Wahlteil

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Wichtig: Für die Aufgaben hier gelten andere Nutzungbedingungen.

Hier findest du die Aufgaben und Lösungen der Mathe Realschulprüfung 2021 vom Wahlteil.

Taschenrechner und Formelsammlung sind in diesem Prüfungsteil erlaubt.

Du musst zwei Aufgaben aus dem Wahlteil wählen und lösen. Die anderen Wahlaufgaben musst du nicht bearbeiten.

Aufgaben des Teil 2 mit Wahlteil (ab S. 6) der Realschulprüfung 2021. Zum Download hier.

1
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Ein Kegel wird halbiert.
Der halbe Kegel hat den Radius $r = 6 c m$ und die Höhe $h_{k} = 12 c m$ .
Berechne die Länge der Mantellinie s. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Rechtwinkliges Dreieck
Der Querschnitt, der in der Skizze oben grau dargestellt ist, enthält unser rechtwinkliges Dreieck.
In diesem rechtwinkligen Dreieck ist die Mantellinie $s$ die Hypotenuse.
Skizze
Länge der Mantellinie $s$
Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
$s^{2}$ $=$ $h_{K}^{2} + r^{2}$
$=$ $12^{2} + 6^{2}$
$=$ $180$ $\sqrt{}$
$s$ $=$ $\sqrt{180}$
$=$ $13,416...$
Die Länge von $s$ beträgt etwa: $s = 13,42 cm$
Bestimme das rechtwinklige Dreieck, in dem $s$ die Hypotenuse ist.
Berechne $s$ in diesem Dreieck mit dem Satz des Pythagoras.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Körpers (halber Kegel). (4 BE)
(Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $s = 13,21 c m$ weiter.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Mantelfläche des halben Kegels
$A_{M a n t e l}$ $=$ $\frac{1}{2} π \cdot r \cdot s$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{1}{2} π \cdot 6 \cdot 13,42$
$\approx$ $126,48$
Die Mantelfläche beträgt etwa $126,48 {cm}^{2}$ .
Fläche des Dreiecks
Die Grundseite $g$ ist $2 r$
↓
$A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot (2 r) \cdot h_{k}$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12$
$=$ $72$
Der dreieckige Querschnitt hat eine Fläche von: $A_{Δ} = 36 {cm}^{2}$
Fläche der Grundseite
$A_{H a l b k r e i s}$ $=$ $\frac{1}{2} π r^{2}$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{1}{2} \cdot π \cdot 6^{2}$
$\approx$ $56,55$
Die Grundseite hat eine Fläche von etwa $56,55 {cm}^{2}$ .
Gesamt
Insgesamt ergeben sich:
$O = 126,48 + 72 + 56,55 = 298,38$
Die Oberfläche hat einen Flächeninhalt von: $O = 255,03 {cm}^{2}$
Berechne die Mantelfläche des halben Kegels.
Berechne den dreieckigen Querschnitt mit der Grundlinie $s$ und Höhe $h_{k}$ .
Berechne die Fläche der Grundseite (Halbkreis).
Addiere die drei Flächen, um die gesamte Oberfläche zu erhalten.

Berechne das Volumen des halben Kegels. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Das Volumen des Kegels beträgt:
$V_{K / 2}$ $=$ $\frac{\frac{1}{3} \cdot G \cdot h}{2}$
↓
Vereinfache
$=$ $\frac{1}{6} \cdot G \cdot h$
↓
Grundfläche ist ein Kreis
$=$ $\frac{1}{6} \cdot π r^{2} \cdot h$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{1}{6} \cdot π \cdot 6^{2} \cdot 12$
$\approx$ $226,19$
Das Volumen beträgt $V_{K / 2} = 226,19 {cm}^{3}$ .
Berechne das Volumen des ganzen Kegels und teile dabei durch $2$ .

Stelle für einen anderen halben Kegel mit $h_{k} = 2 r$ eine allgemeine Volumenformel in Abhängigkeit von $r$ auf und fasse sie so weit wie möglich zusammen. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
$V_{K / 2}$ $=$ $\frac{\frac{1}{3} \cdot G \cdot h}{2}$
↓
Vereinfache
$=$ $\frac{1}{6} \cdot G \cdot h$
↓
Setze ein
$=$ $\frac{1}{6} \cdot π \cdot r^{2} \cdot 2 r$
↓
Vereinfache
$=$ $\frac{1}{3} \cdot π r^{3}$
Bestimme das Volumen, wie in Aufgabenteil (c).
Verwende anstatt den Zahlenwerten $h_{K} = 2 r$ und fasse zusammen.

Lea steht an der Grundlinie eines Volleyballfeldes und schlägt den Ball auf.

Der Graph im Diagramm beschreibt annähernd die parabelförmige Flugbahn dieses Volleyballs. Er hat die Funktionsgleichung $y = - 0,02 (x - 6)^{2} + 2,5$ .

