Wahlteil - CAS

Aufgabe 1C

Gegeben ist die auf $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = - \frac{1}{100} \cdot (\frac{1}{500} x^{4} - \frac{1}{8} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - 45 x)$ . Im Küstenschutz ist ein neuer Deich von Bedeutung: der Klimadeich. Der Querschnitt eines Klimadeiches wird durch die von dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossenen Fläche modelliert. Dabei werden $x$ und $f (x)$ in Metern $(m)$ angegeben.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ . Markieren Sie auf der $x$ -Achse das Intervall, in dem der Klimadeich mindestens $5 m$ hoch ist.
Ein moderner Deich ist etwa fünfmal so breit wie er hoch ist.
Entscheiden Sie, ob der Klimadeich diese Regel erfüllt.
Begründen Sie Ihre Entscheidung nur mithilfe der Abbildung. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Intervall, in dem der Klimadeich mindestens $5 m$ hoch ist
Zeichne eine Parallele zur x-Achse im Abstand $5$ . Betrachte die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Parallelen mit dem Graphen von $f$ .
Dann gehen die Markierung auf der x-Achse von etwa $17$ bis etwa $42$ .

Entscheidung, ob der Klimadeich diese Regel (etwa fünfmal so breit wie er hoch) erfüllt
Die beiden Nullstellen von $f$ liegen bei $x = 0$ und bei $x \approx 46$ , d.h. der Deich hat eine Breite von etwa $46 m$ . Die y-Koordinate des Maximums ist die Dammhöhe. Sie beträgt etwa $9 m$ .
$\Rightarrow \frac{46}{9} \approx 5$
Der Klimadeich erfüllt diese Regel.
Teil 1
Zeichne eine Parallele im Abstand $5$ zur x-Achse ein.
Betrachte die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Parallelen mit dem Graphen von $f$ .
Teil 2
Die Differenz der beiden Nullstellen ergibt die Breite des Damms. Die y-Koordinate des Maximums ist die Dammhöhe. Bilde den Quotienten.
Die maximale Höhe des Klimadeiches ist 0,9 $m$ höher als die des zuvor vorhandenen Deiches.
Berechnen Sie die maximale Höhe des früheren Deiches auf $cm$ genau. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Maximale Höhe des früheren Deiches auf $cm$ genau
Berechne $f^{'} (x) = 0$ :
GeoGebra-TR
An der Stelle $x \approx 33,14$ liegt das Maximum der Funktion $f$ vor.
$f (33,14)$ ist die maximale Höhe des Deiches.
$f (33,14) = - \frac{1}{100} \cdot (\frac{1}{500} \cdot {33,14}^{4} - \frac{1}{8} \cdot {33,14}^{3} + \frac{5}{2} \cdot {33,14}^{2} - 45 \cdot 33,14) \approx 8,83$
Die Höhe des früheren Deiches ist dann:
$f (33,14) - 0,09 \approx 8,83 - 0,9 = 7,93 m$
Berechne $f^{'} (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1}$ (Stelle des höchsten Punkts).
Deichhöhe des Klimadeiches: Berechne $f (x_{1})$ .
Höhe des früheren Deiches: Berechne $f (x_{1}) - 0,9$ .
Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$ .
Berechnen Sie den Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x = 0$ . (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung und Steigungswinkel
Durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$
Durchschnittliche Steigung $= \frac{f (30) - f (0)}{30 - 0}$
Mit $f (30) = \frac{171}{20}$ und $f (0) = 0$ folgt dann:
Durchschnittliche Steigung $= \frac{\frac{171}{20} - 0}{30} = \frac{57}{200} = 0,285$
Die durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$ beträgt $0,285$ .
Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x = 0$
Es ist $f^{'} (0) = \frac{9}{20}$ .
Dann gilt für den Neigungswinkel des Klimadeiches:
$α = \tan^{- 1} (\frac{9}{20}) \approx {24,2}^{\circ}$
Der Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x = 0$ beträgt rund $24^{\circ}$ .
Teil 1
Die durchschnittliche Steigung beträgt $\frac{f (30) - f (0)}{30 - 0}$ .
Teil2
Berechne $f^{'} (0) \Rightarrow α = \tan^{- 1} (f^{'} (0))$ .
