Wahlteil - CAS

Aufgabe 1B

Gegeben ist die auf $ℝ$ definierte Funktionenschar $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = x (x - a) (x - 2 a), a \neq 0$

Geben Sie die Nullstellen des Graphen von $f_{3}$ an.

Berechnen Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $f_{3}$ . (5 BE)

Bestimmen Sie den Wert von $a, a \neq 3$ , für den der zugehörige Graph von $f_{a}$ im Intervall $[- 1; 0]$ dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von $f_{3}$ . (5 BE)

Begründen Sie, dass für jeden Wert von $a$ die Graphen zu $f_{a}$ und $f_{- a}$ im Koordinatenursprung dieselbe Tangente haben. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Ableitung
Wir formen zuerst $f_{a}$ um, damit wir die Ableitung leichter bilden können. Dazu multiplizieren wir alle Klammern aus:
$\begin{aligned} f_{a} (x) & = x (x - a) (x - 2 a) \\ = x (x^{2} - 2 a x - a x + 2 a^{2}) \\ = x^{3} - 3 a x^{2} + 2 a^{2} x \end{aligned}$
Dann berechnen wir die Ableitung mit der Summen- und Potenzregel:
$f_{a}^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 a x + 2 a^{2}$
Parallelität
Die Steigung der Tangente zu $f_{a}$ bei $x = 0$ ist $f_{a}^{'} (0)$ . Dies können wir einfach ausrechnen: $m_{a} = f_{a}^{'} (0) = 2 a^{2}$ . Analog ist die Steigung der Tangente zu $f_{- a}$ durch $f_{- a}^{'} (0)$ gegeben:
$m_{- a} = f_{- a}^{'} (0) = 2 (- a)^{2} = 2 a^{2} = m_{a}$
Also haben beide Tangenten die gleiche Steigung, sind also parallel.
Identisch
Da $x = 0$ eine Nullstelle von $f_{a}$ und von $f_{- a}$ ist, gilt $f_{a} (0) = 0 = f_{- a} (0)$ . Da die Tangenten zu $f_{\pm a}$ bei $x = 0$ jeweils durch $f_{\pm a} (0)$ laufen, gehen beide durch den Punkt $(0 | 0)$ . Insbesondere schneiden sich also beide Tangenten. Da sie außerdem parallel sind, müssen sie identisch sein.
Bilde die Ableitung von $f_{a}$
Zeige, dass die Tangenten parallel sind
Begründe, warum die Tangenten identisch sein müssen

Zeigen Sie, dass für jeden Wert von $a$ der Graph zu $f_{a}$ durch eine Spiegelung am Punkt $(0 | 0)$ auf den Graphen von $f_{- a}$ abgebildet wird. (4 BE)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Wendepunkt $(a | 0)$ .
Berechnen Sie die Werte von $a$ , für die diese Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Beschreibung des Dreiecks
Da zwei der Seiten des Dreiecks auf den Koordinatenachsen liegen, ist es insbesondere ein rechtwinkliges Dreieck.
Da in einem gleichschenkligen Dreieck die zwei Basiswinkel gleich groß sein müssen, folgt mit der Innenwinkelsumme, dass die Basiswinkel 45 Grad groß sein müssen.
Steigung folgern
Wir wissen nun, dass die Tangente in einem Winkel von 45 Grad zu den Koordinatenachsen liegt. Die einzigen möglichen Steigungen sind damit $m = \pm 1$ .
Parameter finden
Wir berechnen nun zuerst die Steigungen der Tangenten zu $f_{a}$ bei $x = a$ . Diese ist durch die Ableitung $f_{a}^{'} (a)$ gegeben. Also gilt:
$m = f_{a}^{'} (a) = 3 a^{2} - 6 a^{2} + 2 a^{2} = - a^{2}$
Wir wissen bereits, dass das Dreieck nur bei den Steigungen $m_{1,2} = \pm 1$ gleichschenklig ist. Also setzen wir gleich und lösen nach $a$ :
$m_{1,2} = - a^{2} \overset{!}{=} \pm 1$
Da Quadrate nicht negativ werden, kann der Fall $m = 1$ nicht erreicht werden und wir lösen:
$- a^{2} = - 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$
Also ist das gebildete Dreieck für $a = \pm 1$ gleichschenklig.
Überlege dir, wie dieses Dreieck aussieht
Folgere, welche Steigung die Tangenten haben muss
Löse nach dem Parameter $a$ auf

