Rechenaufgaben zu Umfang und Fläche eines Kreises

Hier findest du Übungsaufgaben zum Berechnen des Umfangs und Flächeninhalts von Kreisen. Schaffst du sie alle?

1
Berechne die Kreisflächen der drei Kreise. Ziehe die richtigen Lösungen für den Flächeninhalt A in die Kreise.
2
Berechne den Flächeninhalt und Umfang eines Kreises mit dem
Radius $r = 1,5 c m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Flächeninhalt
$A = π \cdot r^{2} = π \cdot (1,5 c m)^{2} = 3,14 \cdot 2,25 c m^{2} = 7,07 c m^{2}$
Umfang
$U = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot 1,5 c m = 2 \cdot 3,14 \cdot 1,5 c m = 9,42 c m$

Radius $r = 4 c m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Flächeninhalt
$A = π \cdot r^{2} = π \cdot (4 c m)^{2} = 3,14 \cdot 16 c m^{2} = 50,24 c m^{2}$
Umfang
$U = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot 4 c m = 2 \cdot 3,14 \cdot 4 c m = 25,12 c m$
3
Gib den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius $2,5 cm$ an.
Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
$A = π \cdot r^{2} = π \cdot (2,5 c m)^{2} = 3,14 \cdot 6,25 c m^{2} = 19,625 c m^{2}$
Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.
$A \approx 19,63 {cm}^{2}$
4
Gib den Umfang eines Kreises mit dem Radius $2,5 c m$ an.
Gib den Umfang im Eingabefeld ohne Einheit auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang des Kreises
In dieser Aufgabe benötigst du die Formel für den Umfang des Kreises und musst richtig runden.
$U = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot 2,5 c m = 2 \cdot 3,14 \cdot 2,5 c m \approx 15,71 c m$
Die Antwort ist also $15,71$ .
5
Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle. Runde dabei auf eine Stelle nach dem Komma.

a)
b)
c)
d)
e)
Radius r
4,5 cm
0,7 mm
Durchmesser d
40,0 cm
5,6 m
Umfang U
92,4 m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung der Radien (erste Zeile)
b) Hier ist der Durchmesser des Kreises gegeben. Der Radius ist immer die Hälfte des Durchmessers. Also gilt für den Radius:
$r = \frac{d}{2} = \frac{40,0 cm}{2} = 20,0 cm$
c) Hier ist auch der Durchmesser gegeben. Den Radius berechnest du genau wie bei b):
$r = \frac{d}{2} = \frac{5,6 m}{2} = 2,8 m$
d) Hier ist der Umfang des Kreises gegeben. Die Formel für den Umfang des Kreises ist: $U = d \cdot π = 2 \cdot r \cdot π$ . Um den Radius des Kreises zu ermitteln, kannst du den Wert für den Umfang einsetzen und dann die Formel umstellen:
$\begin{array}{rclll} 92,4 m & = & 2 \cdot r \cdot π & | : 2 & | : π \\ \frac{92,4 m}{2 \cdot π} & = & r \\ r & \approx & 14,7 m \end{array}$
Berechnung der Durchmesser (zweite Zeile)
a) Hier ist der Radius gegeben. Der Durchmesser ist immer das Doppelte des Radius. Also gilt für den Durchmesser:
$d = 2 \cdot r = 2 \cdot 4,5 cm = 9 cm$
d) Hier ist der Umfang gegeben. Die Formel für den Umfang ist: $U = d \cdot π$ . Um den Durchmesser zu ermitteln, setzt du den Umfang ein und stellst nach $d$ um:
$\begin{array}{rcll} 92,4 m & = & d \cdot π & | : π \\ \frac{92,4 m}{π} & = & d \\ d & \approx & 29,4 m \end{array}$
e) Hier ist wieder der Radius gegeben. Also ist der Durchmesser:
$d = 2 \cdot r = 2 \cdot 0,7 mm = 1,4 mm$
Berechnung der Umfänge (dritte Zeile)
Hier kannst du jedesmal die Formel für den Umfang benutzen. Diese lautet:
$U = d \cdot π = 2 \cdot r \cdot π .$
Je nach dem, ob der Radius $r$ oder der Durchmesser $d$ gegeben ist, setzt du den entsprechenden Wert in die Formel ein.
a) Gegeben ist der Radius.
$U = 2 \cdot r \cdot π = 2 \cdot 4,5 cm \cdot π \approx 28,3 cm .$
b) Gegeben ist der Durchmesser.
$U = d \cdot π = 40 cm \cdot π \approx 125,7 cm$
c) Gegeben ist der Durchmesser.
$U = d \cdot π = 5,6 m \cdot π \approx 17,6 m$
e) Gegeben ist der Radius.
$U = 2 \cdot r \cdot π = 2 \cdot 0,7 mm \cdot π \approx 4,4 mm .$

