Aufgaben zur Kugelgleichung

Hier findest du Aufgaben rund um die Kugelgleichung. Lerne, die Kugelgleichung aufzustellen, Punktproben durchzuführen und vieles mehr!

1
Wie lautet die Gleichung einer Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (1 | 3 | 2)$ und dem Radius $r = 3$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Setze die gegebenen Werte $M (1 | 3 | 2)$ und $r = 3$ in die Kugelgleichung ein:
$(\vec{x} - \vec{m})^{2}$ $=$ $r^{2}$
↓
Setze $M (1 | 3 | 2)$ und $r = 3$ ein.
${(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}))}^{2}$ $=$ $3^{2}$
${(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}))}^{2}$ $=$ $9$
Die Kugelgleichung in Vektorform lautet $K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}))}^{2} = 9$ .
Diese Gleichung kann auch folgendermaßen geschrieben werden:
$K : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array})) \circ (\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array})) = 9$ .
Als Koordinatengleichung erhältst du:
$K : (x_{1} - 1)^{2} + (x_{2} - 3)^{2} + (x_{3} - 2)^{2} = 9$
2
Gegeben ist eine Kugel mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r$ .
Prüfe, ob der jeweilige Punkt
in der Kugel,
auf der Kugel oder
außerhalb der Kugel
liegt.
Punkt $A (- 3 | 2 | 4)$ , $M (- 1 | 2 | 4)$ , $r = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
Punkt $A (- 3 | 2 | 4)$ , $M (- 1 | 2 | 4)$ , $r = 2$
$K : (\vec{x} - \vec{m})^{2} = r^{2}$
$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}))}^{2} = 2^{2} = 4$
Punkt $A$ in $K$ einsetzen
Überprüfe, ob der Punkt $A$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $A$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:
${((\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}))}^{2} \overset{?}{=} 4$
Rechne die linke Seite der Gleichung nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.
${(\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{array})}^{2} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (- 2) \cdot (- 2) + 0 + 0 = 4$
Antwort: Der Punkt $A$ erfüllt die Kugelgleichung $K$ , d.h. er liegt auf der Kugel.
Stelle die Kugelgleichung $K$ in vektorieller Form auf und setze den Punkt $A$ in die Gleichung $K$ ein.

Punkt $B (1 | 2 | 2)$ , $M (1 | 0 | 1)$ , $r = 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
Punkt $B (1 | 2 | 2)$ , $M (1 | 0 | 1)$ , $r = 3$
$K : (\vec{x} - \vec{m})^{2} = r^{2}$
$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}))}^{2} = 3^{2} = 9$
Punkt $B$ in $K$ einsetzen
Überprüfe, ob der Punkt $B$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $B$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:
${((\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}))}^{2} \overset{?}{=} 9$
Rechne die linke Seite der Gleichungs nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.
${(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array})}^{2} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = 0 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 4 + 1 = 5 < 9$
Antwort: Der Punkt $B$ erfüllt die Kugelgleichung $K$ nicht.
Da $5 < 9$ ist, liegt der Punkt $B$ innerhalb der Kugel $K$ .
Stelle die Kugelgleichung $K$ in vektorieller Form auf und setze den Punkt $B$ in die Gleichung $K$ ein.

Punkt $C (3 | 3 | 4)$ , $M (2 | - 1 | 3)$ , $r = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
Punkt $C (3 | 3 | 4)$ , $M (2 | - 1 | 3)$ , $r = 4$
$K : (\vec{x} - \vec{m})^{2} = r^{2}$
$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}))}^{2} = 4^{2} = 16$
Punkt $C$ in $K$ einsetzen
Überprüfe, ob der Punkt $C$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $C$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:
${((\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}))}^{2} \overset{?}{=} 16$
Rechne die linke Seite der Gleichung nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.
${(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array})}^{2} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 4 + 1 \cdot 1 = 1 + 16 + 1 = 18 > 16$
Antwort: Der Punkt $C$ erfüllt die Kugelgleichung $K$ nicht.
Da $18 > 16$ ist, liegt der Punkt $C$ außerhalb der Kugel $K$ .
Stelle die Kugelgleichung $K$ in vektorieller Form auf und setze den Punkt $C$ in die Gleichung $K$ ein.

