Aufgaben zum Trapez

Wiederhole wichtige Grundlagen zum Trapez mit diesen Aufgaben. Hier lernst du, Trapeze zu erkennen, fehlende Seiten und andere Größen zu berechnen.

1
Sortiere das Trapez
Beim Zeichnen des Trapezes ist die Beschriftung durcheinander geraten.
Ordne die Beschriftung richtig zu.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Richtige Beschriftung
Richtig beschriftete Planfigur
Trapeze und andere Vielecke (außer Dreiecke) werden mit den Buchstaben $A, B, C, D, . . .$ beschriftet.
Der Punkt $A$ ist in den Planfiguren immer links unten und es wird gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.

Der Flächeninhalt $A$ vom Trapez wird berechnet. Welche der Formeln ist korrekt?
$A = \frac{(a + c) \cdot h}{2}$
$A = a + b + c + d$
$A = a^{2} + b^{2}$
$A = \frac{a \cdot h}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Richtige Lösung
$A = \frac{(a + c) \cdot h}{2}$
$h$ ist die Höhe
$a$ die Grundseite
$c$ die Seite gegenüber der Grundseite
Die Erklärung für die Formel findest du hier.
2
Augen auf!
Wie viele "echte" Trapeze (d.h. solche, die keine Parallelogramme sind), erkennst du in der gezeichneten Figur?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Es sind 6 Trapeze.
Im nachfolgenden Applet kannst du sie einzeln durch einen Klick auf "Weiter" abrufen.
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3
Die beiden parallelen Seiten eines Trapezes werden mit a und c bezeichnet, die Höhe mit h; für seinen Flächeninhalt gilt: $A = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$ .
Wie ändert sich der Flächeninhalt des Trapezes, wenn die Seite a um eine Längeneinheit verlängert und die Seite c um eine Längeneinheit verkürzt wird?
Die Fläche des Trapezes wird kleiner.
Die Fläche des Trapezes wird größer.
Die Fläche des Trapezes bleibt gleich groß.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Trapezes
$A_{T r a p e z} = \frac{1}{2} (a + 1 LE + c - 1 LE) \cdot h$
$1 LE$ fällt weg.
$A_{T r a p e z} = \frac{1}{2} (a + c) \cdot h$
$\Rightarrow$ Ausgangsformel für den Flächeninhalt eines Trapezes.
Die Fläche des Tapezes ändert sich bei einer Veränderung der beiden Grundseiten um $1 LE$ nicht.
Achtung: Die ursprüngliche Seitenlänge c muss allerdings länger als $1 LE$ sein, damit man sie um $1 LE$ verkürzen kann!
Dies gilt auch, wenn die eine der beiden Grundseiten um einen anderen bestimmten Betrag (kleiner als die Länge der kürzeren Seite) verlängert und die andere um denselben Wert verkürzt wird.
Versuche es zunächst mit einem Zahlenbeispiel.
4
Vom Trapez zum Parallelogramm und zurück
Die Figur zeigt ein Trapez $A B C D$ mit der gegebenen Höhe $h = 3 LE$ .
Welche der folgenden Aussagen treffen dann zu, wenn jeder der Eckpunkte $A, B, C, D$ längs seiner Grundseite beliebig weit nach links oder rechts verschoben werden kann?
Man kann Parallelogramme mit dem Inhalt $10 FE$ erhalten.
Man kann Quadrate mit dem Inhalt $10 FE$ erhalten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Ein Quadrat hat stets den Flächeninhalt $9 FE$ , da eine Seitenlänge $3 LE$ beträgt.
Wenn genau zwei Eckpunkte zusammenfallen, erhältst du ein Dreieck.
Wenn je zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine Strecke.
Im nachfolgenden Applet kannst du alle Eckpunkte beliebig längs ihrer Grundseiten verschieben und die jeweiligen Flächeninhalte der entstehenden Figuren ablesen.
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Beachte:
Parallelogramme ergeben sich stets dann, wenn $α + β = 180 °$ . Ein Flächeninhalt von $10 FE$ ergibt sich immer dann, wenn zusätzlich $A B = C D = \frac{10}{3} LE$ . Du kannst beliebig viele solcher Parallelogramme erzeugen.
5
Winkelberechnungen am Trapez
Im Trapez $A B C D$ gelte $A B ‖ C D$ , $α = 32 °$ , $γ = 75 °$ . Berechne $β$ und $δ$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $A B ‖ C D$
$α = 32 °$
$γ = 75 °$
Gesucht: $β, δ$
Die Innenwinkel an den beiden Grundseiten ergeben zusammen 180°.
$\begin{array}{rcl} 32 ° + δ & = 180 ° | - 32 ° \\ δ & = 148 ° \end{array}$
$\begin{array}{rcl} 75 ° + β & = 180 ° | - 75 ° \\ β & = 105 ° \end{array}$

