Aufgaben zu Berechnungen am Kreis

1
Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle. Runde dabei auf eine Stelle nach dem Komma.

a)
b)
c)
d)
e)
Radius r
4,5 cm
0,7 mm
Durchmesser d
40,0 cm
5,6 m
Umfang U
92,4 m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung der Radien (erste Zeile)
b) Hier ist der Durchmesser des Kreises gegeben. Der Radius ist immer die Hälfte des Durchmessers. Also gilt für den Radius:
$r = \frac{d}{2} = \frac{40,0 cm}{2} = 20,0 cm$
c) Hier ist auch der Durchmesser gegeben. Den Radius berechnest du genau wie bei b):
$r = \frac{d}{2} = \frac{5,6 m}{2} = 2,8 m$
d) Hier ist der Umfang des Kreises gegeben. Die Formel für den Umfang des Kreises ist: $U = d \cdot π = 2 \cdot r \cdot π$ . Um den Radius des Kreises zu ermitteln, kannst du den Wert für den Umfang einsetzen und dann die Formel umstellen:
$\begin{array}{rclll} 92,4 m & = & 2 \cdot r \cdot π & | : 2 & | : π \\ \frac{92,4 m}{2 \cdot π} & = & r \\ r & \approx & 14,7 m \end{array}$
Berechnung der Durchmesser (zweite Zeile)
a) Hier ist der Radius gegeben. Der Durchmesser ist immer das Doppelte des Radius. Also gilt für den Durchmesser:
$d = 2 \cdot r = 2 \cdot 4,5 cm = 9 cm$
d) Hier ist der Umfang gegeben. Die Formel für den Umfang ist: $U = d \cdot π$ . Um den Durchmesser zu ermitteln, setzt du den Umfang ein und stellst nach $d$ um:
$\begin{array}{rcll} 92,4 m & = & d \cdot π & | : π \\ \frac{92,4 m}{π} & = & d \\ d & \approx & 29,4 m \end{array}$
e) Hier ist wieder der Radius gegeben. Also ist der Durchmesser:
$d = 2 \cdot r = 2 \cdot 0,7 mm = 1,4 mm$
Berechnung der Umfänge (dritte Zeile)
Hier kannst du jedesmal die Formel für den Umfang benutzen. Diese lautet:
$U = d \cdot π = 2 \cdot r \cdot π .$
Je nach dem, ob der Radius $r$ oder der Durchmesser $d$ gegeben ist, setzt du den entsprechenden Wert in die Formel ein.
a) Gegeben ist der Radius.
$U = 2 \cdot r \cdot π = 2 \cdot 4,5 cm \cdot π \approx 28,3 cm .$
b) Gegeben ist der Durchmesser.
$U = d \cdot π = 40 cm \cdot π \approx 125,7 cm$
c) Gegeben ist der Durchmesser.
$U = d \cdot π = 5,6 m \cdot π \approx 17,6 m$
e) Gegeben ist der Radius.
$U = 2 \cdot r \cdot π = 2 \cdot 0,7 mm \cdot π \approx 4,4 mm .$

a)
b)
c)
d)
e)
Radius r
4,5 cm
20,0 cm
2,8 m
14,7 m
0,7 mm
Durchmesser d
9,0 cm
40,0 cm
5,6 m
29,4 m
1,4 mm
Umfang U
28,3 cm
125,7 cm
17,6 m
92,4 m
4,4 mm
Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen. Eine ist, die Spalten der Tabelle durchzugehen und alle fehlenden Größen zu bestimmen. Eine andere Möglichkeit ist, die Zeilen durchzugehen. Zudem kannst du immer auch Zwischenergebnisse weiterverwenden, oder nur mit den Angaben aus der Tabelle rechnen.
In dieser Lösung werden die Zeilen durchgegangen.

	a)	b)	c)	d)	e)
Radius r	4,5 cm	20,0 cm	2,8 m	14,7 m	0,7 mm
Durchmesser d	9,0 cm	40,0 cm	5,6 m	29,4 m	1,4 mm
Umfang U	28,3 cm	125,7 cm	17,6 m	92,4 m	4,4 mm

Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle (auf die erste Dezimalstelle gerundet).

	a)	b)	c)	d)	e)
Radius r	1,5 cm	33,0 cm
Durchmesser d			2,4 m
Umfang U				71,6 m
Flächeninhalt					12,56 cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche

Berechnung der Kreisgrößen

Im Kreis gilt:

$U = 2 r \cdot π; A = r^{2} \cdot π; d = 2 r$

Berechnungen Spalte a.)