Gesucht ist die Vektorgleichung einer Kugel $K$ mit folgenden Eigenschaften:

der Kugelmittelpunkt ist $M (1 | 2 | 1)$
die Kugel geht durch den Punkt $P (2 | 5 | 3)$ .

Die gegebene quadratische Gleichung stellt eine Kugel $K$ dar. Bestimme den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r$ der Kugel.

$K : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 x_{1} + 8 x_{3} = - 11$

Gegeben ist eine Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (4 | - 1 | z)$ und dem Radius $r = 3$ . Bestimme $z$ so, dass der Punkt $P (6 | 1 | 3)$ auf der Kugel $K$ liegt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 x_{1} + 8 x_{3}$	$=$	$- 11$
	↓	linke Seite sortieren
$x_{1}^{2} - 4 x_{1} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 8 x_{3}$	$=$	$- 11$
	↓	quadratische Ergänzung anwenden
$(x_{1}^{2} - 4 x_{1} + 4 - 4) + x_{2}^{2} + (x_{3}^{2} + 8 x_{3} + 16 - 16)$	$=$	$- 11$
	↓	binomische Formel anwenden
$(x_{1} - 2)^{2} - 4 + (x_{2} - 0)^{2} + (x_{3} + 4)^{2} - 16$	$=$	$- 11$
	↓	linke Seite vereinfachen
$(x_{1} - 2)^{2} + (x_{2} - 0)^{2} + (x_{3} + 4)^{2} - 20$	$=$	$- 11$	$+ 20$
$(x_{1} - 2)^{2} + (x_{2} - 0)^{2} + (x_{3} + 4)^{2}$	$=$	$9$

$z_{1,2} =$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze die Werte für $p$ und $q$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 6)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 6}{2})}^{2} - 8}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$3 \pm \sqrt{9 - 8}$
	$=$	$3 \pm \sqrt{1}$
	$=$	$3 \pm 1$
$z_{1}$	$=$	$2$
$z_{2}$	$=$	$4$

Aufgaben zur Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt $A$ in $K$ einsetzen

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt $B$ in $K$ einsetzen

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt $C$ in $K$ einsetzen

Kugelgleichung

Stelle die Kugelgleichung auf:

$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ z \end{array}))}^{2} = 3^{2} = 9$

Setze die Punktkoordinaten von $P$ für den Vektor $\vec{x}$ in $K$ ein.

$(\vec{x} - \vec{m})^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Setze $M (1 \| 3 \| 2)$ und $r = 3$ ein.
${(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}))}^{2}$	$=$	$3^{2}$
${(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}))}^{2}$	$=$	$9$

$(\vec{x} - \vec{m})^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Setze $M$ ein.
${(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}))}^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Setze $P$ ein.
${((\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}))}^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	vereinfache
${(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array})}^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus
$1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2$	$=$	$r^{2}$
	↓	vereinfache
$14$	$=$	$r^{2}$	$\sqrt{}$
	↓	Der Radius ist positiv, daher entfällt die negative Wurzel.
$\sqrt{14}$	$=$	$r$

${(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ z \end{array}))}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Den Punkt $P$ einsetzen.
${((\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ z \end{array}))}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Die linke Seite vereinfachen.
${(\begin{array}{c} 6 - 4 \\ 1 - (- 1) \\ 3 - z \end{array})}^{2}$	$=$	$9$
${(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 - z \end{array})}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$2^{2} + 2^{2} + (3 - z)^{2}$	$=$	$9$
	↓	Vereinfache und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$4 + 4 + 9 - 6 z + z^{2}$	$=$	$9$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$z^{2} - 6 z + 17$	$=$	$9$	$- 9$
$z^{2} - 6 z + 8$	$=$	$0$

Aufgaben zur Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt A in K einsetzen

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt B in K einsetzen

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt C in K einsetzen

Kugelgleichung

Stelle die Kugelgleichung auf:

K: (x→−(4−1z))2=32=9

Setze die Punktkoordinaten von P für den Vektor x→ in K ein.

Punkt $A$ in $K$ einsetzen

Punkt $B$ in $K$ einsetzen

Punkt $C$ in $K$ einsetzen

$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ z \end{array}))}^{2} = 3^{2} = 9$

Setze die Punktkoordinaten von $P$ für den Vektor $\vec{x}$ in $K$ ein.