Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Der Graph $G_{f}$ der in $ℝ$ definierten ganzrationalen Funktion $f$ besitzt nur an der Stelle $x = 3$ eine waagrechte Tangente (vgl. Abbildung $2$ ).

Betrachtet wird die in $ℝ$ definierte Funktion $g$ mit $g (x) = f (f (x))$ .

Geben Sie mithilfe von Abbildung $2$ die Funktionswerte $f (6)$ und $g (6)$ an. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Der Funktionswert $f (6)$ kann direkt aus der Abbildung abgelesen werden. Für $x = 6$ erhält man $f (6) = 2$ .
(Folge den $grünen$ Pfeilen.)
Gesucht ist $g (6)$ .
Es gilt: $g (x) = f (f (x))$
$g (6) = f (f (6))$
$f (6)$ wurde schon abgelesen:
$f (6) = 2 \Rightarrow g (6) = f (2)$
Der Funktionswert $f (2)$ kann direkt aus der Abbildung abgelesen werden. Für $x = 2$ erhält man $f (2) = 3$ .
Damit ist $g (6) = f (2) = 3$ .
(Folge den $orangen$ Pfeilen.)
Die Funktionswerte $f (6)$ und $g (6)$ lauten: $f (6) = 2$ und $g (6) = 3$ .

Gemäß der Kettenregel gilt $g^{'} (x) = f^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)$ . Ermitteln Sie damit und mithilfe von Abbildung $2$ alle Stellen, an denen der Graph von $g$ eine waagrechte Tangente besitzt. (3P)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$0$	$=$	$g^{'} (x)$
$0$	$=$	$f^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)$
	↓	Ein Produkt ist dann gleich null, wenn einer der beiden Faktoren null ist. Also $f^{'} (f (x)) = 0$ oder $f^{'} (x) = 0$ .
$0$	$=$	$f^{'} (x)$
	↓	Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass $f^{'} (3) = 0$ ist (waagrechte Tangente).
$x$	$=$	$3$

$0$	$=$	$f^{'} (f (x))$
	↓	Da $f^{'} (3) = 0$ ist, muss $f (x)$ den Wert $3$ haben.
$3$	$=$	$f (x)$