Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Definitionsbereich:

Der Funktionsterm$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+2x}{x+1}}$  ist ein Quotient. Bei einem Quotienten darf der Nenner $N\left(x\right)=(x+1)$ nicht null werden.

Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die Definitionslücke zu bestimmen:

$x+1=0\Rightarrow x=-1$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden $\Rightarrow$ $𝔻=ℝ\backslash \{-1\}$.

Nullstellen:

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=-2$.

Die Funktion $h$ soll auf ganz $ℝ$ definiert sein, d.h. es gibt keine Definitionslücken. Wähle deshalb einen Nenner, der für alle $x\in ℝ$ ungleich 0 ist.

Hier kommen zum Beispiel Funktionen der Art $x^n+a$ ($a>0$, n gerade) infrage.

Wähle z.B. den Nenner $x^2+1\Rightarrow h(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$.

Die Funktion $h$ hat den Definitionsbereich $𝔻=ℝ$. Somit ist die erste Bedingung für die gesuchte Funktion $h$ erfüllt.

Aktuell gilt: $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}}}=0}$$

Da die Funktion $h$ aber die Asymptote $y=3$ haben soll, muss zu dem bisherigen Funktionsterm $3$ addiert werden$\Rightarrow h(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}+3$.

Nun gilt: $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}}}+3=3}$$, also $y_{Asymptote}=3$.

Somit ist auch die zweite Bedingung für die gesuchte Funktion $h$ erfüllt.

Die Funktion $h$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0|4)$.

$h(0)={\displaystyle \frac{1}{0^2+1}}+3=1+3=4$.

Die Funktion $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}+3$ erfüllt damit alle drei Bedingungen.

$${\displaystyle {\int }_1^{e}g(x)\mathrm{d}x={\int }_1^e\frac{4}{x}\mathrm{d}x}$$

Nach den Integrationsregeln darf der konstante Faktor $4$ vor das Integral gezogen werden $\Rightarrow$ $${\displaystyle 4\cdot {\int }_1^e{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{d}x}$$

Die Stammfunktion von ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ ist $F(x)=\ln |x|+C$. Somit erhält man:

Das Integral $${\displaystyle {\int }_1^{e}g(x)\mathrm{d}x}$$ hat den Wert $4$.

Betrachte zunächst die mittlere Änderungsrate von $g(x)$ im Intervall $[1;4]$.

Betrachte nun die lokale Änderungsrate für die Funktion $g(x)$ an einer Stelle $x_0$.

Die Stelle $x_0\in {ℝ}^{+}$, für die gilt, dass die lokale Änderungsrate von $g$ an dieser Stelle mit der mittleren Änderungsrate von $g(x)$ im Intervall $[1;4]$ übereinstimmt, ist $x_0=2$.

Die Funktionswerte $f(6)$ und $g(6)$ lauten: $f(6)=2$ und $g(6)=3$.

Bei einer waagrechten Tangente muss die erste Ableitung den Wert null haben.

Also: $g^{\prime }(x)=0$

Jetzt ist $f^{\prime }(f(x))=0$.

Der Graph von $g$ besitzt waagrechte Tangenten für $x=2$, $x=3$ und $x=5$.

$f_a^{\prime }(0)=-a$ soll nachgewiesen werden:

$f_a(x)=a\cdot e^{-x}+3$

Beachte bei der Ableitung die Kettenregel.

$f_a^{\prime }(x)=a\cdot e^{-x}\cdot (-1)=-a\cdot e^{-x}$

Setze $x=0$ in die erste Ableitung ein:

$f_a^{\prime }(0)=-a\cdot e^{-0}=-a\cdot 1=-a$

Stelle zunächst die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(0|f_a(0))$ auf.

Berechne dazu zuerst $f_a(0)$: $f_a(0)=a\cdot e^{-0}+3=a\cdot 1+3=a+3$

Der Punkt, durch den die Tangente verläuft, hat also die Koordinaten $P(0|a+3)$.

Allgemeine Tangentengleichung:

$t:y=m\cdot x+b$

Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion $f_a$ an der Stelle $x=0$.

In Aufgabe a) wurde diese Steigung berechnet: $f_a^{\prime }(0)=-a$

Damit folgt für die Tangentengleichung:

$t:y=-a\cdot x+b$

Die Tangente verläuft durch den Punkt $(0|a+3)$. Setze diesen Punkt in die Tangentengleichung ein.

Die Tangentengleichung im Punkt $(0|f_a(0))$ lautet: $y=-a\cdot x+a+3$

Die Tangente soll eine positive Steigung haben, d.h. $a$ muss kleiner als null sein.

$\Rightarrow a<0$

Weiterhin wird gefordert, dass die Tangente die $x$-Achse in einem Punkt schneidet, dessen $x$-Koordinate größer als ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ist.

Berechne zunächst den Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse:

Es gilt $y=0$:

Die x-Achse wird bei $x={\displaystyle \frac{-3-a}{-a}}$ geschnitten.

Nun soll dieser Schnittpunkt größer als ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ sein:

Für $a<-6$ hat die Tangente eine positive Steigung und zudem wird die $x$-Achse in einem Punkt geschnitten, dessen $x$-Koordinate größer als ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ist.