Wahlteil

Berechnen von a.

$\mathrm{a}=2\cdot \mathrm{x}+\mathrm{1,60}$

$\mathrm{a}=2\cdot \mathrm{1,10}+\mathrm{1,60}\Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{2,20}+\mathrm{1,60}$

$\mathrm{a}=\mathrm{3,80}$

Die Länge $\text{𝐚}$ beträgt: $\mathrm{3,80}\text{ cm}$.

Berechnen der Grundfläche $\text{G}$ des Tabs.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{L}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\cdot \mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}$

Für die Grundfläche $\text{G}$ des Tabs gilt dann:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{a}=\mathrm{3,80}\text{ cm}\mathrm{b}=\mathrm{2,70}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Einsetzen der bekannten Größen:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{3,80}\cdot \mathrm{2,70}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{10,26}{\text{ cm}}^2$

Die Grundfläche $\text{𝐆}$ des Tabs beträgt: $\mathrm{10,26}{\text{ cm}}^2$.

Berechnen des Volumens der Kugel.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{r}}^3\cdot \mathrm{\pi }$

Einsetzen der bekannten Größen:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{0,80}}^3\cdot \mathrm{\pi }$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \mathrm{0,512}\cdot \mathrm{\pi }$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\mathrm{2,14}{\text{ cm}}^3$

Das Volumen der Kugel beträgt: $\mathrm{2,14}{\text{ cm}}^3$.

Berechnen des Volumens des gesamten Tabs.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{G}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{k}}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{10,26}\cdot \mathrm{1,70}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}}=\mathrm{17,44}{\text{ cm}}^3$

${\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,14}}{2}}$

${\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{2}}=\mathrm{1,07}{\text{ cm}}^3$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}=\mathrm{17,44}+\mathrm{1,07}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{T}\mathrm{a}{\mathrm{b}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}}=\mathrm{18,51}{\text{ cm}}^3$

Das Volumen des gesamten Tabs beträgt: $\mathrm{18,51}{\text{ cm}}^3$.

Berechnen der Körperhöhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}$ des Zylinders.

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}={\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{h}$

Auflösen der Formel nach $\text{𝐡}$:

$\mathrm{h}={\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{{\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }}}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,14}}{{\mathrm{0,8}}^2\cdot \mathrm{\pi }}}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=\mathrm{1,06}\text{ cm}$

Die Höhe des Zylinders beträgt: $\mathrm{1,06}\text{ cm}$.

Hinweis:

Wir haben hier für das Volumen der Kugel mit dem gerundeten Wert $\mathrm{2,14}$ gerechnet, wenn du mit dem Wert rechnest, den der Rechner liefert, erhältst du als Ergebnis für die Höhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}$ des Zylinders, $\mathrm{1,07}\text{ cm}$.

Ergänzen des Satzes aus der Aufgabenstellung.

Bei Verdoppelung des Durchmessers verdoppelt sich auch der Radius.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{r}}^3\cdot \mathrm{\pi }$

Multipliziert man den Radius $\text{𝐫}$ mit $2$, so wird das Volumen der Kugel immer mit $2^3$, also $\text{𝟖}$, vervielfacht. Das Volumen der Kugel verachtfacht sich bei Verdoppelung des Radius .

Ergänze den Satz entsprechend.

Berechnen des Umfangs des oberen Kranzes.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{r}\cdot \mathrm{\pi }$

Einsetzen der bekannten Größe:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}}=2\cdot \mathrm{1,20}\cdot \mathrm{\pi }$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}}=\mathrm{7,54}\text{ m}$

Der Umfang des oberen Kranzes beträgt: $\mathrm{7,54}\text{ m}$.

Berechnen der Seillänge $\text{a}$ des oberen Kranzes.

Die Seillänge $\text{𝐚}$ bildet mit dem Radius ${\text{𝐫}}_{\text{𝐚}}$ und der Höhe $\mathrm{1,60}\text{ m}$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Seillänge $\text{𝐚}$ die Hypotenuse dieses Dreiecks ist.

Im rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf unser Dreieck:

${\mathrm{a}}^2=({\mathrm{r}}_{\mathrm{a}}{)}^2+{\mathrm{1,60}}^2$

$\mathrm{a}=\sqrt{{\mathrm{1,20}}^2+{\mathrm{1,60}}^2}\Rightarrow \mathrm{a}=\sqrt{\mathrm{1,44}+\mathrm{2,56}}$

$\text{a}=2\text{ m}$

Die Seillänge $\text{𝐚}$ des oberen Kranzes beträgt: $2\text{ m}$.

Berechnen der Größe des Winkels $\text{α}$.

Die Definition des Tangens im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\tan (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}}{\mathrm{1,2}}}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{53,13}}^{\circ }$

Der Winkel $\alpha$ beträgt: ${\mathrm{53,13}}^{\circ }$.

Berechnen der Größe des Winkels $\delta$.

Die Definition des Tangens im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\tan (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\tan (\delta )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,6}}}$

$\tan (\delta )={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{36,87}}^{\circ }$

Der Winkel $\delta$ beträgt: ${\mathrm{36,87}}^{\circ }$.

Berechnen des Radius ${\text{𝐫}}_{\text{𝐛}}$ des unteren Kranzes.