a)
b)
c)
d)
e)
Radius r
4,5 cm
20,0 cm
2,8 m
14,7 m
0,7 mm
Durchmesser d
9,0 cm
40,0 cm
5,6 m
29,4 m
1,4 mm
Umfang U
28,3 cm
125,7 cm
17,6 m
92,4 m
4,4 mm
Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen. Eine ist, die Spalten der Tabelle durchzugehen und alle fehlenden Größen zu bestimmen. Eine andere Möglichkeit ist, die Zeilen durchzugehen. Zudem kannst du immer auch Zwischenergebnisse weiterverwenden, oder nur mit den Angaben aus der Tabelle rechnen.
In dieser Lösung werden die Zeilen durchgegangen.

	a)	b)	c)	d)	e)
Radius r	4,5 cm	20,0 cm	2,8 m	14,7 m	0,7 mm
Durchmesser d	9,0 cm	40,0 cm	5,6 m	29,4 m	1,4 mm
Umfang U	28,3 cm	125,7 cm	17,6 m	92,4 m	4,4 mm

Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle (auf die erste Dezimalstelle gerundet).

	a)	b)	c)	d)	e)
Radius r	1,5 cm	33,0 cm
Durchmesser d			2,4 m
Umfang U				71,6 m
Flächeninhalt					12,56 cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche

Berechnung der Kreisgrößen

Im Kreis gilt:

$U = 2 r \cdot π; A = r^{2} \cdot π; d = 2 r$

Berechnungen Spalte a.)

$d = 2 r \Rightarrow d = 2 \cdot 1,5 cm$

$d = 3 cm$

$U = 2 r \cdot π \Rightarrow U = 2 \cdot 1,5 cm \cdot π$

$U = 9,4 cm$

$A = r^{2} \cdot π \Rightarrow A = 2,25 {cm}^{2} \cdot π$

$A = 7,1 {cm}^{2}$

Berechnungen Spalte b.) wie a.) jedoch $r = 33,0 cm$

Berechnungen Spalte c.)

$r = \frac{d}{2} \Rightarrow r = \frac{2,4 m}{2}$

$r = 1,2 m$

$U = 2 r \cdot π \Rightarrow U = 2 \cdot 1,2 m \cdot π$

$U = 7,5 m$

$A = r^{2} \cdot π \Rightarrow A = 1,44 {cm}^{2} \cdot π$

$A = 4,5 m^{2}$

Berechnungen Spalte d.)

$U = 2 r \cdot π \Rightarrow 2 r = \frac{U}{π} \Rightarrow 2 r = \frac{71,6 m}{π}$

$2 r = d = 22,8 m$

$r = 11,4 m$

$A = r^{2} \cdot π \Rightarrow A = 129,96 m^{2} \cdot π$

$A = 408,3 m^{2}$

Berechnungen Spalte e.)

$A = r^{2} \cdot π \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{π}} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{12,6 {cm}^{2}}{π}}$

$r = 2,0 cm \Rightarrow d = 2 \cdot 2,0 cm$

$d = 4,0 cm$

$U = 2 r \cdot π \Rightarrow U = 2 \cdot 2,0 cm \cdot π$

$U = 12,6 cm$

Ergänze die Tabelle entsprechend.

	a)	b)	c)	d)	e)
Radius r	1,5 cm	33,0 cm	1,2 m	11,4 m	2,0 cm
Durchmesser d	3,0 cm	66,0 cm	2,4 m	22,8 m	4,0 cm
Umfang U	9,4 cm	207,3 cm	7,5 m	71,6 m	12,6 cm
Flächeninhalt A	7,1 cm²	3421,2 cm²	4,5 m²	408,3 m²	12,6 cm²

7
Berechne den Durchmesser des Kreises mit dem Radius:
r = 3cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Der Kreis
Der Durchmesser berechnet sich mit der Formel $d = 2 \cdot r$ . Dabei ist der Radius $r$ gleich $r = 3 cm$ . Damit ist der Durchmesser $6 c m$ , denn:
$\begin{aligned} d & = 2 \cdot 3 c m \\ d & = 6 c m \end{aligned}$

r = 9cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Der Kreis
Der Durchmessers berechnet sich mit der Formel $d = 2 \cdot r$ . Dabei ist der Radius $r$ gleich $r = 9 c m$ . Damit ist der Durchmesser $\begin{array}{l} 18 c m \end{array}$ , denn:
$d = 2 \cdot 9 c m$
$d = 18 c m$

r = 14cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Der Kreis
Der Durchmesser berechnet sich mit der Formel $d = 2 \cdot r$ . Dabei ist der Radius $r$ gleich $r = 14 c m$ . Damit ist der Durchmesser $28 c m$ , denn:
$d = 2 \cdot 14 c m$
$d = 28 c m$
8
Ein Kreis hat den Radius $3 c m$ .
Welchen Umfang hat ein Kreis mit dem dreifachen Radius?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Berechne den neuen Radius
$r$ $=$ $3 \cdot 3 c m$
$r$ $=$ $9 c m$
Berechne jetzt den Umfang mit dem neuen Radius
$U$ $=$ $2 r \cdot π$
$U$ $=$ $2 \cdot 9 c m \cdot 3,14$
$U$ $=$ $56,52 c m$
Der Kreisumfang beträgt $56,52 c m$ .

