Abiturkurs Analysis

1 Ziele dieses Kurses

Dieser Kurs dient zur Abiturvorbereitung im Themengebiet Analysis. Er bietet zunächst eine Übersicht über viele möglichen Aufgabentypen, die das Grundgerüst der Analysis im Abitur darstellen. Hast du diese Aufgaben gelöst, kommen nach und nach längere und schwierigere Aufgaben, darunter auch frühere Abituraufgaben.

In diesem Kurs wiederholst du die Aspekte der Kurvendiskussion sowie u. a. das Arbeiten mit mathematischen Textaufgaben.

2 Grundlagen der Analysis

Hier siehst du eine Sammlung von Links zu den wichtigsten Grundlagen, die für das Mathematikabitur wichtig sind. Die folgenden Begriffe und ihre Bedeutung sollten dir bekannt sein. Falls du mit einem Thema nicht vertraut bist, solltest du dir die Artikel dazu durchlesen.

Funktionen

Nützliche Formeln

3 Arbeiten mit Funktionen - ein Handbuch

Arbeiten mit Funktionen

Funktionen kann man auf unendlich viele Arten und Weisen verändern und bearbeiten. Allerdings sind nur wenige Vorgehensweisen nützlich, wenn konkrete Fragestellungen der Mathematik zu bearbeiten sind.

Diese Übersicht kann dir als Richtlinie dienen, wie du am besten und schnellsten die geforderten Eigenschaften der Funktion überprüfst.

Aufgeführt sind ein paar generelle Aspekte der Kurvendiskussion, die immer wieder auftauchen und manchmal mehr Arbeit erfordern. Für Hilfen zu anderen Aufgaben, wie Symmetrie, klicke bitte auf den jeweiligen Link für mehr Informationen im Artikel.

Die Aufgabenstellung verlangt…

1. …einen Term $t$ mit $0$ gleichzusetzen. Die gesuchte Variable wird hier immer x genannt.

Der Term $t$ ist eine Summe:

Nur ein $x$ vorhanden $\Rightarrow$ nach $x$ auflösen.
In jedem Summanden steht x $\Rightarrow$ Ausklammern der niedrigsten $x$ -Potenz. Danach die Faktoren einzeln betrachten und jeweils wieder von oben beginnen.
Nur ein $x^{2}$ und ein $x$ vorhanden $\Rightarrow$ Mitternachtsformel
Nur ein $x^{2 k}$ und ein $x^{k}$ vorhanden $\Rightarrow$ Substitution mit $u = x^{k}$ ; danach Schritt 3 und Resubstitution.
Der Term $t$ ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Dann Nullstelle raten: die Nullstelle könnte ein Teiler $a$ der Konstanten des Polynoms sein, deshalb $\pm 1; \pm a \dots$ nacheinander ausprobieren $\Rightarrow$ Polynomdivision durchführen und das Ergebnis weiter untersuchen.

Der Term $t$ ist ein Produkt:

Betrachte die Faktoren einzeln und beginne jeweils wieder von oben.

Beispiele:

$\begin{array}{lrl} x^{2} - 4 & = 0 \\ \Leftrightarrow & x^{2} & = 4 \\ \Leftrightarrow & x & = \pm 2 \end{array} \begin{array}{lrl} e^{x} - 3 & = 0 \\ \Leftrightarrow & e^{x} & = 3 \\ \Leftrightarrow & x & = \ln (3) \end{array}$
$\begin{array}{lr} x^{3} - 2 x^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & x^{2} (x - 2) = 0 \end{array}$
$\begin{array}{ll} x^{2} - x - 2 = 0 \\ \Rightarrow & x_{1; 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \end{array}$
$\begin{array}{llcl} x^{6} - x^{3} - 2 & = & 0 \\ u = x^{3} \\ \Rightarrow & u^{2} - u - 2 & = & 0 \\ \dots \end{array}$
$\begin{array}{ll} x^{3} - x^{2} + 2 = 0 \\ \Rightarrow & x_{1} = - 1 \\ \Rightarrow & (x^{3} - x^{2} + 2) : (x + 1) = x^{2} - 2 x + 2 \\ \Rightarrow & x^{2} - 2 x + 2 = 0 \\ \dots \end{array}$

2. … den Definitionsbereich einer Funktion $f$ zu bestimmen.