Der Radius ${\text{𝐫}}_{\text{𝐛}}$ und die Höhe ${\text{𝐡}}_{\text{𝐛}}$ bilden mit der Seillänge $\text{𝐛}$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei der Radius ${\text{𝐫}}_{\text{𝐛}}$ die Ankathete des Winkels ${16}^{\circ }$ ist.

Die Definition des Kosinus im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\cos (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\cos ({16}^{\circ })={\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{b}}}\Rightarrow {\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{b}\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({16}^{\circ })$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{2,50}\cdot \mathrm{0,9613}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{2,40}\text{ m}$

Der Radius ${\text{𝐫}}_{\text{𝐛}}$ des unteren Kranzes beträgt: $\mathrm{2,40}\text{ m}$.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreise lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=\mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }$

Verdoppeln des Durchmessers:

$\mathrm{n}\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }$

Ersetzen von ${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}$ durch ($\mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }$)

$\mathrm{n}\cdot \mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }=2\cdot \mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }$

$\mathrm{n}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }}{\mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }}}\Rightarrow \mathrm{n}=2$

Dann ist:

$2\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\cdot \mathrm{d}\cdot \mathrm{\pi }$

Wenn der Durchmesser eines Kreises verdoppelt wird, dann wird sein Umfang doppelt so groß.

Kreuze entsprechend an.

Ausfüllen der Tabelle.

Eintragen der fehlenden Zahlen in das Baumdiagramm und berechnen der Summen.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $13$ geworfen wird.

Wahrscheinlichkeit mit Würfel A eine $8$ zu werfen:

${\mathrm{P}}_8={\displaystyle \frac{2}{6}}$

Wahrscheinlichkeit mit Würfel B eine $5$ zu werfen:

${\mathrm{P}}_5={\displaystyle \frac{3}{6}}$

Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $13$ geworfen wird:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}(13)}={\displaystyle \frac{2}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}(13)}={\displaystyle \frac{6}{36}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $13$ geworfen wird beträgt: ${\displaystyle \frac{6}{36}}$

Wahrscheinlichkeit dass Thomas gewinnt:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{t}}={\displaystyle \frac{4}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{4}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{t}}={\displaystyle \frac{12}{36}}+{\displaystyle \frac{12}{36}}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{t}}={\displaystyle \frac{24}{36}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Thomas gewinnt beträgt: ${\displaystyle \frac{24}{36}}$

Begründung, dass das Spiel nicht fair ist.

Die Wahrscheinlichkeit eine Summe kleiner als $10$ zu werfen beträgt ${\displaystyle \frac{24}{36}}$, dann

beträgt die Wahrscheinlichkeit eine Summe größer als $10$ zu werfen ${\displaystyle \frac{12}{36}}$, also ist kann das Spiel nicht fair sein.

Verändern der Spielregel so, dass ein faires Spiel entsteht.

Zum Beispiel:

Moritz gewinnt bei den Summen $5$ und $13$, Thomas bei den Summen $7$ und $11$.

Ablesen der Menge Heizöl, die sich am Anfang im Haustank befindet und berechnen der Steigung m des Graphen.

Am Anfang befinden sich $\text{𝟓𝟎𝟎}$ Liter Heizöl im Haustank.

Berechnen der Steigung $\text{𝐦}$ des Graphen.

$\mathrm{m}={\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1}}$

Wir wählen für:

${\mathrm{y}}_1=500$

${\mathrm{y}}_2=1000$

${\mathrm{x}}_1=0$

${\mathrm{x}}_2=2$

$\mathrm{m}={\displaystyle \frac{1000-500}{2-0}}\Rightarrow \mathrm{m}={\displaystyle \frac{500}{2}}$

$\text{m}=\text{𝟐𝟓𝟎}$

Es werden pro Minute $\text{𝟐𝟓𝟎}$ Liter Heizöl in den Haustank gepumpt

Ausfüllen der Lücken.

Zu Beginn des Füllvorgangs befinden sich 500 Liter Heizöl im Haustank.

In den Haustank werden 250 Liter Heizöl pro Minute gepumpt.

Aufstellen der Funktionsgleichung des abgebildeten Graphen.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{b}$

Einsetzen der Werte aus Teilaufgabe $4\mathrm{a})$ in die allgemeine Geradengleichung.

$\mathrm{y}=250\cdot \mathrm{x}+500$

Die Funktionsgleichung des abgebildeten Graphen lautet dann:

$\mathrm{y}=250\mathrm{x}+500$

Berechne die Füllmenge, die sich nach $\mathrm{4,5}$ Minuten im Haustank befindet.

Einsetzen von $\text{x}=\mathrm{4,5}$ in die Funktionsgleichung:

$\mathrm{y}=250\cdot \mathrm{4,5}+500\Rightarrow \mathrm{y}=1125+50$

$\mathrm{y}=1625$

Nach $\mathrm{4,5}$ Minuten befinden sich $1625$ Liter im Haustank.

Einzeichnen des Graphen für den Abpumpvorgang des Tankwagens in das obere Koordinatensystem.

Ankreuzen des Graphen, der einen Füllvorgang mit Unterbrechung darstellt.

Begründen der Entscheidung.

Im Unterbrechungszeitraum ist die Steigung des Graphen null, da die Füllmenge sich nicht ändert, die Zeit aber weiter läuft.