Spiegelung Punkt an Punkt

Die Spielgung eines Punktes $P$ an einem Punkt $Z$ führt zu einem Spiegelpunkt, der oft mit einem Strich bezeichnet wird: $P^{'}$

Die Formel zur Spiegelung lautet:

\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P Z}

Vorgehen

VorgehenFormel für den Ortsvektor zum gespiegelten Punkt

Betrachte die obige Zeichnung. Vom Ursprung $O$ auskommst du mit dem Vektor $\vec{O P}$ zum Punkt $P$ . Trage an $P$ den Vektor $\vec{P Z}$ an, um zu $Z$ zu gelangen. Trage an $Z$ erneut den Vektor $\vec{P Z}$ an. Du bist beim Spiegelpunkt $P^{'}$ angekommen. Insgesamt erhältst du die Vektorgleichung:

\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + \vec{P Z} + \vec{P Z} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P Z}

Beispiel

Spiegele den Punkt $P (1 | 2 | - 3)$ am Punkt $Z (3 | 1 | 2)$ .

\vec{O P} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})

und

\vec{O Z} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array})

Berechne den Vektor:

\vec{P Z} = \vec{O Z} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array})

Setze die Vektoren in $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P Z}$ ein:

\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 7 \end{array})

Der gespiegelte Punkt $P^{'}$ hat die Koordinaten $P^{'} (5 | 0 | 7)$ .

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Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

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