Der Ausgangsdefinitionsbereich ist, wenn nichts Anderes erwähnt wird, ganz $ℝ$
Mögliche Stellen, die für $x$ nicht zulässig sind, überprüfen:Brüche: Der Nenner darf nicht $0$ sein. $\Rightarrow$ Nenner mit $0$ gleichsetzen (siehe Abschnitt $1$ ).Die Wurzelfunktion: Der Radikand (Term unter dem Wurzelzeichen) darf nicht negativ sein. $\Rightarrow$ Radikand mit $0$ gleichsetzen (siehe Abschnitt $1$ ) und dann durch Einsetzen einer Zahl zwischen den Nullstellen und Definitionslücken des Radikanden überprüfen, wo der Radikand positiv bzw. negativ ist.Die Logarithmusfunktion: Der Term, auf den der Logarithmus angewendet wird, darf nicht $0$ oder negativ sein. $\Rightarrow$ Term im Logarithmus mit $0$ gleichsetzen (siehe Abschnitt $1$ ) und dann durch Einsetzen einer Zahl zwischen den Nullstellen und Definitionslücken des Terms überprüfen, wo er positiv bzw. negativ ist.
Alle ermittelten Problemstellen für $x$ werden von $ℝ$ ausgeschlossen.

Beispiele:

Problem Brüche: $f (x) = \frac{2 x}{x^{2}}$

Der Nenner darf nicht Null sein. Finde also die Nullstellen des Nenners und schließe sie aus dem Definitionsbereich aus:

$\begin{array}{ll} x^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 \\ \Rightarrow & 𝔻_{f} = ℝ ∖ {0} \end{array}$

Problem Wurzelfunktionen: $f (x) = \sqrt{3 - x}$

Der Radikand darf nicht negativ sein.

$\begin{array}{ll} 3 - x \geq 0 \\ \Leftrightarrow & x \leq 3 \\ \Rightarrow & 𝔻_{f} =] - \infty; 3] \end{array}$

Problem Logarithmusfunktion: $f (x) = \ln (4 x + 2)$

Der Ausdruck im Logarithmus muss positiv sein.

$\begin{array}{ll} 4 x + 2 > 0 \\ \Leftrightarrow & x > - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow & 𝔻_{f} =] - \frac{1}{2}; \infty [ \end{array}$

3. … Grenzwerte einer Funktion $f$ zu betrachten.

Grenzwerte werden immer dann benötigt, wenn man die Werte der Funktion $f$ nicht direkt angeben kann. Das ist an allen Grenzen des Definitionsbereichs der Fall. So muss man bei einer Funktion $f$ mit Definitionsbereich $𝔻_{f} = ℝ^{+} ∖ ([1; 2] \cup {4,5})$ die Grenzwerte gegen $0$ ; $1$ ; $2$ ; $4,5$ und $\infty$ bilden.

Grenzwerte im Unendlichen: $\lim_{x \to \pm \infty} f (x)$

(Ausmultiplizierte) gebrochen-rationale FunktionenZählergrad größer als Nennergrad $\Rightarrow$ Grenzwert ist je nach Vorzeichen $\pm \infty$ .Zählergrad gleich groß wie Nennergrad $\Rightarrow$ Grenzwert entspricht dem Bruch der Koeffizienten der höchsten Potenzen im Zähler und Nenner.Zählergrad kleiner als Nennergrad $\Rightarrow$ Grenzwert ist 0.

--Grenzwerte gegen reelle Zahlen: $\lim_{x \to k \pm 0} f (x)$

Gebrochenrationale Funktionen Vorgehen bei nicht behebbaren Definitionslücken:Der Grenzwert liegt im Unendlichen, nur das Vorzeichen ist unklar.Zähler und Nenner als Linearfaktoren schreiben.Grenzwert $k$ einsetzen und bei allen Faktoren nur die Vorzeichen merken. Bei dem Faktor, der 0 wird, entscheiden, ob man sich von rechts (+0) oder von links (-0) nähert und das Vorzeichen danach wählen.Alle Vorzeichen miteinander "verrechnen" (minus mal minus ergibt plus).Das resultierende Vorzeichen ist das Vorzeichen von $\infty$ und zeigt damit den Grenzwert an.Vorgehen bei hebbaren Definitionslücken:Funktionsterm kürzenWert einsetzenAusrechnen

Beispiele:

Grenzwerte im Unendlichen:

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x^{3} - 14 x - 12}{- 3 x + 3} = - \infty$
$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x^{3} - 14 x - 12}{- 3 x^{3} + 3} = - \frac{2}{3}$
$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x^{3} - 14 x - 12}{- 3 x^{4} + 3} = 0$