Ergänze den folgenden Satz. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Richtiger Satz
Der Volleyball erreicht nach 6 m seine maximale Höhe von 2,5 m.
Dieser Punkt kann aus der Skizze abgelesen werden.
Der Scheitel der Parabel liegt bei $(6 | 2,5)$ .
Verwende die Skizze aus der Aufgabenstellung.
Lies den Scheitelpunkt der Parabel ab und fülle die Lücken aus.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist die Aufschlaghöhe des Balles.
Berechne die Aufschlaghöhe des Balles. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Wert der Aufschlaghöhe
Setze $x = 0$ im Term
↓
$y$ $=$ $- 0,02 \cdot (0 - 6)^{2} + 2,5$
$=$ $- 0,02 \cdot 6^{2} + 2,5$
↓
Berechne
$=$ $1,78$
Die Aufschlaghöhe beträgt $1,78 m$ .
Setze $x = 0$ im Funktionsterm.
Berechne den Wert des y-Achsenabschnitts.
In der Mitte des 18 m langen Spielfeldes steht das Volleyballnetz. Es ist 2,04 m hoch.
Fliegt der Ball über das Netz? Begründe deine Antwort mithilfe einer Rechnung. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
y-Wert bei $x = 9$
Die Mitte des 18 m langen Volleyballfeldes liegt bei 9 m. Daher wird $x = 9$ eingesetzt.
Setze den x-Wert ein
↓
$y$ $=$ $- 0,02 \cdot (9 - 6)^{2} + 2,5$
$=$ $- 0,02 \cdot 3^{2} + 2,5$
$=$ $2,32$
Vergleich mit der Netzhöhe
Die Höhe des Netzes beträgt $2,32 m$ . Damit fliegt er über das Netz, da $2,32 > 2,04$ .
Setze für $x = 9$ in den Funktionsterm ein.
Berechne den y-Wert.
Vergleiche mit der Höhe des Netzes.

Entscheide mithilfe einer Rechnung, ob der Ball im Spielfeld landet. (3 BE)

3
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Lars spielt mit einem Kartenspiel aus 20 Karten. In dem Kartenspiel sind drei Karten „Joker“. Lars zieht nacheinander zwei Karten.
Entscheide anhand des Baumdiagramms, ob Lars die erste gezogene Karte in das Kartenspiel zurückgelegt hat oder nicht. Begründe deine Entscheidung. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Urnenmodell
Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe
Die Wahrscheinlichkeit für "kein Joker" in der zweiten Stufe beträgt $\frac{16}{19}$ .
Der Nenner gibt an, dass sich nur noch $19$ Karten im Spiel befinden, wovon $16$ Joker sind.
Lars hat die erste Karte nicht zurückgelegt.
Betrachte die Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe.
Entscheide ob hier mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Lars zweimal hintereinander keinen Joker zieht. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Wert der Wahrscheinlichkeit
Im Baumdiagramm entnehmen wir die beiden Werte für "kein Joker":
$\frac{17}{20}$ im ersten Zug
$\frac{16}{19}$ im zweiten Zug
Die Wahrscheinlichkeit zweimal keinen Joker zu ziehen ist damit:
$P (" zwei mal keinen Joker ") = \frac{17}{20} \cdot \frac{16}{19} = \frac{68}{95} \approx 71,58 %$
Baumdiagramm aus (a).
Verwende das Baumdiagramm aus Teilaufgabe (a).
Berechne das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

Ergänze im Baumdiagramm die fehlenden Wahrscheinlichkeiten. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Vollständiges Baumdiagramm
Baumdiagramm
BeachteBaumdiagramm
Die Wahrscheinlichkeiten aus einem Knoten ergeben zusammen immer $1$ .
Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändern sich die Wahrscheinlichkeiten.
Verwende die Knotenregel: Die Wahrscheinlichkeiten, die aus einem Knoten kommen, ergeben zusammen $1$ .
Beachte, dass hier gezogen wird, ohne zurückzulegen.

Lars gewinnt, wenn er bei zweimaligem Ziehen mindestens einen Joker bekommt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er gewinnt. Gib die Wahrscheinlichkeit in Prozent an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
Das Gegenereignis
Das Gegenereignis von "Mindestens einen Joker" ist "Zweimal keinen Joker".
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
Mit der Formel für das Gegenereignis gilt:
$P (" Mindestens einen Joker ")$ $=$ $1 - P (" keinen Joker ")$
↓
Ergebnis aus Teilaufgabe b einsetzen
$=$ $1 - \frac{68}{95}$
$=$ $\frac{27}{95}$
$=$ $0,28421...$
$\approx$ $28,42 %$
Bestimme das Gegenereignis. Du hast die Wahrscheinlichkeit hierfür bereits in Teilaufgabe (b) berechnet.