Berechnen Sie die Werte von $a$ , sodass die Fläche zwischen dem zugehörigen Graphen von $f_{a}$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0; 2]$ den Inhalt 1 hat. (8 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Stammfunktion berechnen

Da wir im Laufe der Aufgabe das Integral von $f_{a}$ mehrfach ausrechnen müssen, berechnen wir die Stammfunktion einmal und wenden sie dann wiederholt an.

Zuerst multiplizieren wir $f_{a}$ aus und erhalten $f_{a} = x^{3} - 3 a x^{2} + 2 a^{2} x$ . Dann ist die Stammfunktion nach der Summen- und Potenzregel:

F_{a} = \frac{1}{4} x^{4} - a x^{3} + a^{2} x^{2}

Intervall auftrennen

Um die Fläche auszurechnen, müssen wir zuerst untersuchen, ob die Funktion im Intervall $] 0; 2 [$ einen Vorzeichenwechsel hat. Da eine Funktion nur in Nullstellen ihr Vorzeichen wechseln kann, untersuchen wir die Nullstellen von $f_{a}$ .

Diese sind bei $x_{1} = 0, x_{2} = a, x_{3} = 2 a$ .

Die verschiedenen Fälle sind also:

$a \leq 0$ : Keine der Nullstellen liegt in $] 0; 2 [$
$0 < a < 1$ : Die Nullstellen $a$ und $2 a$ liegen in $] 0; 2 [$
$1 \leq a < 2$ : Nur die Nullstelle $a$ liegt in $] 0; 2 [$
$2 \leq a$ : Keine der Nullstellen liegen in $] 0; 2 [$

Da die anderen Fälle nicht leicht abzuschätzen sind, berechnen wir diese direkt.

Integrale berechnen

$0 < a < 1$ :

In diesem Fall trennen wir das Intervall zu $] 0; a [\cup] a; 2 a [\cup] 2 a; 2 [$ auf. Dementsprechend müssen wir drei Integrale ausrechnen:

Also ist die Fläche im Fall $0 < a < 1$ :

$A_{0 < a < 1}$	$=$	$A_{1} + A_{2} + A_{3}$
	↓	Die Flächen müssen positiv sein
	$=$	$\| I_{1} \| + \| I_{2} \| + \| I_{3} \|$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{4} a^{4} + 4 (a - 1)^{2}$
	↓	Zusammenfassen und die 2. Binomische Formel anwenden
	$=$	$\frac{1}{2} a^{4} + 4 (a^{2} - 2 a + 1)$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{1}{2} a^{4} + 4 a^{2} - 8 a + 4$

$1 \leq a < 2$ :

Wir trennen das Intervall zu $] 0; a [\cap] a, 2 [$ auf.

Um nun die Fläche auszurechnen, müssen wir überprüfen, ob die Integrale positiv oder negativ sind. Das erste Integral ist offensichtlich nicht-negativ, da $a^{4}$ nicht-negativ ist. Das zweite Integral ist etwas komplizierter. Wir berechnen zuerst den Wert des Integrals für $a = 1$ :

I_{2}^{'} (1) = - \frac{1}{4} + 4 - 8 + 4 = - \frac{1}{4}

Da wir unsere Intervalle so gewählt haben, dass die Funktion auf ihnen konstant negativ oder positiv ist, muss also $I_{2}^{'} < 0$ für das gesamte Intervall, also $1 \leq a < 2$ , gelten. Also ist:

