Wahlteil

Der schiefe Turm von Pisa ist geneigt. Der Winkel $𝛼$ beträgt $4 °$ .

Die Aussichtsplattform im 7. Stockwerk hat an der geneigten Seite eine Höhe von $h = 47,27 m$ über dem Boden.

Berechne die Entfernung x vom Fußpunkt des Turmes bis zur Aussichtsplattform.
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Gleichung mit Kosinus
Im rechtwinkligen Dreieck sind
$h$ , die Ankathete gegeben
$x$ , die Hypotenuse gesucht
Wir verwenden Kosinus:
$\cos α = \frac{h}{x}$
Skizze aus Aufgabenstellung
Berechne die Länge $x$
$\cos α$ $=$ $\frac{h}{x}$ $\cdot x$
$\cos α \cdot x$ $=$ $h$ $: \cos α$
$x$ $=$ $\frac{h}{\cos α}$
↓
Einsetzen
$=$ $\frac{47,27}{\cos 4 °}$
$\approx$ $47,39$
Die Entfernung $x$ beträgt $47,39 m$ .
Stelle eine Gleichung mithilfe der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus oder Tangens auf.
Berechne $x$ aus dieser Gleichung.
Berechne den Überhang $y$ des Turmes. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Überhang $y$
Wir berechnen $y$ mit dem Satz des Pythagoras.
$x^{2}$ $=$ $h^{2} + y^{2}$ $- h^{2}$
$y^{2}$ $=$ $x^{2} - h^{2}$
↓
Einsetzen
$=$ ${47,39}^{2} - {47,27}^{2}$ $\sqrt{}$
$y$ $=$ $\sqrt{{47,39}^{2} - {47,27}^{2}}$
$\approx$ $3,37$
Der Überhang $y$ beträgt $3,37 m$ .
VorsichtWert des Ergebnis
Je nach Wahl der Rechenmethode und Rundungen, kann das Ergebnis etwas abweichen.
Bestimme $y$ mithilfe der Winkelfunktionen oder dem Satz des Pythagoras.
Der schiefe Turm von Suurhusen in Ostfriesland hat bei einer Höhe von 23,37 m über dem Boden einen
Überhang von 2,47 m.
Entscheide mithilfe einer Rechnung, welcher der beiden Türme im Guinness-Buch der Rekorde als schiefster Turm stehen müsste. (3 BE)
Quelle
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck am Turm von Suurhusen
Winkel $α$
$\tan α$ $=$ $\frac{2,47}{23,37}$ $\tan^{- 1} ()$
$α$ $=$ $\tan^{- 1} (\frac{2,47}{23,37})$
$\approx$ $6,03$
Der Winkel des Turms in Suurhusen ist größer als der des schiefen Turms von Pisa.
Streng genommen müsste dieser Turm im Guinessbuch der Rekorde stehen.
Bestimme ein rechtwinkliges Dreieck, wie in der Aufgabenstellung.
Berechne den Winkel $α$ in diesem Dreieck, um mit dem Winkel des Turms in Pisa zu vergleichen.
Zeige mithilfe der Abbildung, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck ABC mit $γ = 90 °$ gilt:
(2 BE)
$\sin (α) = \cos (β)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
$\sin α$ :
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$\sin α = \frac{Gegenkathete}{H y p o t e n u s e} = \frac{a}{c}$
Skizze
$\cos β$ :
$\cos β = \frac{Ankathete}{H y p o t e n u s e} = \frac{a}{c}$
Skizze
Insgesamt ist also:
$\sin α = \frac{a}{c} = \cos β$
Bestimme $α$ aus Gegenkathete und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck.
Bestimme $β$ aus Ankathete und Hypotenuse.
Vergleiche

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$\cos α$	$=$	$\frac{h}{x}$	$\cdot x$
$\cos α \cdot x$	$=$	$h$	$: \cos α$
$x$	$=$	$\frac{h}{\cos α}$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\frac{47,27}{\cos 4 °}$
	$\approx$	$47,39$

$x^{2}$	$=$	$h^{2} + y^{2}$	$- h^{2}$
$y^{2}$	$=$	$x^{2} - h^{2}$
	↓	Einsetzen
	$=$	${47,39}^{2} - {47,27}^{2}$	$\sqrt{}$
$y$	$=$	$\sqrt{{47,39}^{2} - {47,27}^{2}}$
	$\approx$	$3,37$

$\tan α$	$=$	$\frac{2,47}{23,37}$	$\tan^{- 1} ()$
$α$	$=$	$\tan^{- 1} (\frac{2,47}{23,37})$
	$\approx$	$6,03$

Wahlteil

Gleichung mit Kosinus

Berechne die Länge x

Überhang y

Rechtwinkliges Dreieck

Winkel α

sin⁡α:

cos⁡β:

Berechne die Länge $x$

Überhang $y$

Winkel $α$

$\sin α$ :

$\cos β$ :