Im Trapez $A B C D$ gelte $A B ‖ C D$ , $A D ⟂ B C$ , $α = 20 °$ . Berechne $β, γ, δ$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $A B ‖ C D$ (Die Figur ist ein Trapez)
$A D ⟂ B C$ (im Punkt E steckt ein
rechter Winkel)
$α = 20 °$
Gesucht: $β, γ, δ$
Erweitert man die Figur $A, B, C, D$ indem man die Strecken $A D$ und $B C$ weiterzeichnet, erhält man den Punkt $E$ , wie im Bild. Die Information $A D ⟂ B C$ sagt aus, dass sich die Linien dort in einem rechten Winkel schneiden.
Winkel $β$
Die Figur $A, B, E$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Dort ist die Winkelsumme, wie in allen Dreiecken $180 °$ .
$α + β + 90 °$ $=$ $180 °$
↓
$α = 20 °$
$20 ° + β + 90 °$ $=$ $180 °$ $- 110 °$
$β$ $=$ $70 °$
Winkel $δ$
Oberhalb von $δ$ ist ein Stufenwinkel von $α$ . Dieser Winkel könnte zum Beispiel $ϵ$ genannt werden. Es gilt:
$α = ϵ$
Da $δ$ und $ϵ$ zudem Nebenwinkel sind, gilt:
$δ + ϵ$ $=$ $180 °$
↓
$ϵ = α = 20 °$
$δ + 20 °$ $=$ $180 °$ $- 20 °$
$δ$ $=$ $160 °$
Winkel $γ$
In einem Viereck ist die Winkelsumme immer $360 °$ . Damit ist im Trapez:
$α + β + γ + δ$ $=$ $360 °$
$20 ° + 70 ° + γ + 160 °$ $=$ $360 °$ $- 250 °$
$γ$ $=$ $110 °$
Die Winkel $δ$ und $β$ lassen sich direkt ermitteln. Überlege, welcher besondere Winkel oberhalb von $δ$ steckt und wie dieser mit $α$ zusammenhängt. Außerdem, wie ist die Winkelsumme in einem Dreieck?