Welchen Flächeninhalt hat der Kreis mit dem dreifachen Radius?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Berechne nun den Flächeninhalt mit dem neuen Radius
$A$ $=$ $r^{2} \cdot π$
$A$ $=$ $9 c m \cdot 9 c m \cdot 3,14$
$A$ $=$ $254,34 c m^{2}$
Der Flächeninhalt beträgt $254,34 c m^{2}$ .
9
Begründe, wie sich jeweils Umfang und Flächeninhalt eines Kreises ändern, wenn man seinen Radius verdoppelt, verdreifacht bzw. vervierfacht.
Verdoppelt man den Radius, vervierfacht sich der Flächeninhalt.
Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich auch der Umfang.
Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich der Flächeninhalt.
Verdoppelt man den Radius, vervierfacht sich der Umfang.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Änderung des Umfangs beim Vervielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen, kleinen Umfang des Kreises auf.
$U_{1} = 2 \cdot r_{1} \cdot π$
Ebenfalls die Formel für den neuen Umfang aufstellen:
$U_{2} = 2 \cdot r_{2} \cdot π$
$r_{1}$ wird um den neuen Umfang $U_{2}$ zu erhalten vervielfacht: $r_{2} = n \cdot r_{1}$ . Setze ein.
$U_{2} = 2 \cdot (r_{1} \cdot n) \cdot π = n \cdot 2 \cdot r_{1} \cdot π$
Benutze $2 \cdot r_{1} \cdot π = U_{1}$ um den Ausdruck zu vereinfachen.
$U_{2} = n \cdot U_{1}$
$\Rightarrow$ Das heißt der Umfang, des Kreises vergrößert sich um den Faktor $n$ .
Also wird der Umfang beispielsweise doppelt so groß, wenn der Radius verdoppelt wird.
Änderung des Flächeninhalts beim Vielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen Flächeninhalt des Kreises auf.
$A_{1} = r_{1}^{2} π$
Ebenfalls die Formel für den neuen Flächeninhalt aufstellen:
$A_{2} = r_{2}^{2} π$
$r_{1}$ wird um den neuen Flächeinhalt $A_{2}$ zu erhalten vervielfacht: $r_{2} = n \cdot r_{1}$
$A_{2} = {(n \cdot r_{1})}^{2} π = n^{2} \cdot r_{1}^{2} \cdot π$
Benutze $r_{1}^{2} π = A_{1}$ , um den Zusammenhang zu vereinfachen.
$A_{2} = n^{2} \cdot A_{1}$
$\Rightarrow$ Multipliziert man den Radius $r$ mit $n$ , so wird der Flächeninhalt des Kreises immer mit $n^{2}$ vervielfacht. Zum Beispiel wird der Flächeninhalt bei Verdoppelung des Radius viermal so groß.
10
Der Radius von einem Kreis beträgt $r = 5 c m$ .
Wie groß ist der Flächeninhalt $A$ ?
$78,54 c m$
$15,71 c m^{2}$
$78,54 c m^{2}$
$15,71 c m$
$65,45 c m^{2}$

$A$ $=$ $π \cdot r^{2}$
$A$ $=$ $π \cdot (5 c m)^{2}$
$A$ $=$ $π \cdot 5 c m \cdot 5 c m$
$A$ $=$ $78,54 c m^{2}$

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$U$	$=$	$2 r \cdot π$
$U$	$=$	$2 \cdot 9 c m \cdot 3,14$
$U$	$=$	$56,52 c m$

$A$	$=$	$r^{2} \cdot π$
$A$	$=$	$9 c m \cdot 9 c m \cdot 3,14$
$A$	$=$	$254,34 c m^{2}$

$A$	$=$	$π \cdot r^{2}$
$A$	$=$	$π \cdot (5 c m)^{2}$
$A$	$=$	$π \cdot 5 c m \cdot 5 c m$
$A$	$=$	$78,54 c m^{2}$

Rechenaufgaben zu Umfang und Fläche eines Kreises

Flächeninhalt

Umfang

Flächeninhalt

Umfang

Berechnung der Radien (erste Zeile)

Berechnung der Durchmesser (zweite Zeile)

Berechnung der Umfänge (dritte Zeile)

Berechnung der Kreisgrößen

Ergänze die Tabelle entsprechend.