Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

$f_a^{\prime }(0)=-a$ soll nachgewiesen werden:

$f_a(x)=a\cdot e^{-x}+3$

Beachte bei der Ableitung die Kettenregel.

$f_a^{\prime }(x)=a\cdot e^{-x}\cdot (-1)=-a\cdot e^{-x}$

Setze $x=0$ in die erste Ableitung ein:

$f_a^{\prime }(0)=-a\cdot e^{-0}=-a\cdot 1=-a$

Stelle zunächst die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(0|f_a(0))$ auf.

Berechne dazu zuerst $f_a(0)$: $f_a(0)=a\cdot e^{-0}+3=a\cdot 1+3=a+3$

Der Punkt, durch den die Tangente verläuft, hat also die Koordinaten $P(0|a+3)$.

Allgemeine Tangentengleichung:

$t:y=m\cdot x+b$

Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion $f_a$ an der Stelle $x=0$.

In Aufgabe a) wurde diese Steigung berechnet: $f_a^{\prime }(0)=-a$

Damit folgt für die Tangentengleichung:

$t:y=-a\cdot x+b$

Die Tangente verläuft durch den Punkt $(0|a+3)$. Setze diesen Punkt in die Tangentengleichung ein.

Die Tangentengleichung im Punkt $(0|f_a(0))$ lautet: $y=-a\cdot x+a+3$

Die Tangente soll eine positive Steigung haben, d.h. $a$ muss kleiner als null sein.

$\Rightarrow a<0$

Weiterhin wird gefordert, dass die Tangente die $x$-Achse in einem Punkt schneidet, dessen $x$-Koordinate größer als ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ist.

Berechne zunächst den Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse:

Es gilt $y=0$:

Die x-Achse wird bei $x={\displaystyle \frac{-3-a}{-a}}$ geschnitten.

Nun soll dieser Schnittpunkt größer als ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ sein:

Für $a<-6$ hat die Tangente eine positive Steigung und zudem wird die $x$-Achse in einem Punkt geschnitten, dessen $x$-Koordinate größer als ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ist.