Im Trapez $A B C D$ gelte: $A D ‖ B C, α = δ = 100 °$ . Berechne $β$ und $γ$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $A D ‖ B C$
$α = δ = 100 °$
Gesucht: $β, γ$
Die Innenwinkel an den parallelen Seiten ergeben zusammen 180°.
$\begin{array}{rcl} 100 ° + β & = 180 ° | - 100 ° \\ β & = 80 ° \end{array}$
$\begin{array}{rcl} 100 ° + γ & = 180 ° | - 100 ° \\ γ & = 80 ° \end{array}$
Anmerkung:
Das Trapez $A B C D$ ist gleichschenklig mit den Schenkeln $[A B] = [C D]$ .
6
Konstruiere ein Trapez $A B C D$ aus der gegebenen Länge der Differenz der beiden Grundseitenlängen $a - c = 3 LE$ , den Schenkellängen $b = B C = 2,5 LE$ und $d = A D = 4 LE$ sowie der Diagonalenlänge $f = B D = 5 LE$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan:
Teildreieck $E B C$ ist konstruierbar aus den Seitenlängen $a - c, b, d$ .
D liegt
a) auf der Parallelen zu $E B$ durch $C$ ,
b) auf dem Kreis k(B;f).
A liegt
a) auf der Geraden $E B$ ,
b) auf der Parallelen zu $E C$ durch $D$ .
Durchführung der Konstruktion mit den gegeben Werten
anhand des Applets.
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7
Konstruiere ein Trapez $A B C D$ aus den Grundseitenlängen $A B = a = 5 cm$ und $C D = c = 3 cm$ sowie den Diagonalenlängen $A C = 6 cm$ und $B D = 5 cm$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan
Die Eckpunkte $A$ und $B$ sind durch $a$ gegeben.
Die Verlängerung der Grundseite $[A B]$ um $c$ über $A$ hinaus ergibt das konstruierbare Dreieck $B A^{'} D$ mit dem Eckpunkt $D$ des Trapezes.
C liegt
a) auf der Parallelen zu $A B$ durch $D$ ,
b) auf der Parallelen zu $A^{'} D$ durch $A$ .
Durchführung der Konstruktion mit den gegebenen Werten
$a = 5 cm; c = 3 cm; e = 6 cm; f = 5 cm$
anhand des Applets.
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Konstruiere ein Trapez $A B C D$ aus den Seitenlängen
$a = 10,5 cm; b = 5,4 cm; c = 6 cm; d = 4,8 cm$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan
$A$ und $B$ sind durch $a$ gegeben.
Das Dreieck $B^{'} B C$ ist durch
$a - c, b, d$
konstruierbar und ergibt den Eckpunkt $C$ .
D liegt
a) auf dem Kreis $k (C; c)$ ,
b) auf dem Kreis $k (A; d)$ .
Alternative Lösung für $D$ :
a) auf der Parallelen zu $A B$ durch $C$ ,
b) auf der Parallelen zu $B^{'} C$ durch $A$ .
Durchführung der Konstrukktion mit den gegebenen Werten
$a = 10,5 cm; b = 5,4 cm; c = 6 cm; d = 4,8 cm$
anhand des Applets.
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9
Meetingpoints am Trapez
Wie bei anderen Vierecken sind auch beim Trapez der Schnittpunkt der Diagonalen und der Schwerpunkt von besonderer Bedeutung.
Im Trapez $A B C D$ mit den Grundseiten $a$ und $c$ und der Höhe $h$ sei $E$ der Schnittpunkt der Diagonalen und $S$ der Schwerpunkt des Trapezes.
Der Schwerpunkt $S$ eines Trapezes liegt auf der Verbindungstrecke der Mittelpunkte der Grundseiten (Mittenlinie) und hat von der Grundseite den Abstand $h_{S} = \frac{h}{3} \cdot \frac{a + 2 c}{a + c}$
Beweise, dass die Mittenlinie eines jeden Trapezes durch den Schnittpunkt der Diagonalen geht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Die zentrische Streckung mit dem Zentrum $E$ und dem Streckungsfaktor $- \frac{E C}{A E}$ bildet $A$ auf $C$ und - weil die Grundseiten des Trapezes parallel sind - $B$ auf $D$ ab.
Da bei einer zentrischen Streckung die Mittelpunktseigenschaft erhalten bleibt, ist $M_{2}$ der Bildpunkt von $M_{1}$ . Damit geht deren Verbindungsstrecke, die Mittenlinie des Trapezes, durch $E$ .
Der Diagonalenschnittpunkt eines Trapezes ist also tatsächlich ein richtiger "Meetingpoint" wichtiger Linien des Trapezes.
Tipp: Eine geeignete zentrische Streckung mit dem Diagonlenschnittpunkt als Zentrum erzeugt das Trapez.

