Aufgaben zum Trapez

Die Fläche eines Trapezes ist um $40 m^{2}$ kleiner als die Fläche eines Rechtecks, das über der größeren Grundlinie errichtet ist und die gleiche Höhe hat.

Wie groß sind die Grundlinien des Trapezes, wenn die eine um $17 m$ , die andere um $7 m$ länger ist als die Höhe?

Gegeben:
$\begin{aligned} I a & = h + 17 m \\ II c & = h + 7 m | I - II \\ III a - c & = 10 m \end{aligned}$
$IV A_{R e c h t e c k} - A_{T r a p e z} = 40 m^{2}$
Gesucht:
Die Grundlinienlängen des Trapezes.
Flächenformeln für Rechteck und Trapez in IV einsetzen.
$\begin{aligned} a \cdot h - \frac{a + c}{2} \cdot h & = 40 m^{2} | \cdot 2 \\ 2 a h - a h - c h & = 80 m^{2} \\ a h - c h & = 80 m^{2} \\ h \cdot (a - c) & = 80 m^{2} \\ h \cdot 10 m & = 80 m^{2} | : 10 m \\ h & = 8 m \end{aligned}$
Zusammenfassen und III einsetzen.
h in I und II einsetzen.
$\begin{aligned} a & = 25 m \\ c & = 15 m \end{aligned}$
Die Grundseiten des Trapezes sind $25 m$ und $15 m$ lang.
Wie lang ist die Grundlinie eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist?
m

Gesucht die Grundlinienlänge eines Dreiecks, das dem Trapez flächen- und höhengleich ist.
Berechne die Fläche des Trapezes mit den bekannten Werten für $a, c, h$
$A_{T r a p e z} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a + c}{2} \cdot h = 160 m^{2}$
Verwende die Flächenformel für ein Dreieck.
$A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot 8 m$
Setze die Flächen gleich und löse die Gleichung nach $g$ auf.
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot g \cdot 8 m & = 160 m^{2} | \cdot 2 : 8 m \\ g & = 40 m \end{aligned}$
Die gesuchte Grundlinienlänge des zum Trapez flächen- und höhengleichen Dreiecks beträgt $40 m$ .

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