Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Löse folgende Aufgaben.

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{x^{2} + 2 x}{x + 1}$ mit maximaler Definitionsmenge $D_{f}$ .
Geben Sie $D_{f}$ und die Nullstellen von $f$ an. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Definitionsbereich:
Der Funktionsterm $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{x + 1}$ ist ein Quotient. Bei einem Quotienten darf der Nenner $N (x) = (x + 1)$ nicht null werden.
Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die Definitionslücke zu bestimmen:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden $\Rightarrow$ $𝔻 = ℝ \ {- 1}$ .
Nullstellen:
Setze den Zähler der Funktion gleich 0.
$0$ $=$ $x^{2} + 2 x$
↓
Klammere $x$ aus.
$0$ $=$ $x (x + 2)$
↓
Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich null wird.
$x_{1}$ $=$ $0$
$x_{2}$ $=$ $- 2$
Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = - 2$ .
Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion $h$ an, die die folgenden Eigenschaften hat: Die Funktion $h$ ist in $ℝ$ definiert; ihr Graph besitzt die Gerade mit der Gleichung $y = 3$ als waagrechte Asymptote und schneidet die y-Achse in Punkt $(0 | 4)$ . (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Die Funktion $h$ soll auf ganz $ℝ$ definiert sein, d.h. es gibt keine Definitionslücken. Wähle deshalb einen Nenner, der für alle $x \in ℝ$ ungleich 0 ist.
Hier kommen zum Beispiel Funktionen der Art $x^{n} + a$ ( $a > 0$ , n gerade) infrage.
Wähle z.B. den Nenner $x^{2} + 1 \Rightarrow h (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .
Die Funktion $h$ hat den Definitionsbereich $𝔻 = ℝ$ . Somit ist die erste Bedingung für die gesuchte Funktion $h$ erfüllt.
Aktuell gilt: $\lim_{x \to + \infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{1}{x^{2} + 1}}} = 0$
Da die Funktion $h$ aber die Asymptote $y = 3$ haben soll, muss zu dem bisherigen Funktionsterm $3$ addiert werden $\Rightarrow h (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} + 3$ .
Nun gilt: $\lim_{x \to + \infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{1}{x^{2} + 1}}} + 3 = 3$ , also $y_{A s y m p t o t e} = 3$ .
Somit ist auch die zweite Bedingung für die gesuchte Funktion $h$ erfüllt.
Die Funktion $h$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 | 4)$ .
$h (0) = \frac{1}{0^{2} + 1} + 3 = 1 + 3 = 4$ .
Die Funktion $h (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} + 3$ erfüllt damit alle drei Bedingungen.
Es gibt viele mögliche Lösungen. Beachte die drei Bedingungen:
in $ℝ$ definiert, also keine Definitionslücke
waagrechte Asymptote bei $y = 3$ , also $\lim_{x \to \pm \infty} h (x) = 3$
geht durch $P (0 | 4)$ , also $h (0) = 4$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$0$	$=$	$x^{2} + 2 x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$0$	$=$	$x (x + 2)$
	↓	Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich null wird.
$x_{1}$	$=$	$0$
$x_{2}$	$=$	$- 2$

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Definitionsbereich:

Nullstellen: