Wahlteil

Ein Kegel wird halbiert.

Der halbe Kegel hat den Radius $r = 6 c m$ und die Höhe $h_{k} = 12 c m$ .

Berechne die Länge der Mantellinie s. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Rechtwinkliges Dreieck
Der Querschnitt, der in der Skizze oben grau dargestellt ist, enthält unser rechtwinkliges Dreieck.
In diesem rechtwinkligen Dreieck ist die Mantellinie $s$ die Hypotenuse.
Skizze
Länge der Mantellinie $s$
Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
$s^{2}$ $=$ $h_{K}^{2} + r^{2}$
$=$ $12^{2} + 6^{2}$
$=$ $180$ $\sqrt{}$
$s$ $=$ $\sqrt{180}$
$=$ $13,416...$
Die Länge von $s$ beträgt etwa: $s = 13,42 cm$
Bestimme das rechtwinklige Dreieck, in dem $s$ die Hypotenuse ist.
Berechne $s$ in diesem Dreieck mit dem Satz des Pythagoras.
Berechne die Oberfläche des abgebildeten Körpers (halber Kegel). (4 BE)
(Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $s = 13,21 c m$ weiter.)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Mantelfläche des halben Kegels
$A_{M a n t e l}$ $=$ $\frac{1}{2} π \cdot r \cdot s$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{1}{2} π \cdot 6 \cdot 13,42$
$\approx$ $126,48$
Die Mantelfläche beträgt etwa $126,48 {cm}^{2}$ .
Fläche des Dreiecks
Die Grundseite $g$ ist $2 r$
↓
$A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot (2 r) \cdot h_{k}$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12$
$=$ $72$
Der dreieckige Querschnitt hat eine Fläche von: $A_{Δ} = 36 {cm}^{2}$
Fläche der Grundseite
$A_{H a l b k r e i s}$ $=$ $\frac{1}{2} π r^{2}$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{1}{2} \cdot π \cdot 6^{2}$
$\approx$ $56,55$
Die Grundseite hat eine Fläche von etwa $56,55 {cm}^{2}$ .
Gesamt
Insgesamt ergeben sich:
$O = 126,48 + 72 + 56,55 = 298,38$
Die Oberfläche hat einen Flächeninhalt von: $O = 255,03 {cm}^{2}$
Berechne die Mantelfläche des halben Kegels.
Berechne den dreieckigen Querschnitt mit der Grundlinie $s$ und Höhe $h_{k}$ .
Berechne die Fläche der Grundseite (Halbkreis).
Addiere die drei Flächen, um die gesamte Oberfläche zu erhalten.
Berechne das Volumen des halben Kegels. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Das Volumen des Kegels beträgt:
$V_{K / 2}$ $=$ $\frac{\frac{1}{3} \cdot G \cdot h}{2}$
↓
Vereinfache
$=$ $\frac{1}{6} \cdot G \cdot h$
↓
Grundfläche ist ein Kreis
$=$ $\frac{1}{6} \cdot π r^{2} \cdot h$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{1}{6} \cdot π \cdot 6^{2} \cdot 12$
$\approx$ $226,19$
Das Volumen beträgt $V_{K / 2} = 226,19 {cm}^{3}$ .
Berechne das Volumen des ganzen Kegels und teile dabei durch $2$ .
Stelle für einen anderen halben Kegel mit $h_{k} = 2 r$ eine allgemeine Volumenformel in Abhängigkeit von $r$ auf und fasse sie so weit wie möglich zusammen. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
$V_{K / 2}$ $=$ $\frac{\frac{1}{3} \cdot G \cdot h}{2}$
↓
Vereinfache
$=$ $\frac{1}{6} \cdot G \cdot h$
↓
Setze ein
$=$ $\frac{1}{6} \cdot π \cdot r^{2} \cdot 2 r$
↓
Vereinfache
$=$ $\frac{1}{3} \cdot π r^{3}$
Bestimme das Volumen, wie in Aufgabenteil (c).
Verwende anstatt den Zahlenwerten $h_{K} = 2 r$ und fasse zusammen.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$s^{2}$	$=$	$h_{K}^{2} + r^{2}$
	$=$	$12^{2} + 6^{2}$
	$=$	$180$	$\sqrt{}$
$s$	$=$	$\sqrt{180}$
	$=$	$13,416...$

$A_{M a n t e l}$	$=$	$\frac{1}{2} π \cdot r \cdot s$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{1}{2} π \cdot 6 \cdot 13,42$
	$\approx$	$126,48$

Die Grundseite $g$ ist $2 r$
	↓
$A_{Δ}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (2 r) \cdot h_{k}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12$
	$=$	$72$

$A_{H a l b k r e i s}$	$=$	$\frac{1}{2} π r^{2}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot π \cdot 6^{2}$
	$\approx$	$56,55$

$V_{K / 2}$	$=$	$\frac{\frac{1}{3} \cdot G \cdot h}{2}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\frac{1}{6} \cdot G \cdot h$
	↓	Grundfläche ist ein Kreis
	$=$	$\frac{1}{6} \cdot π r^{2} \cdot h$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{1}{6} \cdot π \cdot 6^{2} \cdot 12$
	$\approx$	$226,19$

Wahlteil

Rechtwinkliges Dreieck

Länge der Mantellinie s

Mantelfläche des halben Kegels

Fläche des Dreiecks

Fläche der Grundseite

Gesamt

Länge der Mantellinie $s$