Mathe Geometrie Analytische Geometrie Kreise und Kugeln Aufgaben zur Kugelgleichung

Aufgaben zur Kugelgleichung

Gegeben ist eine Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (4 | - 1 | z)$ und dem Radius $r = 3$ . Bestimme $z$ so, dass der Punkt $P (6 | 1 | 3)$ auf der Kugel $K$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Stelle die Kugelgleichung auf:

$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ z \end{array}))}^{2} = 3^{2} = 9$

Setze die Punktkoordinaten von $P$ für den Vektor $\vec{x}$ in $K$ ein.

${(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ z \end{array}))}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Den Punkt $P$ einsetzen.
${((\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ z \end{array}))}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Die linke Seite vereinfachen.
${(\begin{array}{c} 6 - 4 \\ 1 - (- 1) \\ 3 - z \end{array})}^{2}$	$=$	$9$
${(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 - z \end{array})}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$2^{2} + 2^{2} + (3 - z)^{2}$	$=$	$9$
	↓	Vereinfache und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$4 + 4 + 9 - 6 z + z^{2}$	$=$	$9$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$z^{2} - 6 z + 17$	$=$	$9$	$- 9$
$z^{2} - 6 z + 8$	$=$	$0$

Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten $z$ erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 6$ , $q = 8$

$z_{1,2} =$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze die Werte für $p$ und $q$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 6)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 6}{2})}^{2} - 8}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$3 \pm \sqrt{9 - 8}$
	$=$	$3 \pm \sqrt{1}$
	$=$	$3 \pm 1$
$z_{1}$	$=$	$2$
$z_{2}$	$=$	$4$

Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {2; 4}$ .

Da es für $z$ zwei Lösungen gibt, existieren auch zwei verschiedene Mittelpunkte. Es gibt demnach zwei Kugeln mit dem Radius $r = 3$ , auf denen der Punkt $P$ liegt.

$z_{1} = 2 \Rightarrow M_{1} (4 | - 1 | 2)$

$z_{2} = 4 \Rightarrow M_{1} (4 | - 1 | 4)$

Stelle die Kugelgleichung $K$ auf. Setze die Punktkoordinaten von $P$ für den Vektor $\vec{x}$ ein und berechne das Skalarprodukt. Löse die erhaltene quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel.

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Aufgaben zur Kugelgleichung

Stelle die Kugelgleichung auf:

K: (x→−(4−1z))2=32=9

Setze die Punktkoordinaten von P für den Vektor x→ in K ein.

$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ z \end{array}))}^{2} = 3^{2} = 9$

Setze die Punktkoordinaten von $P$ für den Vektor $\vec{x}$ in $K$ ein.