Nora zieht Karten aus demselben Kartenspiel. Sie berechnet eine Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit $P = 1 - \frac{17}{20} \cdot \frac{16}{19}$ .
Beschreibe ein passendes Ereignis zu Noras Rechnung. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
Das Baumdiagramm
Baumdiagramm
Die Wahrscheinlichkeit, die mit $\frac{17}{20} \cdot \frac{16}{19}$ berechnet wird ist: "kein Joker - kein Joker"
Das Ereignis
Da hier ein Gegenereignis formuliert ist, ist das gesuchte Ereignis:
Nora zieht zwei Karten und davon mindestens einen Joker.
Bestimme den Pfad im Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten $\frac{17}{20}, \frac{16}{19}$
Gib das Ereignis dieses Pfades an.
Beachte, dass hier ein Gegenereignis formuliert ist.
4
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Der schiefe Turm von Pisa ist geneigt. Der Winkel $𝛼$ beträgt $4 °$ .
Die Aussichtsplattform im 7. Stockwerk hat an der geneigten Seite eine Höhe von $h = 47,27 m$ über dem Boden.
Berechne die Entfernung x vom Fußpunkt des Turmes bis zur Aussichtsplattform.
(3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Gleichung mit Kosinus
Im rechtwinkligen Dreieck sind
$h$ , die Ankathete gegeben
$x$ , die Hypotenuse gesucht
Wir verwenden Kosinus:
$\cos α = \frac{h}{x}$
Skizze aus Aufgabenstellung
Berechne die Länge $x$
$\cos α$ $=$ $\frac{h}{x}$ $\cdot x$
$\cos α \cdot x$ $=$ $h$ $: \cos α$
$x$ $=$ $\frac{h}{\cos α}$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{47,27}{\cos 4 °}$
$\approx$ $47,39$
Die Entfernung $x$ beträgt $47,39 m$ .
Stelle eine Gleichung mithilfe der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus oder Tangens auf.
Berechne $x$ aus dieser Gleichung.

Berechne den Überhang $y$ des Turmes. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Überhang $y$
Wir berechnen $y$ mit dem Satz des Pythagoras.
$x^{2}$ $=$ $h^{2} + y^{2}$ $- h^{2}$
$y^{2}$ $=$ $x^{2} - h^{2}$
↓
Einsetzen
$=$ ${47,39}^{2} - {47,27}^{2}$ $\sqrt{}$
$y$ $=$ $\sqrt{{47,39}^{2} - {47,27}^{2}}$
$\approx$ $3,37$
Der Überhang $y$ beträgt $3,37 m$ .
VorsichtWert des Ergebnis
Je nach Wahl der Rechenmethode und Rundungen, kann das Ergebnis etwas abweichen.
Bestimme $y$ mithilfe der Winkelfunktionen oder dem Satz des Pythagoras.

Der schiefe Turm von Suurhusen in Ostfriesland hat bei einer Höhe von 23,37 m über dem Boden einen
Überhang von 2,47 m.
Entscheide mithilfe einer Rechnung, welcher der beiden Türme im Guinness-Buch der Rekorde als schiefster Turm stehen müsste. (3 BE)
Quelle

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck am Turm von Suurhusen
Winkel $α$
$\tan α$ $=$ $\frac{2,47}{23,37}$ $\tan^{- 1} ()$
$α$ $=$ $\tan^{- 1} (\frac{2,47}{23,37})$
$\approx$ $6,03$
Der Winkel des Turms in Suurhusen ist größer als der des schiefen Turms von Pisa.
Streng genommen müsste dieser Turm im Guinessbuch der Rekorde stehen.
Bestimme ein rechtwinkliges Dreieck, wie in der Aufgabenstellung.
Berechne den Winkel $α$ in diesem Dreieck, um mit dem Winkel des Turms in Pisa zu vergleichen.

Zeige mithilfe der Abbildung, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck ABC mit $γ = 90 °$ gilt:
(2 BE)
$\sin (α) = \cos (β)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
$\sin α$ :
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$\sin α = \frac{Gegenkathete}{H y p o t e n u s e} = \frac{a}{c}$
Skizze
$\cos β$ :
$\cos β = \frac{Ankathete}{H y p o t e n u s e} = \frac{a}{c}$
Skizze
Insgesamt ist also:
$\sin α = \frac{a}{c} = \cos β$
Bestimme $α$ aus Gegenkathete und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck.
Bestimme $β$ aus Ankathete und Hypotenuse.
Vergleiche

