Lösen nach $a$

Intervall, in dem der Klimadeich mindestens $5 m$ hoch ist

Maximale Höhe des früheren Deiches auf $cm$ genau

Durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$

Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x = 0$

Prozentualer Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$

Querschnitts der Kleibodenschicht kann mit $1,5 \cdot (b - a)$ berechnet werden

Schnittpunkt der Normalen $n (x)$ mit $g (x)$

Näherungswert für $k$ für Graph I und Graph II

Gibt es einen Wert für $k$ mit $41,5 \leq k \leq 47,5$ , sodass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind?

Sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?

Ereignis „⁣ $\overline{A}$ und $B$ " im Sachzusammenhang

Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als $10 %$ vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht

Term $\frac{195 - (k - w)}{300 - k}$ im Sachzusammenhang

Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S_{k}$

Koordinaten des Spiegelpunktes $S_{k}$ '

Abstand von $S_{k}$ zu $S_{k}^{'}$ beträgt 6

Gleichung von $L$ in Koordinatenform

Größe von $k$

Das Dreieck $B S_{k} D$ soll rechtwinklig sein

Die $x$ - und die $y$ -Koordinate von $F_{k}$

Verhältnis des Volumens der Pyramide $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S_{k}$

Koordinaten des Punktes $D$

Nachweis, dass $Q$ im Spielfeld liegt

Zeit vom Abschlag im Punkt $P$ bis zum Auftreffen des Balles

Gleichung der Geraden $b$

Wert von $h$

$A$ ist ein Punkt von $g$

Gleichung für $E$

Gleichung der Ebene $H$ an, in der alle Geraden $h_{a}$ liegen

Nicht jeder Punkt der Ebene $H$ ist auch ein Punkt von $h_{a}$

Schnittpunkt von $h_{a}$ mit g

Berechnen Sie den Schnittwinkel von $h_{- 0,5}$ mit g

Begründung, dass es genau einen Punkt $T$ gibt, für den das Dreieck $P Q T$ minimalen Flächeninhalt hat