$d = 2 r \Rightarrow d = 2 \cdot 1,5 cm$

$d = 3 cm$

$U = 2 r \cdot π \Rightarrow U = 2 \cdot 1,5 cm \cdot π$

$U = 9,4 cm$

$A = r^{2} \cdot π \Rightarrow A = 2,25 {cm}^{2} \cdot π$

$A = 7,1 {cm}^{2}$

Berechnungen Spalte b.) wie a.) jedoch $r = 33,0 cm$

Berechnungen Spalte c.)

$r = \frac{d}{2} \Rightarrow r = \frac{2,4 m}{2}$

$r = 1,2 m$

$U = 2 r \cdot π \Rightarrow U = 2 \cdot 1,2 m \cdot π$

$U = 7,5 m$

$A = r^{2} \cdot π \Rightarrow A = 1,44 {cm}^{2} \cdot π$

$A = 4,5 m^{2}$

Berechnungen Spalte d.)

$U = 2 r \cdot π \Rightarrow 2 r = \frac{U}{π} \Rightarrow 2 r = \frac{71,6 m}{π}$

$2 r = d = 22,8 m$

$r = 11,4 m$

$A = r^{2} \cdot π \Rightarrow A = 129,96 m^{2} \cdot π$

$A = 408,3 m^{2}$

Berechnungen Spalte e.)

$A = r^{2} \cdot π \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{π}} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{12,6 {cm}^{2}}{π}}$

$r = 2,0 cm \Rightarrow d = 2 \cdot 2,0 cm$

$d = 4,0 cm$

$U = 2 r \cdot π \Rightarrow U = 2 \cdot 2,0 cm \cdot π$

$U = 12,6 cm$

Ergänze die Tabelle entsprechend.

	a)	b)	c)	d)	e)
Radius r	1,5 cm	33,0 cm	1,2 m	11,4 m	2,0 cm
Durchmesser d	3,0 cm	66,0 cm	2,4 m	22,8 m	4,0 cm
Umfang U	9,4 cm	207,3 cm	7,5 m	71,6 m	12,6 cm
Flächeninhalt A	7,1 cm²	3421,2 cm²	4,5 m²	408,3 m²	12,6 cm²

3
Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.
Beachte bei der Eingabe der Ergebnisse ins entsprechende Eingabefeld auf Folgendes:
Gib die Ergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma gerundet und ohne Einheit ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Umfang des Kreises: $U = 2 \cdot π \cdot r$
Bei der Figur handelt es sich um einen rechtwinkligen Kreisausschnitt, also einen Kreisausschnitt mit $90^{\circ}$ .
Du kannst demnach diese Gleichung durch 4 teilen bzw. mal ein Viertel nehmen, um den Umfang des Kreisbogens $U_{K r e i s b o g e n}$ zu bestimmen.
$U_{K r e i s b o g e n} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot r$
Alternativ
$U_{K r e i s b o g e n} = 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot r$
Alternativ kannst du aber auch gleich die Formel für die Kreisbogenlänge mit dem Winkel $φ = 90^{\circ}$ verwenden.
Jetzt fehlen noch die 2 geraden Stücke. Diese haben gerade jeweils die Länge des Radius $r$ des Kreises. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreises addieren, um den gesamten Umfang der Figur $U_{F i g u r}$ zu bekommen.
$U_{F i g u r} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot r + 2 \cdot r$
Jetzt muss nur noch für $r = 3 c m$ eingesetzt werden.
$U_{F i g u r} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot 3 + 2 \cdot 3$
$U_{F i g u r} \approx 10,7$
Das Ergebnis ist gerundet.
Der Umfang beträgt $10,7 c m$ ..