Der Klimadeich besteht aus einem Sandkern und einer Abdeckungsschicht aus Kleiboden. Im Querschnitt hat die Abdeckungsschicht aus Kleiboden im Bereich $5 \leq x \leq 42$ an jeder Stelle eine vertikale Dicke von $1,5 m$ .
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$ . (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Prozentualer Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$
Oberer Randverlauf des Sandkerns: $g (x) = f (x) - 1,5$
Inhalt des Querschnitts: $A_{Q} = \int_{5}^{42} f (x) d x \approx 224,37$
Inhalt des Sandkernquerschnitts: $A_{S} = \int_{5}^{42} g (x) d x \approx 168,97$
Dann gilt für das Verhältnis: $\frac{A_{S}}{A_{Q}} = \frac{168,97}{224,37} \approx 0,753$
Der prozentuale Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$ beträgt rund $75 %$ .
Der obere Randverlauf des Sandkerns wird durch $g (x) = f (x) - 1,5$ beschrieben.
Berechne jeweils mit einem Integral die beiden Flächeninhalte über $f (x)$ und $g (x)$ von $5$ bis $42$ und bilde dann den Quotienten der beiden Flächeninhalte.
Begründen Sie, dass im Bereich von $a$ bis $b$ mit $5 \leq a < b \leq 42$ der Inhalt des
Querschnitts der Kleibodenschicht mit $1,5 \cdot (b - a)$ berechnet werden kann. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Querschnitts der Kleibodenschicht kann mit $1,5 \cdot (b - a)$ berechnet werden
Der untere Rand der Kleibodenschicht ist gegeben durch $g (x) = f (x) - 1,5$ .
Der Flächeninhalt des Querschnitts der Kleibodenschicht ist: $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x = \int_{a}^{b} (f (x) - (f (x) - 1,5)) d x = \int_{a}^{b} 1,5 d x$
$\int_{a}^{b} 1,5 d x = [1,5 x]_{a}^{b} = 1,5 \cdot (b - a)$
Damit ist gezeigt, dass der Inhalt des Querschnitts der Kleibodenschicht mit $1,5 \cdot (b - a)$ berechnet werden kann.
Der untere Rand der Kleibodenschicht ist gegeben durch $g (x) = f (x) - 1,5$ .
Berechne dann $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x .$
An der Stelle $x = 42$ wird senkrecht zum oberen Rand des Querschnitts eine $1,30 m$ lange geradlinige Bohrung durchgeführt.
Untersuchen Sie, ob diese Bohrung den Sandkern erreicht. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
Aufstellen der Normalen
Punkt $P (42 | f (42)) \Rightarrow P (42 | \frac{64701}{12500})$
Die Ableitung an der Stelle $x = 42$ ist: $f^{'} (42) = - \frac{24051}{25000}$
Die Normalengleichung lautet: $n (x) = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0}) + f (x_{0})$
Mit den angegebenen Werten erhält man:
$n (x) = - \frac{1}{- \frac{24051}{25000}} (x - 42) + \frac{64701}{12500} = \frac{25000}{24051} \cdot x - \frac{25000}{24051} \cdot 42 + \frac{64701}{12500}$
$n (x) \approx 1,0395 \cdot x - 38,4811$
Schnittpunkt der Normalen $n (x)$ mit $g (x)$
Mit $x_{N} \approx 41,23$ erhält man $g (41,23) \approx 4,371$ .
Dann gilt für die Länge der Strecke in der Kleibodenschicht:
$d = \sqrt{(42 - x_{N})^{2} + (f (42) - g (x_{N}))^{2}}$
$d = \sqrt{(42 - 41,23)^{2} + {(\frac{64701}{12500} - 4,371)}^{2}} \approx 1,11$
Diese Länge ist kleiner als $1,3$ , d.h der Sandkern wird erreicht.
Berechne $P (42 | f (42))$ und $f^{'} (42)$ und ermittle die Normalengleichung: $n (x) = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0}) + f (x_{0})$
Berechne den Schnittpunkt der Normalen $n (x)$ mit der Gleichung für den oberen Randverlauf des Sandkerns $g (x)$ $\Rightarrow x_{N}$
Für die Länge der Strecke in der Kleibodenschicht gilt: $d = \sqrt{(42 - x_{N})^{2} + (f (42) - g (x_{N}))^{2}}$
Vergleiche $d$ mit der Länge der geradlinigen Bohrung.