Grenzwerte gegen reelle Zahlen:

nicht-hebbar: $\begin{array}{ll} \lim_{x \to 1} & \frac{2 x^{3} - 14 x - 12}{- 3 x + 3} = \\ \lim_{x \to 1} & \frac{2 (x + 1) (x + 2) (x - 3)}{- 3 (x - 1)} \\ \lim_{x \to 1 + 0} & \frac{\overset{+}{\overset{⏞}{2 (x + 1)}} \overset{+}{\overset{⏞}{(x + 2)}} \bar{\overset{⏞}{(x - 3)}}}{\underline{\underset{⏟}{- 3}} \underset{+}{\underset{⏟}{(x - 1)}}} = + \infty \\ \lim_{x \to 1 - 0} & \frac{\overset{+}{\overset{⏞}{2 (x + 1)}} \overset{+}{\overset{⏞}{(x + 2)}} \bar{\overset{⏞}{(x - 3)}}}{\underline{\underset{⏟}{- 3}} \underline{\underset{⏟}{(x - 1)}}} = - \infty \end{array}$

hebbar: $\begin{array}{ll} \lim_{x \to 1} & \frac{2 x^{3} - 14 x - 12}{- 3 x - 3} = \\ \lim_{x \to 1} & \frac{2 (x + 1) (x + 2) (x - 3)}{- 3 (x + 1)} = \\ \lim_{x \to 1} & \frac{2 (x + 2) (x - 3)}{- 3} = 4 \end{array}$

4 Basisaufgaben (1|3)

Wir beginnen mit ein paar kurzen Aufgaben zu wichtigen Eigenschaften von Funktionen. Die meisten Aufgabenarten werden später z. B. als Teile von Kurvendiskussionen wieder auftauchen.

Rechne diese kurzen Aufgaben auf einem Blatt und vergleiche dann mit der Lösung.

Bestimme den Definitionsbereich

Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an (G= $ℝ$ ):

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Bestimme die Nullstellen

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen und entscheide welche Besonderheit vorliegt:

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Bestimme die Grenzwerte im Unendlichen

Bestimme, wie sich folgende Funktionen im Unendlichen verhalten:

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5 Basisaufgaben (2|3)

Bestimme die Asymptoten

Bestimme die Asymptoten folgender Funktionen:

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Stelle den Funktionsterm auf

Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion $f$ an, die folgende Eigenschaften besitzt.

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Bestimme die Stammfunktion

Bestimme für die folgenden verketteten Funktionen eine Stammfunktion:

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6 Basisaufgaben (3|3)

Berechne die Fläche

Berechne die zwischen $G_{f}$ und der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche für die folgende Funktion:

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Stelle die Tangentengleichung auf

Berechne die Tangente an den Graphen der gegebenen Funktion $f$ zum gegebenen Punkt $P$ :

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Berechne die Tangente an den Graphen der gegebenen Funktion $f$ zum gegebenen Punkt $P$ :

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Prüfe auf Symmetrie zu y-Achse und Ursprung

Entscheide, ob der Graph der folgenden Funktionen $f$ punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. der $y$ -Achse ist oder ob keine Symmetrie vorliegt:

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Begründe

Begründe kurz, warum folgende Aussage gilt:

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7 Einfache Kurvendiskussion

Bei einer Kurvendiskussion solltest du die folgenden Sachen berechnen können (Auszug aus dem verlinkten Artikel):

Definitionsbereich (mit Definitionslücken ),
Grenzwerte (an den Grenzen des Definitionsbereichs ),
Asymptoten,
Nullstellen,
Symmetrieverhalten
Monotonieverhalten (über die Ableitung),
Extrempunkte,
Krümmungsverhalten (über die Ableitung),
Wendepunkte und Terassenpunkte,
Wertebereich,
Tangenten,
Stammfunktion,
Fläche unter dem Funktionsgraphen

Funktion zeichnen

Bei einer Kurvendiskussion kann noch zusätzlich gefragt werden, den Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen. Man wählt dabei die Skalierung so, dass die errechneten Eigenschaften sichtbar eingezeichnet werden können und kennzeichnet wichtige Punkte wie die Nullstellen oder Extrema.

Auf der nächsten Seite findest du nach Schwierigkeit sortierte Aufgaben zur normalen Kurvendiskussion.

8 Aufgaben zur einfachen Kurvendiskussion

Diskutiere folgende Funktion und zeichne den Graph der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem:

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Führe bei der folgenden Funktion eine Kurvendiskussion (Definitionsbereich, Nullstellen, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, Extrempunkte) durch und skizziere dann den Grapen:

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9 Wahlaufgabe: Schwierigere Kurvendiskussion

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10 Kurvendiskussion mit Parameter

Alternativ zu normalen Kurvendiskussionen kann es auch vorkommen, dass zusätzlich zur Variablen $x$ ein Parameter im Funktionsterm vorkommt. Diese Parameter können bei Kurvendiskussionen zusätzlich zu Fallunterscheidungen führen, ändern abersonst nicht in der Vorgehensweise. Ein paar Beispielrechnungen findest du im Artikel Kurvendiskussion mit Parameter.