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$y$	$=$	$- 0,02 \cdot (x - 6)^{2} + 2,5$
	↓	Setze den Term gleich 0.
$0$	$=$	$- 0,02 \cdot (x - 6)^{2} + 2,5$	$- 2,5$
	↓	Berechne den Wert für $x$ .
$- 2,5$	$=$	$- 0,02 \cdot (x - 6)^{2}$	$\cdot (- 1)$
$2,5$	$=$	$0,02 \cdot (x - 6)^{2}$	$: 0,02$
$125$	$=$	$(x - 6)^{2}$	$\sqrt{}$
$\sqrt{125}$	$=$	$x - 6$	$+ 6$
$x$	$=$	$\sqrt{125} + 6$
	$\approx$	$17,18$

Wahlteil

Rechtwinkliges Dreieck

Länge der Mantellinie $s$

Mantelfläche des halben Kegels

Fläche des Dreiecks

Fläche der Grundseite

Gesamt

Richtiger Satz

Wert der Aufschlaghöhe

x-Koordinate des Aufpralls

Vergleich mit der Länge des Spielfelds

Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe

Wert der Wahrscheinlichkeit

Vollständiges Baumdiagramm

Das Gegenereignis

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Das Baumdiagramm

Das Ereignis

Gleichung mit Kosinus

Berechne die Länge $x$

Überhang $y$

Rechtwinkliges Dreieck

Winkel $α$

$\sin α$ :

$\cos β$ :

$s^{2}$	$=$	$h_{K}^{2} + r^{2}$
	$=$	$12^{2} + 6^{2}$
	$=$	$180$	$\sqrt{}$
$s$	$=$	$\sqrt{180}$
	$=$	$13,416...$

$A_{M a n t e l}$	$=$	$\frac{1}{2} π \cdot r \cdot s$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{1}{2} π \cdot 6 \cdot 13,42$
	$\approx$	$126,48$

Die Grundseite $g$ ist $2 r$
	↓
$A_{Δ}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (2 r) \cdot h_{k}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12$
	$=$	$72$

$A_{H a l b k r e i s}$	$=$	$\frac{1}{2} π r^{2}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot π \cdot 6^{2}$
	$\approx$	$56,55$

$V_{K / 2}$	$=$	$\frac{\frac{1}{3} \cdot G \cdot h}{2}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\frac{1}{6} \cdot G \cdot h$
	↓	Grundfläche ist ein Kreis
	$=$	$\frac{1}{6} \cdot π r^{2} \cdot h$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{1}{6} \cdot π \cdot 6^{2} \cdot 12$
	$\approx$	$226,19$

Setze $x = 0$ im Term
	↓
$y$	$=$	$- 0,02 \cdot (0 - 6)^{2} + 2,5$
	$=$	$- 0,02 \cdot 6^{2} + 2,5$
	↓	Berechne
	$=$	$1,78$

Setze den x-Wert ein
	↓
$y$	$=$	$- 0,02 \cdot (9 - 6)^{2} + 2,5$
	$=$	$- 0,02 \cdot 3^{2} + 2,5$
	$=$	$2,32$

$P (" Mindestens einen Joker ")$	$=$	$1 - P (" keinen Joker ")$
	↓	Ergebnis aus Teilaufgabe b einsetzen
	$=$	$1 - \frac{68}{95}$
	$=$	$\frac{27}{95}$
	$=$	$0,28421...$
	$\approx$	$28,42 %$

$\cos α$	$=$	$\frac{h}{x}$	$\cdot x$
$\cos α \cdot x$	$=$	$h$	$: \cos α$
$x$	$=$	$\frac{h}{\cos α}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{47,27}{\cos 4 °}$
	$\approx$	$47,39$

$x^{2}$	$=$	$h^{2} + y^{2}$	$- h^{2}$
$y^{2}$	$=$	$x^{2} - h^{2}$
	↓	Einsetzen
	$=$	${47,39}^{2} - {47,27}^{2}$	$\sqrt{}$
$y$	$=$	$\sqrt{{47,39}^{2} - {47,27}^{2}}$
	$\approx$	$3,37$

$\tan α$	$=$	$\frac{2,47}{23,37}$	$\tan^{- 1} ()$
$α$	$=$	$\tan^{- 1} (\frac{2,47}{23,37})$
	$\approx$	$6,03$

Wahlteil

Rechtwinkliges Dreieck

Länge der Mantellinie s

Mantelfläche des halben Kegels

Fläche des Dreiecks

Fläche der Grundseite

Gesamt

Richtiger Satz

Wert der Aufschlaghöhe

x-Koordinate des Aufpralls

Vergleich mit der Länge des Spielfelds

Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe

Wert der Wahrscheinlichkeit

Vollständiges Baumdiagramm

Das Gegenereignis

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Das Baumdiagramm

Das Ereignis

Gleichung mit Kosinus

Berechne die Länge x

Überhang y

Rechtwinkliges Dreieck

Winkel α

sin⁡α:

cos⁡β:

Länge der Mantellinie $s$

Berechne die Länge $x$

Überhang $y$

Winkel $α$

$\sin α$ :

$\cos β$ :