Der obere Rand des Querschnitts des Sandkerns wird neu modelliert.
Der obere Rand des Querschnitts des Klimadeiches wird weiterhin durch $f$ beschrieben.
Gegeben ist die auf $ℝ$ definierte Funktionenschar $g_{k}$ mit
$g_{k} (x) = 0,3 \cdot (x - k)^{2} \cdot e^{0,16 \cdot (x - k) + 0,2}$ .
Die Graphen von $g_{k}$ sollen für $5 \leq x \leq 42$ und $41,5 \leq k \leq 47,5$ den oberen Rand des
Querschnitts des Sandkerns beschreiben.
In der Abbildung sind die Graphen von zwei Vertretern von $g_{k}$ abgebildet.
Geben Sie für Graph I
und Graph II jeweils
einen Näherungswert
für $k$ an.
Begründen Sie Ihre Angaben. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berührpunkte bei Funktionsgraphen
Näherungswert für $k$ für Graph I und Graph II
Der Graph von $g_{k} (x) = 0,3 \cdot (x - k)^{2} \cdot e^{0,16 \cdot (x - k) + 0,2}$ besitzt an der Stelle $x = k$ eine doppelte Nullstelle. Doppelte Nullstellen bedeuten, dass der Graph von $g_{k}$ einen Berührpunkt mit der x-Achse hat.
Hier hat der Graph I an der Stelle $x \approx 42$ einen Berührpunkt mit der x-Achse $\Rightarrow k \approx 42$
Der Graph II hat an der Stelle $x \approx 47$ einen Berührpunkt mit der x-Achse $\Rightarrow k \approx 47$
Der Graph von $g_{k} (x) = 0,3 \cdot (x - k)^{2} \cdot e^{0,16 \cdot (x - k) + 0,2}$ besitzt an der Stelle $x = k$ eine doppelte Nullstelle.
Doppelte Nullstellen bedeuten, dass der Graph von $g_{k}$ einen Berührpunkt mit der x-Achse hat.
Finde in der Abbildung jeweils die Berührstellen mit der x-Achse.
Die vertikale Dicke der Abdeckungsschicht aus Kleiboden soll
- $2 m$ an der Stelle $x = 14$ betragen und
- im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$ an jeder Stelle mindestens $0,95 m$ betragen.
Untersuchen Sie, ob es einen Wert für $k$ mit $41,5 \leq k \leq 47,5$ gibt, sodass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind. (7 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gibt es einen Wert für $k$ mit $41,5 \leq k \leq 47,5$ , sodass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind?
Bedingung I:
Man erhält die Gleichung $f (14) - g_{k} (14) = 2$ .
Im Bereich $41,5 \leq k \leq 47,5$ liegt die Lösung der Gleichung $f (14) - g_{k} (14) = 2$ bei $k \approx 46,9$ .
Bedingung II:
Die vertikale Dicke soll im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$ an jeder Stelle mindestens $0,95 m$ betragen.
Man erhält für $5 \leq x \leq 42$ die Gleichung $f (x) - g_{46,9} (x) \geq 0,95$ .
Berechne für $x$ aus dem gegebenen Intervall einige Werte $f (x) - g_{46,9} (x)$ und vergleiche.
x
$f (x) - g_{46,9} (x)$
Vergleich
$20$
$2,22$
$> 0,95$
$30$
$1,54$
$> 0,95$
$35$
$0,98$
$> 0,95$
$38$
$0,90$
$< 0,95$
Die letzte Tabellenzeile führt zu einem Widerspruch der Behauptung.
Es gibt keinen Wert für $k$ , der beide Bedingungen erfüllt.
Bedingung I:
Man erhält die Gleichung $f (14) - g_{k} (14) = 2$ mit der Lösung $k_{1}$ .
Bedingung II:
Man erhält für $5 \leq x \leq 42$ die Gleichung $f (x) - g_{k_{1}} (x) \geq 0,95$ .
Setze einige Werte für $x$ aus dem gegebenen Intervall in die Ungleichung ein und überprüfe, ob die Ungleichung erfüllt ist.