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Der Umfang der Figur $U_{F i g u r}$ besteht aus der Länge eines Kreisbogens mit dem Winkel $60^{\circ}$ und den 2 geraden Stücken.
Diese geraden Stücke haben gerade jeweils die Länge des Radius $r$ des Kreissektors. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreissektors addieren, um den gesamten Umfang der Figur zu erhalten.
$U_{F i g u r} = 2 \cdot 3,7 \cdot π \cdot \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} + 2 \cdot 3,7 \approx 11,3$
Der Umfang beträgt $11,3 c m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Der Umfang dieser Figur $U_{F i g u r}$ besteht aus zwei geraden Stücken jeweils der Länge $5,8 c m$ und aus dem Umfang der zwei Halbkreise mit jeweils dem Radius $1,2 c m$ .
Wenn du die zwei Halbkreise nebeneinander legst, erkennst du, dass ein Kreis mit dem Radius $1,2 c m$ entsteht.
Du kannst folglich gleich den Umfang des Kreises ( $U_{K r e i s} = 2 \cdot π \cdot r$ ) mit dem Radius $r = 1,2 c m$ statt die Umfänge der zwei Halbkreise hernehmen.
$U_{g e r a d e S t \ddot{u} c k e} = 2 \cdot 5,8$
$U_{H a l b k r e i s e} = U_{K r e i s} = 2 \cdot π \cdot 1,2$
Ingesamt erhält man
$U_{F i g u r} = 2 \cdot 5,8 + 2 \cdot π \cdot 1,2 \approx 19,1$
Der Umfang beträgt $19,1 c m$ .
4
In einem Kreis mit Radius $r = 5 cm$ ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel $φ = 45^{\circ}$ eingezeichnet.
Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Thema dieser Aufgabe ist der Kreissektor.
$r = 5 cm$
$φ = 45^{\circ}$
Formel für die Bogenlänge anwenden um die Länge des Bogens zu berechnen.
$b$ $=$ $2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
↓
Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
$=$ $2 \cdot π \cdot 5 cm \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{5}{4} π cm$
$\approx$ $3,93 cm$
Formel für den Kreissektorflächeninhalt anwenden.
$A_{S}$ $=$ $π \cdot r^{2} \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
↓
Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
$=$ $π \cdot {(5 cm)}^{2} \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{25}{8} π {cm}^{2}$
$\approx$ $9,82 {cm}^{2}$
Alternativ kann auch mit der Gleichung $A_{S} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot b$ gerechnet werden.
$A_{S} = \frac{1}{2} \cdot 5 cm \cdot \frac{5}{4} π cm = \frac{25}{8} π {cm}^{2} \approx 9,82 {cm}^{2}$

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von $1,20 m$ . Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils $50 c m$ breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite $b$ der zwei gleichen Rechtecke zusammen.
$U_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$ $=$ $2 \cdot r \cdot π + 2 \cdot 2 \cdot b$
$=$ $2 \cdot 0,6 \cdot π + 4 \cdot 0,5$
$=$ $5,77 m$
Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge $l$ der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.
$A_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$ $=$ $r^{2} \cdot π + 2 \cdot (b \cdot l)$
$=$ ${0,6}^{2} \cdot π + 2 \cdot (0,5 \cdot 1,2)$
$=$ $2,33 m^{2}$

Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens $15 c m$ überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

	$𝐁 𝐫 𝐞 𝐢 𝐭 𝐞$	$𝐋 \ddot{𝐚} 𝐧 𝐠 𝐞$
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐀$	140 cm	260 cm
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐁$	150 cm	250 cm
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐂$	160 cm	240 cm

Tischdecke A
Tischdecke B
Tischdecke C

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$b$	$=$	$2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
	$=$	$2 \cdot π \cdot 5 cm \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{5}{4} π cm$
	$\approx$	$3,93 cm$

$A_{S}$	$=$	$π \cdot r^{2} \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
	$=$	$π \cdot {(5 cm)}^{2} \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{25}{8} π {cm}^{2}$
	$\approx$	$9,82 {cm}^{2}$

$U_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$	$=$	$2 \cdot r \cdot π + 2 \cdot 2 \cdot b$
	$=$	$2 \cdot 0,6 \cdot π + 4 \cdot 0,5$
	$=$	$5,77 m$

$A_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$	$=$	$r^{2} \cdot π + 2 \cdot (b \cdot l)$
	$=$	${0,6}^{2} \cdot π + 2 \cdot (0,5 \cdot 1,2)$
	$=$	$2,33 m^{2}$

Aufgaben zu Berechnungen am Kreis

Berechnung der Radien (erste Zeile)

Berechnung der Durchmesser (zweite Zeile)

Berechnung der Umfänge (dritte Zeile)

Berechnung der Kreisgrößen

Ergänze die Tabelle entsprechend.

Alternativ

Tischdecke A

Tischdecke B

Prüfe Tischdecke C