Aufgaben zur Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt $A(-3|2|4)$, $M(-1|2|4)$, $r=2$

$K:(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m}{)}^2=r^2$

$K:{(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right))}^2=2^2=4$

Punkt $A$ in $K$ einsetzen

Überprüfe, ob der Punkt $A$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $A$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:

${(\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right))}^2\stackrel{?}{=}4$

Rechne die linke Seite der Gleichung nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.

${\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=(-2)\cdot (-2)+0+0=4$

Antwort: Der Punkt $A$ erfüllt die Kugelgleichung $K$, d.h. er liegt auf der Kugel.

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt $B(1|2|2)$, $M(1|0|1)$, $r=3$

$K:(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m}{)}^2=r^2$

$K:{(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right))}^2=3^2=9$

Punkt $B$ in $K$ einsetzen

Überprüfe, ob der Punkt $B$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $B$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:

${(\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right))}^2\stackrel{?}{=}9$

Rechne die linke Seite der Gleichungs nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.

${\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right)=0+2\cdot 2+1\cdot 1=4+1=5<9$

Antwort: Der Punkt $B$ erfüllt die Kugelgleichung $K$ nicht.

Da $5<9$ ist, liegt der Punkt $B$ innerhalb der Kugel $K$.

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt $C(3|3|4)$, $M(2|-1|3)$, $r=4$

$K:(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m}{)}^2=r^2$

$K:{(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right))}^2=4^2=16$

Punkt $C$ in $K$ einsetzen

Überprüfe, ob der Punkt $C$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $C$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:

${(\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right))}^2\stackrel{?}{=}16$

Rechne die linke Seite der Gleichung nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.

${\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 1+4\cdot 4+1\cdot 1=1+16+1=18>16$

Antwort: Der Punkt $C$ erfüllt die Kugelgleichung $K$ nicht.

Da $18>16$ ist, liegt der Punkt $C$ außerhalb der Kugel $K$.