Begründe, dass der Schwerpunkt $S$ und der Diagonlenschnittpunkt $E$ zusammenfallen, wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Der Schwerpunkt $S$ eines Trapezes liegt auf der Mittellinie $[M_{1} M_{2}]$ und sein y-Wert beträgt $y_{S} = \frac{h}{3} \cdot \frac{a + 2 c}{a + c}$ .
Wenn das Trapez $A B C D$ zu einem Parallelogramm wird, gilt: $a = c$ .
Damit ergibt sich für den Schwerpunkt:
$\begin{aligned} y_{S} & = \frac{h}{3} \cdot \frac{a + 2 a}{a + a} \\ y_{S} & = \frac{h}{3} \cdot \frac{3 a}{2 a} \\ y_{S} & = \frac{h}{2} \end{aligned}$
Beachte, dass im Parallelogramm $A B C D$ für den Schnittpunkt $E$ der Diagonalen gilt:
$y_{E} = \frac{h}{2}$ ,
da sich die Diagonalen halbieren.
Wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird, fallen also der Diagonalenschnittpunkt und der Schwerpunkt des Trapezes zusammen.
Im nachfolgenden Applet mit der Höhe $h = 3 L E$ liegt eine Grundlinie auf der x-Achse und alle Eckpunkte können längs der Grundlinien beliebig verschoben werden.
Überzeuge dich bei unterschiedlichen Trapezformen von den jeweiligen Lagen des Schwerpunkts.
Was passiert, wenn das Trapez nicht nur zu einem Parallelogramm "entartet", sondern zu einem Dreieck oder gar zu einer Strecke?(Ganz schön spannend - findest du nicht?)
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So konstruiert man den Schwerpunkt eines Trapezes:
Zeichne die Mittenlinie $[M_{1} M_{2}]$ des Trapezes.
Verlängere $[D C]$ über $C$ hinaus um die Strecke $a$ zum Endpunkt $E$ .
Verlängere $[A B]$ über $A$ hinaus um die Strecke $c$ zum Endpunkt $F$ .
Der Schnittpunkt von $[F E]$ mit $[M_{1} M_{2}]$ ist der Schwerpunkt $S$ .
Begründe, warum für $c = 0$ mit dieser Konstruktion der Schwerpunkt eines Dreiecks konstruiert wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Mit $c = 0$ wird das Trapez zum Dreieck $A B C$ und für die Konstruktion des Schwerpunktes gilt $F = A$ .
$A B E C$ ist ein Parallelogramm, in dem sich die Diagonalen $[A E]$ und $[B C]$ halbieren.
Also ist im Dreieck $A B C$ neben $[C M]$ auch $[A P]$ eine Seitenhalbierende und ihr Schnittpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks.
Die Konstruktion des Schwerpunktes im Trapez und auch den Übergang vom Trapez zum Dreieck kannst du im folgenden Applet nachvollziehen.
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10
Berechne jeweils die gesuchte Größe im Trapez.
$\begin{array}{ccccc} a & c & h & A \\ 4 cm & 8 cm & 5 cm & ? \end{array}$
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:
A = $\frac{(a + c) \cdot h}{2}$
A = $\frac{(4 cm + 8 cm) \cdot 5 cm}{2}$
A = 30 $c m^{2}$

$\begin{array}{ccccc} a & c & h & A \\ 3 cm & 4 cm & 4,5 cm & ? \end{array}$
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:
A = $\frac{(a + c) \cdot h}{2}$
A = $\frac{(3 cm + 4 cm) \cdot 4,5 cm}{2}$
A=15,75 $c m^{2}$

$\begin{array}{ccccc} a & c & h & A \\ 5 dm & 14 cm & 2 dm & ? \end{array}$
dm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:
A = $\frac{(a + c) \cdot h}{2}$
A = $\frac{(5 dm + 1,4 dm) \cdot 2 dm}{2}$
A = 6,4 $d m^{2}$

$\begin{array}{ccccc} a & c & h & A \\ 6 cm & 4 cm & ? & 25 cm \end{array}$
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Um die Höhe des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel, in die du den Flächeninhalt $A$ , die sich parallel gegenüberliegenden Seiten $a$ und $c$ und die Höhe $h$ einsetzen kannst. Dann kannst du nach $h$ auflösen. Die Formel ist
$A = \frac{(a + c) \cdot h}{2}$
$A$ $=$ $\frac{(a + c) \cdot h}{2}$
↓
Setze die bekannten Werte ein
$25 {cm}^{2}$ $=$ $\frac{(6 cm + 4 cm) \cdot h}{2}$
↓
Zusammenfassen
$25 {cm}^{2}$ $=$ $\frac{10 cm \cdot h}{2}$ $\cdot 2$
$50 {cm}^{2}$ $=$ $10 cm \cdot h$ $: 10 cm$
$5 cm$ $=$ $h$

$\begin{array}{ccccc} a & c & h & A \\ 1,5 cm & 3,5 cm & ? & 11,25 cm \end{array}$
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:
A = $\frac{(a + c) \cdot h}{2}$
$11,25 c m^{2}$ = $\frac{(1,5 cm + 3,5 cm) \cdot h}{2}$
$11,25 c m^{2}$ = $\frac{5 cm \cdot h}{2}$ | $\cdot 2$
$22,5 c m^{2}$ = $5 cm \cdot h$ | $: 5 cm$
$4,5 cm$ = $h$