$A$	$=$	$A_{1}^{'} + A_{2}^{'}$
	↓	Die Flächen müssen positiv sein
	$=$	$\| I_{1}^{'} \| + \| I_{2}^{'} \|$
	↓	Einsetzen der Integrale, wobei das zweite Integral invertiert werden muss
	$=$	$\frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{4} a^{4} - 4 a^{2} + 8 a - 4$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\frac{1}{2} a^{4} - 4 a^{2} + 8 a - 4$

Lösen nach $a$

Wir setzen nun die Formeln der Fläche gleich $1$ und lösen nach $a$ . Da wir Polynome vom Grad $4$ nicht per Hand lösen können, lassen wir den Taschenrechner für uns rechnen. Nutze dazu den Befehl "nSolve".

Im ersten Fall liefert das: $a_{1} \approx 0,508$ und $a_{2} \approx 1,158$ .

Da wir im ersten Fall aber $0 < a < 1$ haben, ist der gesuchte Wert $a_{1} \approx 0,51$ .

Im zweiten Fall liefert der Rechner: $a_{1} \approx - 3,629$ und $a_{2} \approx 1,267$ . Da wir hier $1 \leq a < 2$ haben, ist der gesuchte Wert $a_{2} \approx 1,27$ .

Also sind die Werte für $a$ , sodass die Fläche zwischen $f_{a}$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0; 2]$ die Größe $1$ hat: $a_{1} \approx 0,51$ und $a_{2} \approx 1,27$ .

Berechnen Sie die Koordinaten der Tiefpunkte der Graphen von $f_{a}$ . (4 BE)

Betrachtet wird nun die Funktion $f_{3}$ .

Die Tangente an den Graphen von $f_{3}$ im Tiefpunkt schließt mit dem Graphen von $f_{3}$ eine Fläche ein. Außerdem schließt der Graph von $f_{3}$ mit der $x$ -Achse im Intervall $[0; 3]$ eine Fläche ein.

Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen. (7 BE)

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

	$x (x - 3) (x - 6)$
$=$	$x (x^{2} - 3 x - 6 x + 18)$
$=$	$x (x^{2} - 9 x + 18)$
$=$	$x^{3} - 9 x^{2} + 18 x$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 18}}{2 \cdot 3}$
	↓	Quadrate und Produkte ausrechnen
	$=$	$\frac{18 \pm \sqrt{324 - 216}}{6}$
	↓	Die Summe auftrennen und kürzen
	$=$	$3 \pm \frac{\sqrt{108}}{6}$
	↓	Die $108$ faktorisieren
	$=$	$3 \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 36}}{6}$
	↓	Die $36$ aus der Wurzel ziehen und kürzen
	$=$	$3 \pm \sqrt{3}$

$f_{3}^{''} (x_{1,2})$	$=$	$6 (3 \pm \sqrt{3}) - 18$
	$=$	$18 \pm 6 \sqrt{3} - 18$
	$=$	$\pm 6 \sqrt{3} \overset{!}{<} 0$

$f_{3} (x_{H})$	$=$	$x_{H} (x_{H} - 3) (x_{H} - 6)$
	↓	Einsetzen und Summen ausrechnen
	$=$	$(3 - \sqrt{3}) (- \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$
	↓	3. Binomische Formel auf die 1. und 3. Klammer anwenden
	$=$	$- \sqrt{3} (- 9 + 3)$
	↓	Summe ausrechnen
	$=$	$6 \sqrt{3}$

$m_{3}$	$=$	$m_{a}$
$28$	$=$	$2 a^{2} + 3 a + 1$	$- 28$
$0$	$=$	$2 a^{2} + 3 a - 27$

Wahlteil - CAS

Aufgabe 1B

Nullstellen bestimmen

Funktion umformen

Ableitungen bilden

Hochpunkt berechnen

Erste Steigung

Zweite Steigung

Gleichsetzen

Ableitung

Parallelität

Identisch

Spiegelung um den Ursprung

Anwendung auf den Graphen

Beschreibung des Dreiecks

Steigung folgern