Außerdem kannst du hier auch eine Ortskurve bestimmen müssen. Eine Aufgabe dazu findest du auf der nächsten Seite.

11 Mögliche Zusatzaufgabe bei Parametern: Ortskurven bestimmen

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12 Wahlaufgabe: Schwierigere Kurvendiskussion mit Parameter

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13 Themenbereich: Exponentielles Wachstum

Aufgaben zu "Exponentiellem Wachstum" drehen sich immer um eine Funktion, bei deren Term die Variable der Zeit (meist $t$ ) im Exponenten steht. Sie sind deswegen nicht unbedingt schwieriger als herkömmliche Aufgaben in der Schule. Die Schwierigkeit besteht lediglich darin, aus der Aufgabenstellung den Funktionsterm abzulesen oder nach der Variable $t$ mit dem Logarithmus aufzulösen.

Eine indirekte Angabe zum Aufstellen der Exponentialgleichung steckt dabei manchmal in der "Halbwertszeit", also der Zeit, in der sich der Ausgangswert halbiert.

14 Aufgaben zu exponentiellem Wachstum

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15 Anwendungsaufgaben zur Differential- und Integralrechnung

Hier findest du eine Aufgabe der Differential- und Integralrechnung mit Anwendungsbezug:

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16 Verschiedene Aufgaben (1|3)

Einige Aufgabentypen dieser Sammlung sind in etwas anderer Form auch bereits in früheren Abituren verwendet worden:

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17 Verschiedene Aufgaben (2|3)

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18 Verschiedene Aufgaben (3|3)

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19 Viel Erfolg!

Du bist jetzt richtig gut für den Analysis-Teil des Matheabis vorbereitet. Jetzt heißt es nur noch: Augen zu und durch. Viel Erfolg! :)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

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Funktionen

Arbeiten mit Funktionen

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3 Arbeiten mit Funktionen - ein Handbuch

Arbeiten mit Funktionen

Die Aufgabenstellung verlangt…

1. …einen Term t mit 0 gleichzusetzen. Die gesuchte Variable wird hier immer x genannt.

2. … den Definitionsbereich einer Funktion f zu bestimmen.

Beispiele:

3. … Grenzwerte einer Funktion f zu betrachten.

Grenzwerte im Unendlichen: limx→±∞⁡f(x)

--Grenzwerte gegen reelle Zahlen: limx→k±0⁡f(x)

Grenzwerte im Unendlichen:

Grenzwerte gegen reelle Zahlen:

4 Basisaufgaben (1|3)

Bestimme den Definitionsbereich

Bestimme die Nullstellen

Bestimme die Grenzwerte im Unendlichen

5 Basisaufgaben (2|3)

Bestimme die Asymptoten

Stelle den Funktionsterm auf

Bestimme die Stammfunktion

6 Basisaufgaben (3|3)

Berechne die Fläche

Stelle die Tangentengleichung auf

Prüfe auf Symmetrie zu y-Achse und Ursprung

Begründe

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8 Aufgaben zur einfachen Kurvendiskussion

9 Wahlaufgabe: Schwierigere Kurvendiskussion

10 Kurvendiskussion mit Parameter

11 Mögliche Zusatzaufgabe bei Parametern: Ortskurven bestimmen

12 Wahlaufgabe: Schwierigere Kurvendiskussion mit Parameter

13 Themenbereich: Exponentielles Wachstum

14 Aufgaben zu exponentiellem Wachstum

15 Anwendungsaufgaben zur Differential- und Integralrechnung

16 Verschiedene Aufgaben (1|3)

17 Verschiedene Aufgaben (2|3)

18 Verschiedene Aufgaben (3|3)

19 Viel Erfolg!

1. …einen Term $t$ mit $0$ gleichzusetzen. Die gesuchte Variable wird hier immer x genannt.

2. … den Definitionsbereich einer Funktion $f$ zu bestimmen.

3. … Grenzwerte einer Funktion $f$ zu betrachten.

Grenzwerte im Unendlichen: $\lim_{x \to \pm \infty} f (x)$

--Grenzwerte gegen reelle Zahlen: $\lim_{x \to k \pm 0} f (x)$