$\begin{array}{ccccc} a & c & h & A \\ ? & 4 cm & 5 cm & 30 cm \end{array}$
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, brauchst du eine Formel in die du die sich parallel, gegenüberliegenden Seiten a und c und die Höhe h einsetzen musst. Diese lautet wie folgt:
A = $\frac{(a + c) \cdot h}{2}$
$30 c m^{2}$ = $\frac{(a + 4 cm) \cdot 5 cm}{2}$ | $\cdot 2$
$60 c m^{2}$ = $(a + 4 cm) \cdot 5 cm$
$60 c m^{2}$ = $5 cm \cdot a + 20 c m^{2}$ | $- 20 c m^{2}$
$40 c m^{2}$ = $5 cm \cdot a$ | $: 5 cm$
$8 cm$ = $a$
11
Die Fläche eines Trapezes ist um $40 m^{2}$ kleiner als die Fläche eines Rechtecks, das über der größeren Grundlinie errichtet ist und die gleiche Höhe hat.
Wie groß sind die Grundlinien des Trapezes, wenn die eine um $17 m$ , die andere um $7 m$ länger ist als die Höhe?

Gegeben:
$\begin{aligned} I a & = h + 17 m \\ II c & = h + 7 m | I - II \\ III a - c & = 10 m \end{aligned}$
$IV A_{R e c h t e c k} - A_{T r a p e z} = 40 m^{2}$
Gesucht:
Die Grundlinienlängen des Trapezes.
Flächenformeln für Rechteck und Trapez in IV einsetzen.
$\begin{aligned} a \cdot h - \frac{a + c}{2} \cdot h & = 40 m^{2} | \cdot 2 \\ 2 a h - a h - c h & = 80 m^{2} \\ a h - c h & = 80 m^{2} \\ h \cdot (a - c) & = 80 m^{2} \\ h \cdot 10 m & = 80 m^{2} | : 10 m \\ h & = 8 m \end{aligned}$
Zusammenfassen und III einsetzen.
h in I und II einsetzen.
$\begin{aligned} a & = 25 m \\ c & = 15 m \end{aligned}$
Die Grundseiten des Trapezes sind $25 m$ und $15 m$ lang.

Wie lang ist die Grundlinie eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist?
m

Gesucht die Grundlinienlänge eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist.
Berechne die Fläche des Trapezes mit den bekannten Werten für $a, c, h$
$A_{T r a p e z} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a + c}{2} \cdot h = 160 m^{2}$
Verwende die Flächenformel für ein Dreieck.
$A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot 8 m$
Setze die Flächen gleich und löse die Gleichung nach $g$ auf.
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot g \cdot 8 m & = 160 m^{2} | \cdot 2 : 8 m \\ g & = 40 m \end{aligned}$
Die gesuchte Grundlinienlänge des zum Trapez flächen- und höhengleichen Dreiecks beträgt $40 m$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$α + β + 90 °$	$=$	$180 °$
	↓	$α = 20 °$
$20 ° + β + 90 °$	$=$	$180 °$	$- 110 °$
$β$	$=$	$70 °$

$δ + ϵ$	$=$	$180 °$
	↓	$ϵ = α = 20 °$
$δ + 20 °$	$=$	$180 °$	$- 20 °$
$δ$	$=$	$160 °$

$α + β + γ + δ$	$=$	$360 °$
$20 ° + 70 ° + γ + 160 °$	$=$	$360 °$	$- 250 °$
$γ$	$=$	$110 °$

$A$	$=$	$\frac{(a + c) \cdot h}{2}$
	↓	Setze die bekannten Werte ein
$25 {cm}^{2}$	$=$	$\frac{(6 cm + 4 cm) \cdot h}{2}$
	↓	Zusammenfassen
$25 {cm}^{2}$	$=$	$\frac{10 cm \cdot h}{2}$	$\cdot 2$
$50 {cm}^{2}$	$=$	$10 cm \cdot h$	$: 10 cm$
$5 cm$	$=$	$h$

Aufgaben zum Trapez

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